第四章 三角形问题解决策略：特殊化教学设计2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 ☆ 问题解决策略：特殊化 一、学习任务分析 从特殊情形中得到问题的结论或解决问题的方法，再将一般情形转化为特殊情形或与之建立关联，这就是解决数学问题时常用的“特殊化”策略。在数学解题中，恰当地运用这一策略，往往能快速解决问题，并能在探索解题方法等方面收到良好的实效。本节课通过一系列探究活动，让学生了解“特殊化”策略的意义、适用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力，为后续开展问题解决活动奠定基础。 二、学生起点分析 学生在小学已经了解正方形的基本性质，掌握图形旋转的基本特征。七年级又学习了全等三角形的性质及证明，具备了添加简单辅助线构造全等三角形的思维基础，形成了一定的推理能力与观察能力，这些都为本节课探究奠定了基础。 在探索运用特殊化策略解决问题的过程中，学生积累了一定的观察、归纳、猜想、验证的经验，也具备了一定的合作、交流与表达的能力，但七年级学生的分析论证能力、逻辑推理能力相对比较弱。 三、教学目标 1.经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，发展观察、想象、推理、交流等能力。 2.能在问题中寻找特殊情形，会借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，提高分析问题、解决问题的能力。 3.在建构特殊化策略解题的流程中，体会一般与特殊的关系，感悟数学思想方法的魅力。 教学重点：理解掌握并会运用特殊化策略解决问题。 教学难点：构建特殊情形与一般情形互相转化的思路。 四、教学过程设计 课前准备 1.学习用具：每人准备两张全等正方形透明卡，若干枚图钉。 2.小组分工：建议4至6人一组，组长负责，操作、计算、记录、发言等工作明确到人。 本节课设计了六个教学环节。【第一环节】提出问题；【第二环节】理解问题；【第三环节】拟定计划；【第四环节】实施计划；【第五环节】回顾反思；【第六环节】布置作业。 【第一环节】提出问题 1.活动内容 如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 图1 2.活动目的 设定问题情境，提供探究问题解决策略的题目。 3.实际效果 教学中，可能很多学生仅仅是观察到重叠部分的图形是变化的，并没有什么新的发现。也有一部分学生会猜测出重叠部分图形的面积可能是个定值。为了解决这一问题，教师可以制作一个动画演示，或者提供给学生两个全等的正方形透明卡片，学生通过观察动画演示或者实物操作，清晰地观察到图形的变化。解决这一问题后，教师继续追问：“你观察到了什么？”“你打算如何展开探究呢？”让学生充分交流和表达，自主提出接下来的探究活动，并思考探究问题的思路和方法。 【第二环节】理解问题 1.活动内容 （1）在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？ （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积？你遇到的困难是什么？ 2.活动目的 学生通过动手操作、观察、思考，真切地感受到特殊情形与一般情形的存在与不同，进一步明确要研究的问题及困难是什么。教师组织学生充分交流和表达特殊情形下解决问题的方法，不仅能够明晰特殊情形下问题的解法，同时也为求解一般情形下问题作铺垫。 3.实际效果 （1）学生通过观察动画演示或实物操作，容易得出旋转过程中呈现的各种情形，此时，教师要引导学生对这些不同的情形进行分类，提炼出要研究的各种情形。（如图3所示） 特殊情形一 特殊情形二 一般情形 图3 （2） 在学生提炼出要研究的各种情形后，教师要引导学生继续思考如何求各种情形两个正方形重叠部分的面积？对于这一问题学生可能会有不同的想法，教师应鼓励学生大胆表达自己的想法。对于情形一、二两种特殊情形，学生容易得出求两个正方形重叠部分面积的思路，在思考如何求解一般情形下重叠部分的面积时，大部分学生都会遇到困难，学生带着问题，自主开启新的探究历程。 【第三环节】拟定计划 1.活动内容 （1） 哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？ （2） 其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？ 2.活动目的 通过小组合作学习，实物操作探究等活动，使学生能够亲眼所见，亲身经历，互帮互助解决问题。在这个过程中，使学生理解一般与特殊的关系，明确特殊和一般互相转化的方法，初步理解特殊化的一般思路与步骤。 3.实际效果 （1）两种特殊情形重叠部分是特殊图形，重叠部分面积容易求出。 （2）在思考如何求一般情形重叠部分的面积时，学生会自然想到将一般情形转化为特殊情形。但是，大部分学生想不出转化思路，找不到转化的线索，因此，开展小组合作学习探究：一般情形能转化为特殊情形吗？你是如何转化的？你是怎样想到这样转化的？小组经过充分的交流讨论后，互相展示，解释说明解决问题的方案。教师再引导学生对各个小组解决问题的方案进行分析、总结，提炼出转化的思路。 一般情形转化为特殊情形的思路是：再放一张全等的正方形透明卡片在特殊位置上（如图4所示，红色虚线位置），一般情形与特殊情形呈现在一起，直观构建了转化的思路，为添加辅助线作好铺垫。 思路一 思路二 图4 【第四环节】实施计划 1.活动内容 写出你的解决方案，并说明理由。 2.活动目的 师生共同梳理各种情形面积的求解方案，明晰求解特殊情形的结论与方法，经历用在特殊情形下获得结论与方法解决一般性的问题的过程，理解特殊化的一般思路与步骤，形成特殊化策略并用之解决问题，感悟特殊化策略的意义与价值。 3.实际效果 解决方案预设：（1）梳理特殊情形面积的求解方案。 情形一重叠部分是等腰直角三角形BEC，面积是。 解法一：等腰直角三角形BEC面积是正方形ABCD的，正方形ABCD的边长是1，所以等腰直角三角形BEC面积是。 解法二：如图5，过点E作EKBC于K。 因为EK=，BC=1， 图5 所以。 如图6，情形二重叠部分是正方形MENB，点M，N是正方形ABCD边AB，BC的中点， 所以。 图6 （2） 梳理一般情形面积的求解方案。 解法一：如图7，连接EB，EC，设两个正方形重叠部分的面积为，则 。因为点E是正方形ABCD的中心，所以EB=EC， =90°，。因为四边形EFGH是正方形，所以=90°， 所以，即， 所以≌，这时，一般情形就转化为特殊情形一，。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 图7 解法二：如图8，作。 证明≌△ENQ，将一般情形转化为特殊情形二， 。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 图8 【第五环节】回顾反思 1.活动内容 （1）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？与同伴进行交流。 2.活动目的 通过回顾反思，梳理运用特殊化解题的思路与步骤，形成特殊化策略并能够运用其解决问题。这是学习的升华过程，是模式化思想的培养过程，是发展核心素养的必经之路。 3.实际效果 （1）学生回顾解题过程，本题重叠部分图形有两种，一种图形是特殊形状，视为特殊情形，另一种图形形状不规则，视为一般情形。如果直接研究一般情形会比较困难，因此会先研究特殊情形，再用特殊情形下获得结论与方法解决一般情形的问题，经历了由一般到特殊再到一般的过程。 （2）学生反思解题过程，发现具有很多情形的问题，可以尝试限制引起变化的因素， 考虑最为特殊的情形（如形状、位置或数值等），采用从特殊情形入手的策略解决问题。 教师总结： （1）特殊化策略：面对一般性的问题，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题。 （2）特殊化策略流程图： 【第六环节】布置作业 1.活动内容 必做题：教科书P115第1~4题。 选做题：寻找或编制一个能够运用特殊化策略解决的问题，并写出解决方案。 2.活动目的 必做题是对本节课学习内容的巩固与强化。鼓励学有余力的学生积极完成选做题，更好地体会特殊化策略的价值。 3.实际效果 第1题侧重特殊位置，第2题侧重特殊形状，第3题侧重生活中的应用，第4题侧重特殊数值。第1题只要求学生说明如何用“特殊化”策略推测结论，不要求学生一般地证明这一结论。选做题重在培养学生的学科素养，学生可以根据自己的学习情况，自主选择是否挑战选做题。 五、教学反思 本设计基于学生的已有认知和经验，设计一系列的探究活动，使学生逐渐理解特殊化的一般思路和步骤，形成特殊化策略并会运用其解决问题，较好体现了教科书的编写意图。 为了解决不同层次学生的不同问题，教学设计突出以下几个特点： 1.实物操作，动手实践。本教学设计设置了在核心问题统领下的一系列探究活动，这些活动紧密相连，循序渐进。活动中，借助实物操作引导学生发现问题、提出问题、分析问题，解决问题，学生亲眼所见，亲身经历，较好达成了理解、掌握并会运用特殊化策略解决问题的教学目标。 2.问题引领，合作探究。本节课在探究核心问题的过程中，会生成一系列问题，这些问题层层递进，逻辑关联性强，能够引发学生的认知冲突，激发学生学习兴趣，促进学生积极探究。每个环节通过问题及追问，引领学生经历观察、思考、表达、归纳概括、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达现实世界的工具、方法和语言。 3.内化能力，发展素养。本教学设计重视特殊化策略的生成与发展及运用，让学生在掌握解题技能的同时，关注思想的来源、关联和发展，关注学生的自主生成和学习体验，通过答问、展示、探索、争论、评价等一系列活动，积累数学活动经验，形成问题解决策略的意识，感悟数学思想方法，发展核心素养。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$