精品解析：福建省福州第十九中学2024-2025学年 九年级下学期数学3月月考试题

福州第十九中学2024—2025学年第二学期3月校本练习 九年级数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2024年，福州市实现地区生产总值（）14236亿元，其中数据14236亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 砚台是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在 中， ，，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A. B. C. D. 8. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与 ， 分别相交于点 ， ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：_____． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是_____． 15. 已知，且，则的值为______． 16. 如图，在正方形 中， 为CD上一点，连接 ，过点 作于点 ，若，，则______． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次，某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38． 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32． 根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； （2）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法，求甲被抽中的概率． 21. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 22. 如图， 是的直径，是的弦， 和相交于点，点是弦的中点． （1）若点 在上，连接．求证：． （2）在弦上方的优弧作一点，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的． 素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有． 素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站 ，其中格点位置四通八达． 任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站 的坐标为，且与点 的曼距，请求出消防站 的位置； 任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站 的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E． 任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站 在原点处，请探究消防站 到公路 （即射线 ）上一点 的曼距的最小值． 24. 已知，二次函数． （1）若二次函数图象过点，其中 ，，都是整数，且为偶数，求证：是偶数． （2）若二次函数图象过点，，求的取值范围． （3）若二次函数图象过点，，且，，设点是抛物线的顶点，求证：． 25. （1）［特殊发现］如图1，在正方形 中， ， 分别是边上的点，连接当时，求的值． （2）［类比探究］如图2，在矩形 中，， ， ，分别是边上的点，连接，当时，求的值． （3）［拓展应用］如图3，在四边形 中， ，，， ， 分别是边上的点，连接相交于点，连接，当时，求线段 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2024—2025学年第二学期3月校本练习 九年级数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 2024年，福州市实现地区生产总值（）14236亿元，其中数据14236亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：14236亿， 故选：B. 3. 砚台是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答． 【详解】解：它的俯视图是 故选：C． 4. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补两直线平行即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴两条铁轨平行， 其它选项无法证明两条铁轨平行， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，同底数幂相除，积的乘方，据相关法则逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 在 中， ，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的计算、余弦的定义等知识点，掌握余弦的定义是解题的关键． 先利用勾股定理求出 的长，再根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在 中， ，，， ∴, ∴. 故选C． 7. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 8. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解决本题的关键． 先把时间化为小时，设甲车的速度为，则乙车的速度为，表示出两车的时间，再根据时间相差5分钟建立方程即可． 【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程： ， 故选：D． 9. 如图，在等腰三角形中，，，以 为直径作半圆，与 ， 分别相交于点， ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接 ，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在 中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 13. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 15. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，代入化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中， 为CD上一点，连接 ，过点 作于点 ，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，根据勾股定理可求得，再证明，即可求得的值，先求得的值是解题的关键 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ，， ， 根据勾股定理可得，， ， ， 则， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， 经检验是原分式方程的解， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，三角函数特殊值，算术平方根，先计算各项值，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 18. 如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 【答案】 证明： 、 、、 四点共线，且， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由，可得，结合，，可证明，即可解答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当 时， 原式. 20. 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次，某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38． 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32． 根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； （2）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法，求甲被抽中的概率． 【答案】（1）7.38秒；8.26秒 （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，列表法与树状图法、众数、中位数，熟练掌握列表法与树状图法、众数、中位数的定义是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，男生成绩的众数为7.38秒． 将5名女生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第3名的成绩为8.26秒， 女生成绩的中位数为8.26秒． 故答案为：7.38秒；8.26秒． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲），共4种， 甲被抽中的概率为． 21. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答； （2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答. 【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产吨， 依题意，得， 解得，则， 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着 的增大而增大， 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 22. 如图， 是 的直径， 是 的弦， 和 相交于点 ，点 是弦 的中点． （1）若点 在 上，连接．求证：． （2）在弦 上方的优弧作一点 ，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质，利用角平分线正确作出图形是解题的关键． （1）根据点 是弦 的中点可得，即可得到； （2）找的中点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求． 【小问1详解】 解：是 的直径，点 是弦 的中点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，找的中点 ，连接 交 于点 ， 根据（1）可得，即是的平分线， 根据角平分线的性质，可得点 到的距离相等， ， ， ， 由于点 到的距离相等， ， 故点 即为所求． 23. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的． 素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为 ，都有． 素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达． 任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点 的曼距，请求出消防站的位置； 任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E． 任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值． 【答案】任务1：或；任务2：ABE；任务3： 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可； （2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案； （3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案. 【详解】解：任务1：∵， ∴， ∴， ∴， ∴消防站的位置为或； 任务2：当选作为D点时， ∵，， ∴，， ∴； 同理当作为D点时，； 当作为D点时，； 当作为D点时，； 当作为D点时，； ∴当选则或或时最小， 故答案为：ABE； 任务3：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 当时，， ∴此时当时，有最小值； 当时，， ∴此时， 综上所述，得到最小值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键． 24. 已知，二次函数． （1）若二次函数图象过点，其中， ，都是整数，且为偶数，求证：是偶数． （2）若二次函数图象过点，，求的取值范围． （3）若二次函数图象过点，，且，，设点是抛物线的顶点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练利用二次函数的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）将点代入二次函数解析式即可解答； （2）把点，代入二次函数解析式，用表示，即可得到的取值范围； （3）二次函数图象过点，，说明二次函数图象与直线有两个交点，根据二次函数的性质和一元二次方程根与系数的关系证明即可． 【小问1详解】 证明：将点代入二次函数解析式可得， ， 为偶数，为偶数， 为偶数； 【小问2详解】 解：把点，代入二次函数解析式， 可得， 两式相减可得，解得， 两式相加可得，则， ， 当时，取最大值，为， ； 【小问3详解】 证明：点，在直线上， 若二次函数图象过点，， 则直线与抛物线有两个交点， 列方程， 即， ， ， ， 即， ， ， ． 25. （1）［特殊发现］如图1，在正方形中， ， 分别是边上的点，连接当时，求的值． （2）［类比探究］如图2，在矩形中，， ， ， 分别是边上的点，连接，当时，求的值． （3）［拓展应用］如图3，在四边形中， ，，， ， 分别是边上的点，连接相交于点 ，连接，当时，求线段 的最小值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）过点 作，交 于点，证明四边形为平行四边形，同（1）中原理可得，则可得，即可解答； （3）作交 的延长线于点 ，作交的延长线于点 ，连接 ，过点 作交 于点 ，设 为 的中点，证明，求得，再证明四点共圆，则可得 的最小值为． 【详解】解：（1） ， 四边形为正方形， ，， ， 即 ， ， ， ； （2）如图，过点 作，交 于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 同（1）中原理可得， ， ， ； （3）如图，作交 的延长线于点 ，作交的延长线于点 ，连接 ，过点 作交 于点 ，设 为 的中点， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，则， 根据， 可得， 解得， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，则， 四点共圆，在以 为圆心，长度为半径的圆上，如图， ， 当点三点共线时， 最短， 如图，连接，过点 作于点 ， 则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离,正方形的性质、矩形的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $