精品解析：湖南省长沙市 明德天心中学 2025年 九年级 数学模拟试题

数学初三模拟考 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项) 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 初一年级积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能集沙成塔；光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪就分别达800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人—一年的口粮！“800万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，与是同位角的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 5. 正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 将一次函数的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（） A. B. C. 3 D. 5 7. 在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ） A. 98、93 B. 96、96 C. 96、95 D. 95，96 8. 如图，A、B、C、D都是 上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 中，、 交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线 ，交 于点E，交 于点F，连接 ，若， 的周长为14，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 10. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 12. 若，则_________. 13. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为__________分. 14. 如图，将绕点 逆时针旋转至，若，则点 旋转到点 所经过的路径长为________. 15. 如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是_____． 16. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: 18. 先化简，再求值：，其中. 19. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道 和观光索道 ， 经过测量知：米，米， 步行道 的坡度 ，观光索道 与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离 的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米) 20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 21. 如图， 中， ，垂足为D，，垂足为E， 与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求 的长 22. 如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地 上，分别设计与 ， 平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； （1）求通道的宽是多少m? （2）如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 23. 如图，，平分 ，且交于点 ， 平分，且交于点 ，连接 ． （1）求证： 四边形 是菱形． （2）过点 作，垂足为点，若，，求四边形 的面积． 24. 定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”．比如：，，，都是“等距点”． （1）求反比例函数图象上的“等距点”坐标； （2）A，B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； （3）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点 ，且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为，，（），求的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学初三模拟考 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项) 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作． 故选：． 2. 初一年级积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能集沙成塔；光盘事小也能水滴石穿．我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白和脂肪就分别达800万吨和300万吨，倒掉了约2亿人—一年的口粮！“800万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：800万， 故选：C． 3. 下列图形中，与是同位角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角， 而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角， B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角， C选项中，与是对顶角． 故选：D． 4. 如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了几何体的表面展开图，熟记掌握常见几何体的表面展开图是关键．根据常见几何体的表面展开图进行判断即可． 【详解】解：一个等边三角形连接各边中点形成的图形是三棱锥的表面展开图， 故选：C 5. 正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键． 根据多边形的内角和公式：计算即可． 【详解】解：正八边形的内角和为， 故选：D． 6. 将一次函数的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“左加右减，上加下减"的平移法则是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿 轴向下平移3个单位长度后，可以得到正比例函数的图象，则m的值为 ． 故选：C． 7. 在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ） A. 98、93 B. 96、96 C. 96、95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据众数，中位数的定义求解． 【详解】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为． 故选：B． 8. 如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图， 中， 、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交 于点F，连接，若， 的周长为14，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长可以得到AB的长，从而得到CD的长 ． 【详解】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC， ∵△BCE 的周长为14， ∴BC+CE+EB=14， ∴BC+EA+EB=14， 即BC+AB=14， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，BC=AD=6， ∴DC=14-BC=14-6=8， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的作图与性质是解题关键． 10. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；会发生中和反应的有和，和，和，和，列表可得出所有等可能的结果数以及会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意可得列表如下： 共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为； 故选D 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 12. 若，则_________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为0． 13. 某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为__________分. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的定义，熟练掌握加权平均数的定义是解答本题的关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：该名教师的综合成绩为（分）， 故答案为：． 14. 如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点 旋转到点 所经过的路径长为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， 则点 旋转到点 所经过的路径长， 故答案为：． 15. 如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值. 【详解】解：过点B作BC垂直OA于C， ∵点A的坐标是（2，0）， ∴AO=2， ∵△ABO是等边三角形， ∴OC=1，BC=， ∴点B的坐标是 把代入，得 故答案为：． 【点睛】考查求反比例函数的解析式也考查了等边三角形的性质和勾股定理，解题本题的关键是求出反比例函数图像上点B的坐标； 16. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：， ； 得：， ； 得：， ； 得：， ； 得：， ； ，且， B卡片上的数最大． 故答案为：B． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键．先根据特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方化简，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 19. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离 的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米) 【答案】米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得米， ∴米， ∵ ∴（米） ∴（米）． 答：山顶点C到地面的距离 的长为米． 20. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习方式，某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出本次调查的学生总人数______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）补全的条形统计图如下图所示； （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体． （1）利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数； （2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图； （3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以 即得出答案； （4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 本次调查的学生总人数：， 故答案为：； 【小问2详解】 在线听课的学生有：（人）， 略 【小问3详解】 扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°； 【小问4详解】 （人）， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人． 21. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据 ，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； （1）求通道的宽是多少m? （2）如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【答案】（1）通道的宽是 （2）完成该项目需要20880元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 23. 如图，，平分，且交于点 ，平分，且交于点 ，连接 ． （1）求证： 四边形是菱形． （2）过点 作，垂足为点，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出 ，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”．比如：，，，都是“等距点”． （1）求反比例函数图象上的“等距点”坐标； （2）A，B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； （3）二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点 ，且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为，，（），求的值或取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）当，且时，． 【解析】 【分析】（1）设“等距点”的坐标为，根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案； （2）设，，根据函数解析式得出，，求出，，求出直线与 轴交点 的坐标为，根据，求出的值即可得出答案； （3）根据二次函数（为常数，）的图象经过点，求出，，根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，分两种情况：方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根；方程①与方程②均有两个相等的实数根，或当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根时，或当方程①有两个相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时（不符合题意舍去），再比较大小得出，代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数． 图象在第一象限， ∴设“等距点”的坐标为， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴反比例函数图象上的“等距点”坐标为； 【小问2详解】 解：设，， 则，， 解得，， ∴，， 把代入得， 解得， ∴直线与 轴交点 的坐标为， ，即， 解得， ∴一次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：∵二次函数（为常数，）的图象经过点， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，解得， 由，且可得， ∴二次函数解析式为， 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，①， 整理得，则， 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，②， 整理得，则， ∵， ∴， 如图，当，时，方程①有两个不相等的实数根，方程②有两个相等实数根，且①②有一个相等的根，此时不符合题意， 如图，当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时，且两个方程有一个相等根； ∴， 当时， ∴，，， ∴， 当时，如图， ∴，，， ∴， ∴， 此时：， 如图，当方程①有两个不相等的实数根、方程②有两个相等的实数根时，或当方程①有两个相等的实数根、方程②有两个不相等的实数根时（不符合题意舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解为或；方程的解为， 当时， ，，， 则 ， ∵， ∴，则， ∴， ∴当时，； 当时，而， ∴，，， 则 ， ∴当时，； 此时，当，且时，； 综上所述，当，且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $