精品解析：天津市天津中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性检测（3月）数学试题

2024-2025 学年第二学期天津中学高一年级第一次阶段性检测 数学试卷 考试范围：平面向量及其应用 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一.单选题 1. 向量（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 18 3. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 6. 在中，已知，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 7 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 9. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10. 设为所在平面内一点，满足，则面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 11. 在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 12. 下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误是____（填序号）． 13. 正六边形ABCDEF的边长为1，则______. 14. 已知向量满足，则______． 15. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 16. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 17. 已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则_________． 18. 已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是______． 19. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________. 20. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则__________. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为_________. 22. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则最小值为______. 23. 如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为____________． 24. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是______． 三、解答题 25. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数值； （2）若，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 26. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 27. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第二学期天津中学高一年级第一次阶段性检测 数学试卷 考试范围：平面向量及其应用 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一.单选题 1. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 2. 已知，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据坐标法计算可得. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C 3. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 或 B. 或3 C. 或3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 6. 在中，已知，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个角为的直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 7. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 8. 已知平面向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 9. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用投影向量公式，结合数量积运算即可. 【详解】在上投影向量， ，， 则， 由于，， 故选：B． 10. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 11. 在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】△中，，为的中点， 所以， 设，则，， ， 即当时，的最小值为. 故选：B. 第II卷（非选择题） 二、填空题 12. 下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案：②③④ 13. 正六边形ABCDEF的边长为1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质及已知，利用向量数量积的几何意义及定义求值即可. 【详解】正六边形如下图所示，，，且， 所以， 则. 故答案为： 14. 已知向量满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解. 【详解】因为， 所以，化简得． 又因为， 所以． 故答案为：2 15. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 16. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 17. 已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先得到，再利用余弦定理求解. 【详解】由，故， 则，故． 故答案为：3 18. 已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量方向相反可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围. 【详解】∵与方向相反，∴，∴，∴， 由得，∴实数t取值范围是. 故答案为： 19. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即，所以， 所以. 故答案为：． 20. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用给定条件得到平行，找到角之间的关系，代入后化简求值即可. 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以， 故，解得， 所以. 故答案为：2 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由已知等式，利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，从而利用正弦定理可得答案. 【详解】因为且， 所以由正弦定理可得， 整理得，可得， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为:1. 22. 在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值． 【详解】由题意，，， 所以，， 又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得， ， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值为， 故答案为：． 23. 如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由得， 设，所以， 故当时，取最大值， 故答案为： 24. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解. 详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 三、解答题 25. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【小问1详解】 ． 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为． 26. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角. （2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，所以. 所以. 27. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$