精品解析：四川省射洪中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

射洪中学高2023级高二（下）第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 2. 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案. 【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数， 所以， 所以的值为， 故选：D. 3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得出函数的单调性以及极值. 【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误； 在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误； 当时，；当时，，即函数在上单调递增， 在上单调递减，即函数在出取得极大值， 且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确. 故选：D. 4. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为，即对恒成立，进而得解. 【详解】由题意函数在上为增函数， 可知， 即对恒成立， 所以． 故选：B. 6. 若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ） A. 2或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数，求导得， 切线方程化成斜截式为， 由题设知，显然，即， 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或， 即或，解得或. 故选：D. 7. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递减，在区间单调递增，分和两种情况，利用单调性即可求得不等式的解集． 【详解】令，则， 因为当时，， 所以，当时，，即在区间单调递减； 又是定义在上的偶函数， 所以是上的偶函数， 所以在区间单调递增； 又， 当时，由，得， 即，所以； 当时，由，得， 即，所以， 综上，不等式的解集是， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ） A. B. C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，因为，所以， 所以，则，故A正确、B错误； 当时单调递减，此时， 所以当或时取得最大值，即，故C正确； 当时单调递增，此时， 所以当或时取得最小值，即，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 若有两个不同的实根，则 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对D，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故D正确； 对C，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故C正确； 故选：ACD 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，由点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点， 因 ， 令，得， 由导数几何意义知：， 又， 所以切点为， 故曲线在处的切线方程为：， 整理得： . 故答案为：. 13. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 14. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】等价变形不等式，构造函数，利用单调性脱去法则，转化成恒成立的不等式，并分离参数构造函数，求出函数的最大值即得. 【详解】函数，， 令，显然函数上单调递增，而不等式等价于， 因此，， 令函数，求导得，当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，则，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求值； （2）当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【小问1详解】 由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图， 由图知. 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解. 【小问1详解】 当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，记函数的最小值为，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果； （2）根据（1）的单调性求出，再利用导数可证不等式成立. 【小问1详解】 的定义域为， , 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 18. 已知数列满足，（）． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用等差数列的定义即可证明结果，由等差数列的通项公式可得到，从而求出数列的通项公式； （2）根据（1）中结果，得到，从而得到，利用裂项相消法得到，再根据条件，将问题转化成求的最大值即可解决问题. 【小问1详解】 因为，得到， 所以为常数， 又，所以， 故数列是公差为，首项为的等差数列， 由，得到， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 由对任意的正整数n都成立，得到， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，得到, 所以，实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）极大值为，极小值为. （2）（i）；（ii）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）求导研究函数的单调性即可； （2）（i）求导后利用换元法，将问题转化为在上有两个不同零点，再求的取值范围； （ii）利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时， ， 则， 由得，；得，或， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 （i）， 则， 令，则， 因，故， 当，即时，， 则在上单调递减，无极值，不满足题意； 当时，令， 欲使有两个极值点， 需使在上有两个不同零点， 则，即， 则的取值范围为. （ii）由（i）可知，， 则 令，则， 令，则， 则在上单调递减，因， 则存在使得，即， 则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则， 又，则，则. 【点睛】关键点点睛：第（i）的关键在于转化与划归思想，求导后得到，可令将其转化为一元二次函数，故而可将问题转化为在上有两个不同零点；第（ii）的关键在于利用（i）中的韦达定理将化简为关于的函数，进而求该函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 射洪中学高2023级高二（下）第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极小值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 4. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ） A. 2或 B. C. D. 或 7. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等差数列公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ） A. B. C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值 10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 单调减区间是 C. 若有两个不同的实根，则 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为________． 13. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 14. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，记函数的最小值为，求证：. 18. 已知数列满足，（）． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 19 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$