专题8 平行线与三大图形变换（平移，轴对称，旋转） 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题8 平行线与图形变换 一、平移 1．（2024春•九台区期末）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，求阴影部分的面积． 2．（2025•南岗区校级开学）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形ABC道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形ABC的边BC所在的直线向右移动，使之平移到三角形DEF的位置． （1）若BE＝3，EF＝8，求EC的长． （2）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． 3．（2025春•南昌县校级月考）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C． （1）如图1，试说明：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数； （3）①如图2，在（2）中，若∠A＝∠C＝x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）． 4．（2024春•永寿县期中）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°． （1）当三角形ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线MN向上平移，求∠3的度数； 【拓展应用】 （3） 缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数． 二、轴对称 5．（2024秋•蜀山区校级期末）如图1，将一条长方形纸带沿EF折叠，设∠AED'＝x度． （1）若x＝130，则∠EFB＝ 　 　度； （2）将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝ 　 　度．（用含x的代数式表示） 6．（2024秋•沭阳县期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE． （2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 7．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处． （1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数． （2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由． 8．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型． （1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝　 　．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由； （2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系． 三、旋转 9．（2025春•上海校级月考）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝　　°； （2）如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与MN交于点P′． 在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒．①当0＜t＜90时，则∠MAM′＝　　°，∠PBP′＝　°　（用含t的式子表示）；②当灯A转动　秒时，两灯的光束可以互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 10．（2024秋•斗门区期末）【问题背景】 10. 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含30°、60°，一块含45°、45°，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，∠α与∠β相等的摆法是　　；∠α与∠β互补的摆法是　　． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°；在△CDE中，∠E＝90°，∠DCE＝30°，∠D＝60°． ①当CD平分∠ACB时，求∠BCE的度数． ②把△ACB绕着点C转动，使得边CB在△CDE内部，分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，如图3，求∠FCG的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变△ABC和△CDE各个角的度数，其中∠ACB＞∠DCE，按如图4所示摆放并分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，把△ABC绕点C旋转一周，请直接写出∠FCG与∠ACB、∠DCE的数量关系． 11．（2025•越秀区校级开学）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）请填空：　　秒后ON与OC重合； （2）如图2，请问经过 　　秒后，MN∥AB； （3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？ （4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值． 12．（2024秋•南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）． （1）如图1，∠BCP的度数为　； （2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值． 13．（2024春•遵义期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　　°（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 专题8 平行线与图形变换 参考答案 一、平移 1．（2024春•九台区期末）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，求阴影部分的面积． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】44． 【分析】根据平移的性质可得DE＝AB，然后求出ME，再求出S阴影＝S梯形ABEM，然后根据梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵直角△ABC沿BC方向平移得到直角△DEF， ∴DE＝AB＝8， ∵DM＝5， ∴ME＝DE﹣DM＝8﹣5＝3， 由平移可得： S阴影＝S△DEF﹣S△MEC ＝S△ABC﹣S△MEC ＝S梯形ABEM （3+8）×8， ＝44． 【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 2．（2025•南岗区校级开学）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形ABC道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形ABC的边BC所在的直线向右移动，使之平移到三角形DEF的位置． （1）若BE＝3，EF＝8，求EC的长． （2）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． 【考点】平移的性质；平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】（1）EC＝5； （2）∠F＝56°． 【分析】（1）由平移的性质可知，BE＝CF＝3，再根据EC＝EF﹣CF即可得出答案； （2）由平移的性质得，AC∥DF，AD∥BF，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得∠F＝∠DAC＝56°． 【解答】解：（1）∵小王把其中一个沿三角形ABC的边BC所在的直线向右移动，使之平移到三角形DEF的位置， ∴BE＝CF＝3， ∵EF＝8， ∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3＝5． （2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠F，∠ACB＝∠DAC， ∵∠DAC＝56°， ∴∠F＝∠DAC＝56°． 【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． 3．（2025春•南昌县校级月考）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C． （1）如图1，试说明：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数； （3）①如图2，在（2）中，若∠A＝∠C＝x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）． 【考点】平行线的判定与性质；平移的性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）35°； （3）①；②；③． 【分析】（1）利用两直线平行的判断和性质进行证明； （2）根据平行线的性质得出∠ADC＝180°﹣∠A＝70°，根据角平分线的定义得出，，根据∠EDB＝∠EDF+∠FDB求出结果即可； （3）①根据解析（2）的方法求出结果即可； ②根据角平分线定义证明∠FDB＝∠EDF＝∠ADE＝∠BDC，求出，根据平行线的性质得出； ③根据平行线的性质证明∠ADE＝∠EDF＝∠FDB＝∠DBC，求出，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC ∴， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB ＝35°． （3）解：①∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝x°， ∴∠ADC＝（180﹣x）°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC ∴， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB ； ②∵∠A＝x°， ∴∠ADC＝（180﹣x）°， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵DB平分∠FDC， ∴， ∵DF平分∠EDB， ∴， ∴∠FDB＝∠EDF＝∠ADE＝∠BDC， ∴， ∵AB∥CD， ∴； 所以∠AED的度数为（180﹣x）°； ③∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠EDC＝∠EDB+∠BDC， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB＝∠ADE+∠EDB， ∵∠AED＝∠CBD， ∴∠EDB+∠BDC＝∠ADE+∠EDB， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴∠ADE＝∠EDF＝∠FDB＝∠DBC， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC（两直线平行，内错角相等）， ∴． 【点评】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，角平分线的定义，平移的性质，解题的关键是弄清角与角之间的关系． 4．（2024春•永寿县期中）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°． （1）当三角形ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线MN向上平移，求∠3的度数； 【拓展应用】 （3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）43°； （2）167°； （3）60°． 【分析】（1）先根据平角的定义，求出∠ACM的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． （2）过点B作BE∥MN，易得BE∥PQ，根据平行线的性质即可解决问题． （3）作CF∥PQ，根据角平分线的定义，结合平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示， ∵∠ACB＝90°，∠1＝47°， ∴∠ACM＝180°﹣∠ACB﹣∠1＝43°． ∵MN∥PQ， ∴∠2＝∠ACM＝43°． （2）过点B作BE∥PQ， 又∵MN∥PQ， ∴BE∥MN， ∴∠CBE＝∠1＝47°． 又∵∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝60°﹣∠CBE＝13°． ∵BE∥MN， ∴∠3＝180°﹣13°＝167°； （3）∵∠BAC＝30°，且AC平分∠BAN， ∴∠1＝∠BAC＝30°． 作CF∥MN， ∵CF∥MN， ∴∠ACF＝∠1＝30°， ∴∠BCF＝90°﹣30°＝60°． 又∵CF∥PQ，MN∥CF， ∴CF∥PQ， ∴∠4＝∠BCF＝60°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 二、轴对称 5．（2024秋•蜀山区校级期末）如图1，将一条长方形纸带沿EF折叠，设∠AED'＝x度． （1）若x＝130，则∠EFB＝ 　25　度； （2）将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝ 　　度．（用含x的代数式表示） 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）25；（2）． 【分析】（1）先求出∠DED′＝50°，再由折叠的性质结合平行线的性质即可得解； （2）设ED′与BC相交于点G，先求出∠DED′＝（180﹣x）°，再由折叠的性质结合平行线的性质得出，∠AED′＝∠EGF＝x°，再由平行线的性质得出∠EGF＝∠GFC′＝x°，由折叠的性质可得：∠GFC″＝∠GFC′＝x°，即可得解． 【解答】解：（1）由题意可得∠AED′＝130°， ∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝50°， 由折叠性质可得：， ∴∠DEF＝∠EFB＝25°， 故答案为：25； （2）设ED′与BC相交于点G， ∵∠AED′＝x°， ∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝（180﹣x）°， 由折叠得：， 由条件可知，∠AED′＝∠EGF＝x°， ∴∠EGF＝∠GFC′＝x°， 由条件可知：∠GFC″＝∠GFC′＝x°， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（2024秋•沭阳县期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE． （2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB＝∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论； （2）求出∠AEB＝70°，由平行线的性质进而得出答案． 【解答】（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF， ∵EG平分∠CEF， ∴∠FEG＝∠CEG， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°， ∴AE⊥EG， ∵HG⊥EG， ∴HG∥AE； （2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°， ∴∠AEB＝70°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝70°， ∵HG∥AE， ∴∠DHG＝∠DAE＝70°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质和矩形的性质是解题的关键． 7．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处． （1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数． （2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】展开与折叠；几何直观；推理能力． 【答案】（1）40°； （2）180°﹣4α． 【分析】（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再运用平角的定义即可求得答案； （2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再运用平角的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置， ∴∠EMN＝∠BMN＝70°， ∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°； （2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下： 如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处， ∴∠PMN＝∠PMQ＝α， ∴∠BMN＝∠NMQ＝2α， ∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α． 【点评】本题考查了几何变换﹣翻折的性质，平角定义的应用等，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键． 8．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型． （1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝　45°　．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由； （2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）①45°；②∠2＝2∠1，理由见解析； （2）∠2+∠3＝90°，理由见解析． 【分析】（1）①根据折叠的性质即可求解； ②如图3：延长FN交ME于H，根据折叠的性质以及平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，根据折叠的性质以及平行线的性质、平角的定义即可求解． 【解答】解：（1）①如图2， ∵∠1＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， 由折叠得：∠2＝∠3， ∴∠2＝∠3＝45°， 故答案为：45°； ②∠2＝2∠1，理由如下： 如图3：延长FN交ME于H， 由折叠得：∠1＝∠GMN， ∵MG∥FN，ND∥ME， ∴∠GMN＝∠MNH，∠2＝∠NHE， ∴∠1＝∠MNH， ∴∠2＝∠NHE＝∠1+∠MNH＝2∠1； （2）∠2+∠3＝90°，理由如下： 如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D， ∵PN∥CD， ∴∠2＝∠6，∠3＝∠7， ∵∠1＝90°， ∴∠4+∠PMC+∠5+∠NMD＝90°， ∵纸片的上下平行， ∴∠4+∠PMC＝∠6，∠5+∠NMD＝∠7， ∴∠6+∠7＝90°， ∴∠2+∠3＝90°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，折叠的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、旋转 9．（2025春•上海校级月考）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝　60　°； （2）如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与MN交于点P′． 在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒．①当0＜t＜90时，则∠MAM′＝　2t　°，∠PBP′＝　（30+t）°　（用含t的式子表示）；②当灯A转动　30　秒时，两灯的光束可以互相平行？ （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【考点】平行线的性质；列代数式；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）60； （2）①2t；（30+t）°；②30； （3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD． 【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数； （2）①根据路程＝速度×时间即可求出； ②若AM′∥BP′，则∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，进而求解； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴， 故答案为：60； （2）①设灯A转动t秒（0＜t＜90）， 则∠MAM′＝（2t）°，∠PBP′＝（30+t）°， 故答案为：2t；（30+t）°． ②若AM′∥BP′，则∠M′AB＝∠P′BA， 又∵QP∥MN， ∴∠PBA＝∠MAB， ∴∠PBA﹣∠P′BA＝∠MAB﹣∠M′AB， ∴∠M′AM＝∠PBP′， ∴2t＝30+t， ∴t＝30， 故答案为：30； （3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣2t， ∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°， 又∵∠ABC＝120°﹣t， ∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t， 而∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， 即∠BAC＝2∠BCD． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，列代数式，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 10．（2024秋•斗门区期末）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含30°、60°，一块含45°、45°，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，∠α与∠β相等的摆法是　②③　；∠α与∠β互补的摆法是　④　． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°；在△CDE中，∠E＝90°，∠DCE＝30°，∠D＝60°． ①当CD平分∠ACB时，求∠BCE的度数． ②把△ACB绕着点C转动，使得边CB在△CDE内部，分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，如图3，求∠FCG的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变△ABC和△CDE各个角的度数，其中∠ACB＞∠DCE，按如图4所示摆放并分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，把△ABC绕点C旋转一周，请直接写出∠FCG与∠ACB、∠DCE的数量关系． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）②③；④； （2）①∠BCE＝15°；②∠FCG＝30°； （3）或． 【分析】（1）分别求出图1中各个图中α、β的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据∠FCG＝∠ECF﹣∠ECG，求出结果即可； （3）分情况讨论：当CB在△DCE内部时；当CB在△DCE外部，且CB、CF在CD上方时；当CB在△DCE外部，且CB在CD上方，CF在CD下方时；当CB在△DCE外部，且CB在CD下方，CF在CE下方时；当CB在△DCE外部，且CB在CD下方，CF在CE上方时；分别画出图形，进行求解即可． 【解答】解：（1）图①中∠α+∠β＝90°； 图②中∠α＝∠β＝180°﹣45°＝135°； 图③中∠1+∠α＝∠1+∠β＝90°， ∴∠α＝∠β； 图④中α+β＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠α与∠β相等的摆法是②③；∠α与∠β互补的摆法是④； 故答案为：②③；④； （2）①∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠BCE＝45°﹣30°＝15°； ②∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠ECF﹣∠ECG30°； （3）当CB在△DCE内部时，如图所示： ∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠ECF﹣∠ECG∠ACB∠BCE﹣∠BCE﹣∠BCG）， 即此时； 当CB在△DCE外部，且CB、CF在CD上方时，如图所示： ∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠ECF﹣∠ECG， 即此时； 当CB在△DCE外部，且CB在CD上方，CF在CD下方时，如图所示： ∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠ECF+∠DCE+∠DCG， 即此时； 当CB在△DCE外部，且CB在CD下方，CF在CE下方时，如图所示： ∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠DCG﹣∠DCE﹣∠ECF， 即此时； 当CB在△DCE外部，且CB在CD下方，CF在CE上方时，如图所示： ∵CF平分∠ACE， ∴， ∵CG平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠DCG﹣∠ACD﹣∠ACF， 即此时； 综上分析可知：或． 【点评】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． 11．（2025•越秀区校级开学）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）请填空：　10　秒后ON与OC重合； （2）如图2，请问经过 　20秒或80秒　秒后，MN∥AB； （3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？ （4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值． 【考点】平行线的性质；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）10秒；（2）20秒或80秒；（3）经过20秒时间OC与OM重合；（4）t的值为秒或秒． 【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出∠AON＝60°，结合旋转速度可得时间t； （3）设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：OM平分∠BOC时（都在AB上方），OC平分∠MOB，OM平分∠BOC时（AB上方、下方各一个角），OB平分∠COM，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵30÷3＝10， ∴10秒后ON与OC重合． 故答案为：10． （2）分两种情况： MN在AB上方时，如图2.1， ∵MN∥AB， ∴∠BOM＝∠M＝30°， ∵∠AON+∠BOM＝90°， ∴∠AON＝60°， ∴t＝60÷3＝20（秒）， ∴经过t秒后，MN∥AB，t＝20秒； MN在AB下方时，如图2.2， ∵MN∥AB，∠M＝30°， ∴∠BON＝60°， ∴∠AON＝60°+180°＝240°， ∴t＝240÷3＝80， ∴经过20秒或80秒后，MN∥AB． 故答案为：20秒或80秒． （3）如图3所示： ∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠BOM， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转， 设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t， ∵OC与OM重合， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， 可得：（30°+6t）+（90°﹣3t）＝180°， 解得：t＝20（秒）； 即经过20秒时间OC与OM重合； （4）分三种情况： ①OM平分∠BOC时，此时OC、OM在AB上方，如图4所示： ∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝180°﹣30°﹣6t＝150°﹣6t， ∴150°﹣6t＝2（90﹣3t），无解； ②OC平分∠MOB，此时OC、OM在AB上方，如图5所示： ∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝150°﹣6t， ∴90﹣3t＝2（150﹣6t）， 解得：t（秒）； ③当OB平分∠COM时，如图6， ∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝6t﹣150°， ∴90﹣3t＝6t﹣150， 解得：t（秒）； ④当OM平分∠BOC时，如图7， ∴∠BOM＝3t﹣90°，∠BOC＝6t﹣150°， ∴6t﹣150°＝2（3t﹣90°），无解； 故t的值为秒或秒． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 54．（2024秋•牡丹江期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． （1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝　90　°． （2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； （3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点】平行线的性质；余角和补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）90； （2）∠AOE﹣∠BOF＝90°，理由见解析过程； （3）∠MON的度数是一个定值，理由见解析过程． 【分析】（1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的性质和平角的性质可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOB+∠BOF＝180°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°； 故答案为90； （2）∠AOE﹣∠BOF＝90°， 理由如下：∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOF+∠BOF＝90°， ∴∠AOE﹣∠BOF＝90°； （3）∠MON的度数是一个定值， 理由如下：∵射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线， ∴∠EOM∠AOE，∠EON∠BOE（∠AOE+∠AOB）∠AOE+45°， ∴∠MON＝∠EON﹣∠EOM＝45°． 【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 12．（2024秋•南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）． （1）如图1，∠BCP的度数为　15°　； （2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）15°； （2）∠COF﹣∠ACP＝45°，理由见解析； （3）α＝30或75或120． 【分析】（1）根据三角板和平行线的性质得出∠BCP的度数； （2）过点O作OG∥PQ，根据平行线的性质得出∠COF﹣∠ACP＝45°； （3）分三种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵△ABCD和△DEF为一副三角板， ∴∠EDF＝45°，∠ACB＝30°， ∵PQ∥MN， ∴∠DCP＝∠EDF＝45°， ∴∠BCP＝∠DCP﹣∠ACB＝15°， 故答案为：15°； （2）∠COF﹣∠ACP为定值，∠COF﹣∠ACP＝45°． 理由如下： 过点O作OG∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴OG∥PQ∥MN， ∴∠ACP＝∠COG，∠GOF＝∠EFD， ∴∠COF﹣∠ACP＝（∠COG+∠GOF）﹣∠ACP ＝（∠ACP+∠EFD）﹣∠ACP＝∠EFD＝45°， ∴∠COF﹣∠ACP为定值，定值是45°； （3）①当AB∥EF时， 点C，B，E，D在同一条直线上， ∴∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴α＝30； ②当AB∥DF时， ∵AB∥DF即AB∥MN， 又∵PQ∥MN， ∴AB∥PQ∥MN， ∴∠DCQ＝180°﹣∠CDF＝180°﹣45°＝135°， ∠ACQ＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠DCQ﹣∠ACQ＝135°﹣60°＝75°， ∴α＝75； ③当AB∥DE时， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴∠ACD＝∠BCD+∠ACB＝90°+30°＝120°， ∴α＝120； 综上，在旋转的过程中，当α＝30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 13．（2024春•遵义期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　（180﹣3t）　°（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）（180﹣3t）； （2）70°； （3）是定值；． 【分析】（1）根据题意得∠MAE＝3t，则∠EAN＝180°﹣3°t， （2）过点C作CG∥MN，则PQ∥CG∥MN，当t＝55时，∠CAN＝180﹣3t＝15°，则∠CAN＝∠GCA＝15°，利用角度和差有∠BCA＝∠GCA+∠BCG即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t，∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN，根据平行线的性质得∠BCA＝∠CBD+∠CAN，结合垂直得∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA，则有2∠BAC＝3∠BCD即可． 【解答】解：（1）根据题意得∠MAE＝3t，则∠EAN＝180°﹣3°t， 故答案为：180﹣3t； （2）过点C作CG∥MN，如图， 则PQ∥CG∥MN， 当t＝55时，∠CAN＝180﹣3t＝180°﹣3°×55＝15° ∴∠CAN＝∠GCA＝15°， ∵∠BCG＝∠CBP＝55°， ∴∠BCA＝∠GCA+∠BCG＝70°； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t， ∵∠BAN＝45°， ∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45﹣（180﹣3t）＝3t﹣135， ∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180﹣3t＝180﹣2t， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90° ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝90﹣（180﹣2t）＝2t﹣90， ∴2∠BAC＝3∠BCD， ∴， 即∠BCD：∠BAC的比值是一个定值，这个定值为． 【点评】本题主要考查平行线的性质，余角、补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$