湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

临澧一中高二年级3月月考试卷 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是 A. B. C. D. 4. 已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知双曲线，则双曲线（ ） A. 焦点坐标为和 B. 渐近线方程为和 C. 离心率为 D. 与直线有且仅有一个公共点 10. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 为的极小值 D. 有两个极小值 11. 对于一般函数，如果存在实数，使得，那么就称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.则（ ） A. 有1个不动点 B. 有2个不动点 C. 有3个不动点 D. 没有不动点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______. 13. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数，且在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的值域． 16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 17. 已知椭圆，分别为椭圆C的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点（l不过点）． （1）若Q为椭圆C上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积． （2）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线l过定点，并求出此定点． 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 19. 已知函数（）． （1）证明：曲线在处的切线恒过定点； （2）令函数，讨论函数的单调性； （3）已知有两个零点，且，证明：． 临澧一中高二年级3月月考试卷 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1），； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 设， 易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得. ，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【18题答案】 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【19题答案】 【答案】（1）由题意得： 所以，因为 所以曲线在处的切线方程为． 整理得：． 令，解得 所以曲线在处的切线恒过定点． （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）因为，，， 所以， 即，； 当时，方程只有一解，不满足题意； 当时，两式相比得，．令，因为，所以 所以，解得， 所以 令，则，令，则 所以在上单调递增．因为且，所以， 所以，在上单调递增，所以 即，即 所以．因为，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $