精品解析：四川省南充市西充中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

西充中学高2023级高二下期数学3月月考 命题人： 做题人： 审题人： 时间：2025.3.26 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列是公差为的等差数列，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式求得. 【详解】设公差，. 故选：D 2. 在等比数列中，，公比，，则项数n为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列出关于的等式，由此求解出的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，考查学生对等比数列的通项公式的基本运用，难度容易. 3. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求椭圆方程即可. 【详解】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，把点(4，0)，(0，2)代入得： 所以 故选：D． 【点睛】待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程. 4. 已知等比数列首项为，前项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，可求得、表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题得， 即，则， 故选：A. 6. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，求出的导数，即可求得答案. 【详解】由可得， 故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）. 故选：A 7. 数列：，，，，…，，…的前n项和＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分组求和，分别应用等差数列和等比数列求和即可. 【详解】依题意，得该数列的通项公式为， ∴ ． 故选：A． 8. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：， ，进而判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，且， 所以，， 即，所以，，且，所以B错误，D正确； 因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误； 所以当时，取得最大值，所以C错误. 故选：D 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 10. 记为等差数列的前项和，则（ ） A. B. C. ，，成等差数列 D. ，，成等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式分别判断. 【详解】由已知得， A选项，，，，所以，A选项错误； B选项，，B选项正确； C选项，，，，，，则，C选项正确； D选项，，，，则，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前10项和为150 C. 的前11项和为-14 D. 的前16项和为168 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式得，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D. 【详解】由得： 当时，， 两式相减得， 故，当 时，也符合，故， 对于A,，故A正确， 对于B，的前10项和为，故B错误， 对于C，的前11项和为，故C正确， 对于D，当，解得，所以， 所以的前16项和为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若等比数列满足，，则公比______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据，将整体相除可直接求解出公比的值. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，先求出函数在处的导数，进而根据导数的几何意义得到答案. 【详解】k＝ . 故答案为：1. 14. 已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，再结合递推思想，即可求出范围. 【详解】由等差数列的前项和公式可得：， 由是中的唯一最小项，则， 即，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质及等差数列通项公式与求和公式列方程，解方程组； （2）根据等差数列的求和公式直接计算. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由是，的等差中项，得， 即，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以. 16. 记为等差数列的前n项和．已知， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由等差数列的前n项和， 可得，，可得，所以公差 ， 所以的首项为2，公差为1，可得通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 设数列的前n项和为， 则. 17. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由等比数列性质以及基本量的计算即可求解. （2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为.由,得, ,解得, 由,得, 解得, 的通项公式为. 【小问2详解】 , ，① ，② ①-②得 ， ， . 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为 ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 【答案】（1）（元） ；（2）小张申请该笔贷款能够获批 ；（3）小张应选择等额本金的还款方式． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息； （2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中， 每月的还款额构成等差数列，记为， 用表示数列的前项和， 则，， 则， 故小张的该笔贷款的总利息为（元）． （2）设小张每月还款额为 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则， 所以， 即， 因为， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元）， 因为， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西充中学高2023级高二下期数学3月月考 命题人： 做题人： 审题人： 时间：2025.3.26 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列是公差为的等差数列，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 2. 在等比数列中，，公比，，则项数n为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（ ） A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 4. 已知等比数列首项为，前 项和为，若，则公比为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 7. 数列：，，，，…，，…的前n项和＝（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前 项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B. 在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 10. 记为等差数列的前 项和，则（ ） A. B. C. ，，成等差数列 D. ，，成等差数列 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前10项和为150 C. 的前11项和为-14 D. 的前16项和为168 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若等比数列满足，，则公比______________． 13. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 14. 已知数列是以3为公差的等差数列，是其前 项的和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前 项和为，且是，的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 16. 记为等差数列的前n项和．已知， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求的通项公式; （2）设，求数列的前 项和. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式： ①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同； ②等额本息：每月的还款额均相同． 银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%． （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息． （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）． 参考数据：． （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $