专题强化03：随机变量及其分布【十三大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

专题强化03：随机变量及其分布 【题型归纳】 · 题型01：条件概率的计算 · 题型02：全概率公式的计算 · 题型03：（离散型）随机变量的概念 · 题型04：随机变量的分布列问题 · 题型05：利用均值和方差的性质求解 · 题型06：利用均值和方差解决风险和决策问题 · 题型07：二项分布模型求分布列 · 题型08：二项分布的概率最大问题 · 题型09：二项分布模型实际应用 · 题型10：正态分布的性质问题 · 题型11：正态分布参数问题 · 题型12：正态分布3Q原则 · 题型13：随机变量及其分布综合 【题型探究】 题型01：条件概率的计算 1．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·天津滨海新区·期末)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 题型02：全概率公式的计算 4．(24-25高二上·河南焦作·期末)某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 5．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（    ） A． B． C． D． 题型03：（离散型）随机变量的概念 7．(23-24高二下·福建福州闽江口协作体（七校）·期中)下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 8．(23-24高二下·重庆西北狼教育联盟·期中)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 9．(21-22高二下·北京十二中·期末)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 题型04：随机变量的分布列问题 10．(24-25高二上·江西·)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 11．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 12．(23-24高二下·天津经济技术开发区第一中学·期中)甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 题型05：利用均值和方差的性质求解 13．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 14．(23-24高二下·天津河东区·期中)已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·浙江金兰教育合作组织·期中)已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型06：利用均值和方差解决风险和决策问题 16．(24-25高二上·云南昆明第一中学·期末)某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 17．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 18．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 题型07：二项分布模型求分布列 19．(23-24高二下·山东潍坊寿光·期中)某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·山东青岛黄岛区·期中)若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 21．(20-21高二下·山东青岛莱西·期末)设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型08：二项分布的概率最大问题 22．(23-24高二下·广西示范性高中·调研)已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高二下·重庆巴蜀中学校·期末)某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 24．(23-24高二下·广东东莞高级中学、东莞第六高级中学·)某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 题型09：二项分布模型实际应用 25．(22-23高二下·广东东莞长安中学等七校·期中)广东顺德双皮奶是一种粤式甜品，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率. (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； (2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.（结果用分数表示） 26．(22-23高二下·河南商丘名校·期末)某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 27．(22-23高二下·山东烟台·期中)某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 题型10：正态分布的性质问题 28．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 29．(23-24高二下·山东聊城·期末)设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 30．已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型11：正态分布参数问题 31．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 32．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．(21-22高二下·山东聊城·期末)已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ） A．0 B． C． D． 题型12：正态分布3Q原则 34．(23-24高二下·重庆主城四区（九龙坡区、大渡口区、渝中区、北碚区）·期末)某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 35．(23-24高二下·广东清远·期末)某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（    ）（参考数据:若，则 A．134 B．120 C．116 D．110 36．(23-24高二下·山东聊城水城中学等校·期中)商场出售的袋装大米，每袋净重X（单位：kg）服从正态分布．随机抽取1袋，其净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为（    ） （注：若，，，） A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755 题型13：随机变量及其分布综合 37．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 38．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 39．(24-25高三上·重庆杨家坪中学·期中)某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【专题强化】 一、单选题 1．(24-25高二下·河北沧州任丘第一中学·)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·河北沧州任丘第一中学·)已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 3．(24-25高三下·重庆巴蜀中学校·月考)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 4．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 5．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·)一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论错误的个数是（ ） ①       ②      ③         ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 8．(24-25高二下·河北衡水第二中学·调研)已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 9．随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高三上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)下列四个命题中正确的是（   ） A．已知事件相互独立，，，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知，，，则 11．(24-25高二上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)下列命题中，正确的是（    ） A．已知随机变量服从正态分布，若，则 B．除以15的余数为2 C．在的展开式中，含的项的系数是 D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 12．(24-25高二上·江西九江·期末)现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 三、填空题 14．(24-25高二下·江西临川第一中学·月考)小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 15．(24-25高二下·百师联盟·)某校高三年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．已知等级分所在区间为，若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为 ． 参考数据：，，． 16．(24-25高二上·山东日照·期末)假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是 ． 17．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 四、解答题 18．(24-25高二上·河南焦作·期末)为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 19．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 20．(23-24高二下·江苏沭阳高级中学·月考)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 21．(23-24高二上·江苏沭阳高级中学·期末)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 22．(23-24高二下·浙江宁波鄞州中学·期中)2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：随机变量及其分布 【题型归纳】 · 题型01：条件概率的计算 · 题型02：全概率公式的计算 · 题型03：（离散型）随机变量的概念 · 题型04：随机变量的分布列问题 · 题型05：利用均值和方差的性质求解 · 题型06：利用均值和方差解决风险和决策问题 · 题型07：二项分布模型求分布列 · 题型08：二项分布的概率最大问题 · 题型09：二项分布模型实际应用 · 题型10：正态分布的性质问题 · 题型11：正态分布参数问题 · 题型12：正态分布3Q原则 · 题型13：随机变量及其分布综合 【题型探究】 题型01：条件概率的计算 1．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据题意结合古典概型求，进而可得条件概率. 【详解】由题意可得：，， 所以． 故选：B. 2．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2024—2025学年度高三一轮复习摸底测试卷 数学（二） 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可. 【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则，，， 因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以. 故选：D. 3．(23-24高二下·天津滨海新区·期末)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市滨海新区2023-2024学年高二下学期期末数学试题 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 题型02：全概率公式的计算 4．(24-25高二上·河南焦作·期末)某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【来源】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 5．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 6．为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届高三数学信息检测原创卷（六） 【分析】根据题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”， 则，，， 则. 故选：C. 题型03：（离散型）随机变量的概念 7．(23-24高二下·福建福州闽江口协作体（七校）·期中)下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【来源】福建省福州市闽江口协作体（七校）2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 8．(23-24高二下·重庆西北狼教育联盟·期中)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【来源】重庆市西北狼教育联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联合测试数学试卷 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 9．(21-22高二下·北京十二中·期末)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【来源】北京十二中2021-2022学年高二下学期期末练习数学试题 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量； 故选：C. 题型04：随机变量的分布列问题 10．(24-25高二上·江西·)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【来源】江西省2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 11．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. (1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； (2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”,根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，则，，， 则.. （2）合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为， ； ； ； . 则分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 12．(23-24高二下·天津经济技术开发区第一中学·期中)甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)的分布列见解析，期望为 【来源】天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由古典概型的概率公式求解即可， （3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望. 【详解】（1）先从3个同学中选出2个同学，有, 从4个社团中选2个，有种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法， 因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 （2）同学甲选报足球社的概率为， （3）甲报足球的概率为，不报的概率为， 乙丙报足球的概率均为，不报的概率为， 故可取， , 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 题型05：利用均值和方差的性质求解 13．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 14．(23-24高二下·天津河东区·期中)已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用离散型随机变量的分布列及期望、方差公式计算一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，解方程得，故A、B错误； 因为，所以，故C错误； 由条件可知， 所以，故D正确. 故选：D 15．(23-24高二下·浙江金兰教育合作组织·期中)已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【来源】浙江金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质、期望和方差公式，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，a， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确． 故选：C. 题型06：利用均值和方差解决风险和决策问题 16．(24-25高二上·云南昆明第一中学·期末)某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)投资项目一更合理，理由见解析 【来源】云南省昆明第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）由分布列的概念即可求解； （2）分别计算两个投资项目的期望、方差比较大小即可判断； 【详解】（1）由题意随机变量和的分布列为： 400 -100 500 -300 0 （2）（万元），（万元）， 又， ， 由，说明项目一､项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 17．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【来源】江西省南昌中学三经路校区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 18．(24-25高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为；②答案见解析. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解. （2）①求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按和分类求出的表达式，再建立不等式求出对应的整数. 【详解】（1）设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”， 所以. （2）①的可能取值为2，3，4， ， 所以的分布列为： 2 3 4 数学期望. ②当时，只能取，此时有； 当时，整数满足，其中是和中的较小者， 由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k位同学，得所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为， 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为， 由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为， ， 当时，， ， 因此取得最大值时，满足， 假如成立，则当能被整除时，在和处达到最大； 当不能被整除时，在处达到最大值（表示不超过的最大整数）， 下面证明： 由，得， ，则，显然， 因此. 【点睛】关键点点睛：求使取得最大值的值，关键是求出的表达式，再利用最大概率问题求解. 题型07：二项分布模型求分布列 19．(23-24高二下·山东潍坊寿光·期中)某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省潍坊市寿光市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题 【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 20．(23-24高二下·山东青岛黄岛区·期中)若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【来源】山东省青岛市黄岛区2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 21．(20-21高二下·山东青岛莱西·期末)设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【来源】山东省青岛市莱西市2020-2021学年高二下学期期末数学试题 【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案． 【详解】由于随机变量满足： ，， ， 解得：，即 ， 又随机变量，满足：， ， 故选：C. 题型08：二项分布的概率最大问题 22．(23-24高二下·广西示范性高中·调研)已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西示范性高中2023-2024学年高二下学期4月联合调研测试数学试题 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 23．(23-24高二下·重庆巴蜀中学校·期末)某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【来源】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键. 24．(23-24高二下·广东东莞高级中学、东莞第六高级中学·)某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若确定，则当时，有最小值 C．若，，则当或时，取得最大值 D．若，，则 【答案】C 【来源】广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学2023-2024学年高二下学期5月联合教学质量检测数学试卷 【分析】对于A，根据直接计算即可；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据直接计算即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，则，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即，即，解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在次射击中击中目标的次数， ，故D不正确. 故选：C 题型09：二项分布模型实际应用 25．(22-23高二下·广东东莞长安中学等七校·期中)广东顺德双皮奶是一种粤式甜品，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率. (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； (2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【来源】广东省东莞市长安中学等七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数，利用二项分布的概率公式求即可； （2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果. 【详解】（1）依题意每天能卖出件水牛奶的概率为，卖出件以下的概率为， 记三天中卖出件水牛奶的天数为，则， 所以. （2）①第一天营业结束后不补货的情况为销售件或销售件， 所以，， 令第二天货架上有1件存货，则，， 所以. ②第一天营业结束后补货的情况为销售3件或销售2件， 所以，， 令第二天货架上有1件存货，则，， 所以. 综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率. 26．(22-23高二下·河南商丘名校·期末)某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】河南省商丘名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】（1）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求； （2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率. 【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 ． （2）每一轮获得纪念章的概率为， 设4轮答题获得纪念章的数量为，则， ， 即甲同学则获得2枚纪念章的概率是． 27．(22-23高二下·山东烟台·期中)某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【来源】山东省烟台市2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算； （2）根据期望公式结合与之间的关系分析运算. 【详解】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为，则， 则， 所以甲只生产10件产品即结束考核的概率. （2）由（1）可知：，， 可得随机变量的期望， 故， 由题意可得：，或， 则 ， 故随机变量X的数学期望. 题型10：正态分布的性质问题 28．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】C 【来源】河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 29．(23-24高二下·山东聊城·期末)设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省聊城市2023-2024学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 30．已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省扬州市仪征市四校2024届高三下学期4月联合学情检测数学试卷 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 题型11：正态分布参数问题 31．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 32．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题 【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，则，， 若则， 即，故充分性成立， 若，则， 解得或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 33．(21-22高二下·山东聊城·期末)已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省聊城市2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【分析】利用二项分布的方差计算公式得出，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数． 【详解】由题意，，则， 又，则，解得 故选：A 题型12：正态分布3Q原则 34．(23-24高二下·重庆主城四区（九龙坡区、大渡口区、渝中区、北碚区）·期末)某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【答案】A 【来源】重庆市主城四区（九龙坡区、大渡口区、渝中区、北碚区）2023-2024学年高二下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题 【分析】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 则，故， ， 故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名. 故选：A. 35．(23-24高二下·广东清远·期末)某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（    ）（参考数据:若，则 A．134 B．120 C．116 D．110 【答案】D 【来源】广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解. 【详解】依题意，， 显然， 所以等级分数线大概为分. 故选：D 36．(23-24高二下·山东聊城水城中学等校·期中)商场出售的袋装大米，每袋净重X（单位：kg）服从正态分布．随机抽取1袋，其净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为（    ） （注：若，，，） A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755 【答案】A 【来源】山东省聊城市水城中学等校2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题 【分析】根据题意，由正态分布的对称性以及代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，，可得， 则净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为， 由正态分布的对称性可知， . 故选：A 题型13：随机变量及其分布综合 37．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 38．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【来源】2025届四川省内江市高三一模考试数学试题 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 39．(24-25高三上·重庆杨家坪中学·期中)某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【答案】(1)80，0.8186 (2)①；②；③4 【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年高三上学期期中模拟考试数学试题 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得． 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为4. 【专题强化】 一、单选题 1．(24-25高二下·河北沧州任丘第一中学·)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北省沧州市任丘市第一中学2024-2025学年高二下学期阶段考试（一）数学试卷 【分析】先求出，，然后由全概率公式求解出即可. 【详解】因为，所以， 由得：， 所以由全概率公式得：， 故选：A 2．(24-25高二下·河北沧州任丘第一中学·)已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（    ） A．或 B．或 C． 或 D． 【答案】B 【来源】河北省沧州市任丘市第一中学2024-2025学年高二下学期阶段考试（一）数学试卷 【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 3．(24-25高三下·重庆巴蜀中学校·月考)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题 【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 4．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 【答案】C 【来源】山西省部分学校2025届高三下学期2月开学联考考试数学试题 【分析】由正态分布的对称性即可求解； 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 5．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省南昌市东湖区南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 7．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·)一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论错误的个数是（ ） ①       ②      ③         ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段检测（12月）数学试题 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知,,, 则,, 故4个结论均不对， 故选：D 二、多选题 8．(24-25高二下·河北衡水第二中学·调研)已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】BC 【来源】河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次调研考试数学试题 【分析】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 9．随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】福建省龙岩市2025年高中毕业班三月教学质量检测数学试题 【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差，再分析正态分布与二项分布的基本参数和性质，然后逐一验证选项的正确性. 【详解】对于正态分布，其期望和方差分别为3和1， 对于二项分布，有，， 选项A： ，，因此成立，故A正确； 选项B： ，，因此，故B错误； 选项C： 由于正态分布具有对称性，若，则，故C正确； 选项D： 对于二项分布，其概率公式为 ， ， 而，故D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高三上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)下列四个命题中正确的是（   ） A．已知事件相互独立，，，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．已知，，，则 【答案】BCD 【来源】黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期期末数学试题 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式判断A；利用正态分布的对称性判断B，利用二项分布的方差公式和方差的性质判断C，利用全概率公式判断D. 【详解】选项A：因为事件相互独立，，， 所以，，A说法错误； 选项B：因为随机变量，， 又因为，所以，，B说法正确； 选项C：由解得， 又因为随机变量，所以，解得，C说法正确； 选项D：因为，所以， 所以，D说法正确； 故选：BCD 11．(24-25高二上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)下列命题中，正确的是（    ） A．已知随机变量服从正态分布，若，则 B．除以15的余数为2 C．在的展开式中，含的项的系数是 D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，根据正态分布的性质即可求解；对于B和C，利用二项式定理即可求解；对于D，根据条件概率即可求解. 【详解】对于A，随机变量服从正态分布，所以，则，故A正确； 对于B，，所以除以15的余数为1，故B错误； 对于C，在的展开式中，含的项即5个因式中， 其中4个选，余下的一个选常数相乘，即可得到项，比如都选，此时系数为， 依此类推，含的项的系数是，故C正确； 对于D，设甲乙两种病都患的概率为，则，解得， 所以家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为，故D正确. 故选：ACD. 12．(24-25高二上·江西九江·期末)现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 13．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 三、填空题 14．(24-25高二下·江西临川第一中学·月考)小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ． 【答案】/ 【来源】江西省临川第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，代入， 可解得， 所以. 故答案为：. 15．(24-25高二下·百师联盟·)某校高三年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．已知等级分所在区间为，若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为 ． 参考数据：，，． 【答案】 【来源】百师联盟2024-2025学年高二下学期开学摸底大联考数学试题 【分析】根据正态分布性质得出，，再结合已知概率计算人数. 【详解】因为，所以，， ， 所以这次考试等级分在内的人数约为． 故答案为：96. 16．(24-25高二上·山东日照·期末)假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是 ． 【答案】9 【来源】山东省日照市2024-2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得，分析可知，利用二项分布的性质求方差. 【详解】由题意可知：，且， 则，可得， 由题意可知：， 所以随机变量的方差. 故答案为：9. 17．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【来源】江西省南昌中学三经路校区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 四、解答题 18．(24-25高二上·河南焦作·期末)为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【答案】(1)0.5 (2)分布列见解析， (3)或 【来源】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为建立方程求得参数值，利用矩形面积的意义以及概率加法公式，可得答案； （2）利用分层抽样的概念以及比例可得每个区间的人数，根据超几何分布求得分布列，结合数学期望的计算公式，可得答案； （3）利用二项分布的概率公式，根据组合数的对称性与二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． （2）由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （3）由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 19．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】江西省赣州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率 20．(23-24高二下·江苏沭阳高级中学·月考)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【答案】(1)， (2) (3)1 【来源】江苏省沭阳高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 （3）由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 21．(23-24高二上·江苏沭阳高级中学·期末)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【来源】江苏省沭阳高级中学2023-2024学年高二（实验班）上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 22．(23-24高二下·浙江宁波鄞州中学·期中)2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【来源】浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$