精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试题

高二年级阶段检测数学 一、单选题 1. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 2. 若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可圆柱的底面积乘以圆柱的高=圆柱的底面积乘以圆锥的高，由此解答. 【详解】圆柱的体积=圆锥的体积×2 ， 即圆柱底面积×圆柱的高=圆锥的底面积×圆锥的高÷3×2 ， 由此推出：圆柱的底面积×圆柱的高=圆柱的底面积×圆锥的高， 整理得，圆柱的高=圆锥的高，圆柱的高÷圆锥的高=， 所以，圆柱的高是圆锥高的. 故选：C. 3. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可. 【详解】因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. 4. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 180种 B. 192种 C. 300种 D. 420种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择， 若区域与区域同色，此时区域有种选择， 若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择， 故有种涂色方法. 故选：D 5. 若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为，， 又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点， 由，所以方程有两个不同的正实数， 所以，即. 故选：B 6. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解. 【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则，整理得. 要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解， 即函数图象与直线在R上有3个交点， 设，则， 令，令或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 且极小值、极大值分别为，如图， 由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点， 即过点的切线有3条. 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果. 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵，∴， ∵且，∴，则， ∵，∴，解得， 当时，，，不合题意， ∴的取值范围是. 故选：B. 8. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，， 结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 构造函数， 所以 ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 因为当时，单调递减， 故， 两边取对数得： ， 令，则， 令得：，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以 故a的最小值是． 故选：C 【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 二、多选题 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数无极值点，则没有零点 B. 若函数无零点，则没有极值点 C. 若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点 D. 若函数有两个零点，则一定有两个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可. 【详解】 ，设 若函数无极值点则，则， 此时，即，所以，没有零点，如图①； 若函数无零点，则有，此时， 当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②； 若函数恰有一个零点，则， 此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③； 若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正， 函数先增再减再增，有两个极值点，如图④； 所以AD正确. 故选：AD. 10. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 上有且只有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误． 【详解】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 11. 已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误. 【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去可得，A对； 对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错； 对于C选项，设，因为，则， 所以，，， 则， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，故，C对； 对于D选项，， 构造函数，其中 ，则， 所以，函数在上单调递减，则 ，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题 12. 若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 13. 函数最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），通过证明，得证平面； （2）证明平面，由线面平行的性质定理证明. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为是平行四边形，故为中点， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面平面，平面， 所以. 16. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分析和时函数的单调性可得结果. （2）根据导数的几何意义表示切线斜率，结合两函数值域之间的包含关系可求b的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，函数定义域为. ∵，∴. 若，则，在上单调递减. 若，令得， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， ∵，∴， ∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为. 由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立， 将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集. 由得，，故函数的值域为， ∴. ∵， ∴，解得或， ∴实数b的取值范围是. 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，然后对参数进行讨论，进而得到的单调区间； （2）构造函数，通过讨论单调性，证明即可. 【小问1详解】 的定义域为. 当时，，故在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时的减区间为，无增区间； 时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，, 令，则，则， 令，则，显然在上单调递增，则， 即在上单调递增，故，即在上单调递增， 故， 所以，即，原不等式得证. 19. 设函数. （1）当时，证明：； （2）若在上为增函数，求a的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，.根据导数研究函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性即可证明； （2）由函数在上为增函数可知对恒成立，利用分离参数法转化为求函数的最值即可求解； （3）由（1）可知：当时，.令，，则.由（2）可得，当时，，进而，即，即可求证结论. 【小问1详解】 当时，. 因为是偶函数，先证当时，. 由，设，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以. 因为是偶函数，所以当时，，. 综上，. 【小问2详解】 由，得. 因为在上为增函数，所以对恒成立. ①当时，恒成立，此时； ②当时，即对恒成立 令，. 由（1）知单调递增，所以，即，所以， 所以，解得，即a的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知，当，时，，即， 当且仅当时，等号成立. 令，，则， 即. 由（2）可得，当时，. 因为，所以，即. 所以 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数与数列的综合.其中第（3）小问的解题关键是利用第（1）小问的结论得到，用放缩法得到，裂项可得，再利用（2）的结论进一步放缩得，即，利用裂项相消法求和即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级阶段检测数学 一、单选题 1. 设P为曲线C：上点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）． A. B. C. D. 4. 现要用种不同颜色对如图所示五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 180种 B. 192种 C. 300种 D. 420种 5. 若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数无极值点，则没有零点 B. 若函数无零点，则没有极值点 C. 若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点 D. 若函数有两个零点，则一定有两个极值点 10. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 在上有且只有1个零点 11. 已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 13. 函数最小值为______. 14. 已知函数有两个零点，则实数a取值范围是______． 四、解答题 15. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 16. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若时，证明：当时，恒成立． 19 设函数. （1）当时，证明：； （2）若在上为增函数，求a的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$