专题04 三角形（期末复习讲义+12重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题04 三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断三边是否能构成三角形 题型02 三角形的稳定性 题型03 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 题型04 判断是否三角形的高线 题型05 根据三角形的中线求解 题型06 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 题型07 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 题型08 利用全等三角形的性质求解 题型09 判断是否能使两三角形全等 题型10 与全等三角形有关的多结论问题 题型11 三角形全等的判定与性质 题型12 全等三角形中的动点综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的定义与基本概念 理解三角形的定义，掌握“不在同一直线上、三条线段、首尾顺次相接”三个关键词，能正确用符号表示三角形 基础必考点，常以选择题或填空题形式考查，易混淆的是顶点顺序与边角的对应关系，需注意“△ABC”的规范记法 三角形内角和定理 掌握三角形三个内角之和等于180°这一定理，能熟练运用该定理进行角度的计算与证明 高频必考点，常出现在填空题和解答题的计算类小题中，常与角平分线、平行线等知识综合考查，注意与折叠问题结合时∠1+∠2=2∠A的结论模型 三角形三边关系 掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，能运用这一关系判断三条线段能否构成三角形，并求第三边的取值范围 基础必考点，常以选择题或填空题形式出现，易错点在于忽视三角形存在的条件（两边之和大于第三边）或弄混淆不等式方向 直角三角形的性质 掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行直角三角形的角度计算 基础考点，常以选择题、填空题形式出现，常与三角形的内角和定理结合考查，注意在Rt△ABC中∠A+∠B=90° 三角形中的重要线段——中线、角平分线、高 能准确画出三角形的三条中线、三条角平分线和三条高；理解三条中线交于重心且重心将中线分为2∶1的比例；掌握角平分线、高在解决角度和面积问题中的应用 中档必考点，常以填空题、作图题或解答题形式出现，易错点在于忘记三角形的三条高（尤其钝角三角形的高在外部）以及忽略重心分中线的比例关系 三角形的稳定性 理解三角形的形状是固定不变的，这一性质叫三角形的稳定性；能区分三角形与四边形的稳定性差异，并了解其在生活中的应用 基础概念题，常以选择题形式考查，易错点是误以为所有多边形都具有稳定性，注意四边形不具有稳定性 全等三角形的概念与性质 理解全等三角形的定义——“能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形”，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质，并能正确写出对应顶点 基础必考点，常出现在填空题和解答题的第一问中，易错点是判定全等三角形时，写错对应顶点 全等三角形的判定——SSS、SAS、ASA、AAS 理解并熟练掌握四种全等三角形判定方法：①三边分别相等（SSS）；②两边及其夹角分别相等（SAS）；③两角及其夹边分别相等（ASA）；④两角分别相等且其中一组等角的对边相等（AAS） 期末必考点，常以大题形式呈现，是三角形部分的命题与推理核心，易错点是将“边边角”（SSA）误认为全等条件，以及辅助线的“截长补短”“倍长中线”方法 利用三角形全等测距离 能结合全等三角形的判定，构建全等三角形的几何模型来解决实际生活中的测距问题（如河宽、池塘宽度等） 综合应用题型，常出现在解答题的最后一问中，侧重于将实际问题抽象成几何模型 尺规作图——作三角形 能结合全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA），利用尺规作出一个与已知三角形全等的三角形，并保留作图痕迹、写出作法和结论 实践必考题型，常以作图题形式出现，易错点在于作图后忘记检验三边关系是否符合三角形成立条件，以及尺规作图后忘记保留必要的作图痕迹 知识点01 三角形的概念与基本要素 1. 三角形的定义 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 表示方法：用符号“△”表示，如顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 基本要素： - 边：三条边，如AB、BC、AC - 角：三个内角，如∠A、∠B、∠C - 顶点：三个顶点，如点A、点B、点C 示例：如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 解：图中的三角形有、△ABE、△ABC、△ADE、、，共个； 以为边的三角形有、△ABE、△ABC， 以为一个内角的三角形是、△ACD、． 易错点： 1. 忽略“不在同一直线上”：三条线段共线时不能构成三角形。 2. 符号表示顺序混乱：顶点字母应依序（顺时针或逆时针）书写。 3. 数三角形时遗漏：应按照一定顺序（如从小到大、按顶点）逐个数，避免重复或遗漏。 知识点02 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角的和等于180°。 证明方法：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，求∠C的度数。 解：由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-50°-70°=60°。 易错点： 1. 忘记内角和为180°：特别是在复杂图形中，容易忽略使用该定理。 2. 计算错误：加减法失误导致结果错误。 3. 与三角形外角定理混淆：三角形外角等于不相邻两个内角的和，不是等于内角和。 知识点03 三角形的分类 1.按角分类 类型 定义 图示特征 锐角三角形 三个内角都是锐角（<90°） 三个角都小于90° 直角三角形 有一个内角是直角（=90°） 有一个角为90° 钝角三角形 有一个内角是钝角（>90°） 有一个角大于90° 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 2. 按边分类 类型 定义 不等边三角形 三条边都不相等 等腰三角形 至少有两条边相等 等边三角形 三条边都相等（特殊的等腰三角形） 示例：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:4，判断三角形的类型。 解：设三个内角分别为2x、3x、4x，则2x+3x+4x=180°，9x=180°，x=20°。∴三个角为40°、60°、80°，均为锐角，∴是锐角三角形。 易错点： 1. 直角三角形分类归属不清：直角三角形既按角分类，又可按边分类（如等腰直角三角形）。 2. 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 3. 混淆“互余”与“互补”：直角三角形两锐角互余（和为90°），不是互补（180°）。 知识点04 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用途： 1. 判断三条线段能否构成三角形。 2. 确定三角形第三边的取值范围。 示例：以下列各组线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm ; B. 6cm、8cm、15cm p; C. 8cm、4cm、3cm; D. 4cm、6cm、5cm 解：只有D选项满足4+6>5、4+5>6、5+6>4，故选D。 易错点： 1. 只验证一组和的关系：需要验证任意两边之和大于第三边，通常只需验证较小两边之和大于最大边。 2. 等腰三角形分类讨论忘验证：如两边长为2和5，若腰为2，则2+2<5不能构成三角形，只能腰为5。 3. 忽略差的关系：已知两边求第三边范围时，忘记“差小于第三边”。 知识点05 三角形的重要线段 1. 三角形的中线 定义：连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 性质： - 一条中线平分对边。 - 三条中线交于一点，交点叫做三角形的重心（在三角形内部）。 - 重心将中线分成2:1的两段（重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍）。 - 一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 2. 三角形的角平分线 定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质： - 三条角平分线交于一点（在三角形内部）。 - 角平分线上的点到角两边的距离相等。 3. 三角形的高线 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 三条高的位置关系： 三角形类型 三条高的交点位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 直角顶点处 钝角三角形 三角形外部 示例：如图，△ABC中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是△ABD中边上的中线 B．是△ABE中的平分线 C．△ACH中边上的高 D．是△ACF的角平分线和高 解：∵G为的中点， ∴，即是△ABD中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是△ABE中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是△ACH中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是△ACF的角平分线，是△ACF的高，故D选项正确，不符合题意． 易错点： 1. 中线与中位线混淆：中线是顶点→对边中点，中位线是两边中点连线（八年级内容）。 2. 钝角三角形作高：钝角三角形的高可能在三角形外部，作高时需延长对边。 3. 重心性质记错：重心分中线比为2:1，不是1:1。 4. 画高时三角板摆放错误：三角板的一条直角边过顶点，另一条与对边（或延长线）重合。 知识点06 三角形的全等 1. 全等图形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质 - 对应边相等 - 对应角相等 3. 全等三角形的判定方法 判定方法 简记 条件 三边对应相等 SSS 三条边分别相等 两边及其夹角对应相等 SAS 两边及夹角分别相等 两角及其夹边对应相等 ASA 两角及夹边分别相等 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 两角及一对边分别相等 注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA不能判定全等。 示例：如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵，，∴， 在△ABC和△DEF中， ∵∴． 易错点： 1. 判定方法选择错误：判定条件必须与判定定理严格对应。 2. 对应顶点混乱：全等三角形的对应顶点应写在对应位置，如△ABC≌△DEF，不能写成△ABC≌△DFE。 3. 隐含条件忽略：公共边、公共角、对顶角等隐含条件容易遗漏。 4. SSA误用：两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等。 知识点07 用尺规作三角形 基本作图（北师大版七下内容）： 1. 已知三边作三角形（SSS） 2. 已知两边及其夹角作三角形（SAS） 3. 已知两角及其夹边作三角形（ASA） 4. 已知两角及其中一角的对边作三角形（AAS） 5. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 易错点： 1. 尺规作图步骤不规范：缺少必要的作图痕迹（如画弧的交点）。 2. 未保留作图痕迹：作图痕迹是得分点，不能擦掉。 3. 作三角形时忽略解的情况：有些条件（如两边及其中一边的对角）可能有两解或无解。 知识点08 利用三角形全等测距离 原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河宽等）。 常见方案： 测量情境 构造全等方法 池塘宽度 SAS（构造对顶角相等） 河宽 ASA（构造同位角相等） 底部不可达的高度 AAS或ASA 示例：如图，要测量池塘两端A、B的距离，可以在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE。测量DE的长度就是AB的距离。请说明理由。 解：在△ABC和△DEC中，CA=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE。 易错点： 1. 实际问题转化为几何模型困难：找不到图中的全等三角形。 2. 方案依据描述不规范：需写出全等判定的依据（如SSS、SAS等），不能只说“看起来相等”。 3. 忽略题目中的隐含条件：如“直接到达”意味着连线无障碍，“同一水平面”意味着角度关系可确定。 知识点09 三角形全等证明的常用模型 模型 特征 关键思路 公共边模型 两个三角形共用一条边 公共边相等 公共角模型 两个三角形共用同一个角 公共角相等 对顶角模型 两条直线相交 对顶角相等 旋转模型 图形绕某点旋转 对应边相等、对应角相等 平行线模型 有平行线 内错角相等、同位角相等 折叠模型 沿某直线折叠 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等 中点模型 有线段中点 中线倍长构造全等 易错点： 1. 拿到证明题不知道从何入手：先看已知条件能推出哪些边角关系，再看结论需要什么。 2. 证明过程跳步：全等证明应按照“准备条件→列全等条件→得出结论”的顺序书写。 3. 直接写“由图可知”而不加以证明：几何证明必须逻辑严密，不能凭视觉直观。 题型一 判断三边是否能构成三角形 解｜题｜技｜巧 只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。 【典例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【典例2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，利用“三角形任意两边之和大于第三边”，通过比较每组中较小两边的和与最长边的大小即可判断能否组成三角形，即可求解． 【详解】解：A、 、、不能组成三角形，故A不符合题意. B、 、、不能组成三角形，故B不符合题意. C、 、、能组成三角形，故C符合题意. D、 、、不能组成三角形，故D不符合题意. 故选：C． 题型二 三角形的稳定性 解｜题｜技｜巧 三角形形状唯一固定，钢筋加斜撑即为此理；判断结构是否稳定看是否含三角形，四边形不稳需加对角线，实际应用如钢架桥、塔吊，利用此性质增强刚性与承重能力。 【典例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性这一核心知识点，关键是明确三角形的数学特性与生活应用的关联．三角形具有稳定性，这是区别于四边形等多边形的重要特性，生活中诸多结构如遮阳伞、建筑支架等采用三角形结构，都是为了利用其稳定性来维持结构的牢固性． 【详解】解：在数学中，三角形具有稳定性，遮阳伞的结构主体设计为三角形，主要是利用了三角形的稳定性来保障结构不易变形； 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）南昌“八一大桥”是南昌最具象征意义的大桥，桥头堡的“八一”字样和红军雕塑凸显红色文化，北端有黑猫白猫雕塑（寓意“不管黑猫白猫，捉到老鼠就是好猫”），因为连接东湖区和红谷滩区，也是城市核心通道．如图．“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的两边之和大于第三边 C．直角三角形两锐角互余 D．三角形内角和等于 【答案】A 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 第三边大于两边之差且小于两边之和；即|a-b|＜c＜a+b，注意等号不能取，当题目隐含整数边时取中间整数，结合实际意义（如边长正数）确定最终范围。 【典例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 题型四 判断是否三角形的高线 解｜题｜技｜巧 高线是从顶点向对边所在直线作垂线段，判断时看是否垂直且连接顶点与对边（或延长线）；锐角三角形高在内部，钝角三角形两条高在外部，注意区分与中线和角平分线。 【典例1】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：在中，边上的高是， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 题型五 根据三角形的中线求解 解｜题｜技｜巧 中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 【变式1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型六 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 解｜题｜技｜巧 中线找对边中点连线，高线作垂直利用格点构造直角三角形；求面积常用割补法、铅垂高法或网格面积公式，通过矩形减去周边三角形面积，避免直接计边长易出错。 【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上． (1)的面积等于___________； (2)过点作线段（点为格点），使得； (3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离； (4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了求三角形面积，作平行线和垂线，两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用割补法求解即可； （2）根据网格的特点和平行线的判定求解即可； （3）取格点F连接交于点M即为所求； （4）利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：的面积等于； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：如图所示，点E即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请根据下列要求利用网格作图并回答问题： (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为点； (3)点到直线的距离是线段_________的长度； (4)的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了网格的作图和网格中求三角形的面积，熟练掌握网格的特点是关键． （1）利用网格的特点作平行线即可； （2）利用网格的特点作垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义进行解答即可； （4）利用包含三角形的长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为： （4）的面积为 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）． (1)按下列要求画图： ①标出格点，使，并画出直线； ②标出格点，使，并画出直线； (2)计算的面积为 ； (3)若直线交于点，比较大小；线段 线段（填“”，“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了平行线、垂线的作法、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）①直接利用网格得出的平行线即可；②直接利用网格结合垂线的作法即可解答； （2）割补法以及三角形的面积公式解答即可． （3）根据点到直线的距离垂线最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图：直线即为所求； ②如图：直线即为所求． （2）解：的面积为：． （3）解：∵于点， ∴（垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 题型七 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 解｜题｜技｜巧 中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 【典例2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1，0 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【详解】（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 题型八 利用全等三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。 【典例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，点在同一条直线上，，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找准对应边是解题的关键．根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 题型九 判断是否能使两三角形全等 解｜题｜技｜巧 检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等，可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。 【典例1】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）能判定的条件是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 需依据全等三角形的判定定理（）对各选项逐一分析，注意不能判定两个三角形全等． 【详解】解：选项A：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项B：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项C：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项D：∵，，，即两边及其夹角对应相等 ∴根据全等判定定理，， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：根据三角形全等的判定定理，只有选项C满足ASA条件，能唯一确定三角形的形状和大小． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，不符合题意； B、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； C、能确定唯一三角形，符合题意； D、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、，，，三边对应相等，∴ ． B、，，，两角及其夹边对应相等，∴ ． C、，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等． D、，，，两角及其中一角的对边相等，∴ ． ∴ 不能判定全等的是C． 故选：C． 题型十 与全等三角形有关的多结论问题 解｜题｜技｜巧 先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。 【典例1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【典例2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． 根据平行线的性质得，可判断⑤正确；然后利用“角角边”证明和全等，可判断④正确；根据全等三角形对应边相等可得，，可判断①③正确；最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵， ∴，故⑤正确， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确， ∴，，故①③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 题型十一 三角形全等的判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【典例2】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，则，即可解答； (2)过点 B 作于点K，由，，得，即可解答； (3)在的延长线上取一点 H，使得，连接．由，得，， ，则即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据，可得，再根据证明即可得出结论； ②分别过点、作于点，于点，证明，得到，，再证明，得，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明，得，，再证明，得到，从而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中，， ， ． ②分别过点、作于点，于点，如图（1）所示： 则， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ，即； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图（2）所示， 则， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， 即， ， 是的中点， ． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②图见解析，． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，再得出，即可得出结论； （2）①当点在点右边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；②先画出图像，点在点左边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图为所求作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十二 全等三角形中的动点综合问题 解｜题｜技｜巧 设运动时间表示线段长，利用全等对应边相等列方程；注意分类讨论不同对应关系，多种运动方向与速度，排除重合点与超出范围，验证解是否在时间内成立。 【典例1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 【典例2】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 【答案】(1)①．②猜想：．证明见解析 (2)（1）②中猜想不成立，．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①根据四边形内角和是求解即可； ②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：（1）①四边形中，， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴. 故答案为：． ②猜想：． 证明：延长至点，使，连接． ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）解：（1）②中猜想不成立，． 证明：如图，在上截取， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若一个三角形的三条边长分别为2，6，c，则c的长可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，先根据三边关系求出c的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为2，6，c． ∴，即． ∵选项中只有5在这个范围内． ∴c的长可以是5， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，不能判定； 当添加时，则可根据“”判定； 综上符合条件的有①②④，共3个． 故选C． 3．（25-26八年级上·山东日照·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，利用“”可证明，从而求出和，计算即可求解． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题可得，，是直角三角形，是等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， （）， ，， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·广西钦州·期末）已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三边长为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识点，掌握分类讨论思想和运用三角形三边关系判定是否构成三角形成为解题的关键． 分腰长为4、腰长为12两种情况，分别确定第三边，然后再判定是否组成三角形即可解答． 【详解】解：若4是腰，则三边为4、4、12，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立； 若12是腰，则三边为4、12、12，且，满足三角形三边关系， 故第三边为12． 故答案为12 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 6．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，，，，求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）求出，根据推出； （2）由（1）全等三角形的性质可得，即可证明． 【详解】（1）证明：         ， 又∵， （2）由（1）得      8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）图，点是上一点，交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用． （1）根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ，， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点在边上，连接，增加下列条件中的1个：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； 根据在中，，得，当添加条件①时，，可得；当添加条件②时， ，得，可得；当添加条件③时， ，可得，得，可得；当添加条件④时， ，可  得．4个条件都能使． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当添加条件①时，∵，，， ∴； 当添加条件②时，∵， ∴， ∵，， ∴； 当添加条件③时，∵，，， ∴， ∴， ∴； 当添加条件④时， ∵，，， ∴． ∴能使的条件有4个． 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴即． 故①②③④正确，正确结论的个数有4个 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）已知一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是_______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握此知识点是做题的关键．根据三角形的内角和定理，结合角度比例计算各角的度数，即可得出答案． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别为，，， 则根据三角形内角和定理，得， 解得， ，． 有一个角为， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是中点，连接，设与相交于点G，与相交于点N．则4个结论：①；②；③；④若，则；正确的结论有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质． ①根据正方形的性质可证明，则可判断①正误； ②先利用和直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可判断； ③先证明，则有，即可判断③正误； ④先利用平行线分线段成比例求出的长度，然后解直角三角形即可求出的长度，由此可判断④的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点M作交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 8．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，为直线上一动点，连接，在直线的右侧作，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当点在直线上时，连接交直线于点；当的面积为9，的面积为27时，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9或18 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确识别图形是解答本题的关键． （1）先求出，再根据证明，可得，由可得结论； （2）由（1）知，得，然后证明，可得，再证明可得结论； （3）设的面积为，的面积的面积，根据的面积为9，的面积为27，结合（2）知, 得, 得的面积的一半，然后列出关于和S的方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：设的面积为，的面积的面积， ∵的面积为9，的面积为27， 如图， 由（2）知， ∴， ∴的面积的一半， ∴， ∵， ∴； ∴ 的面积=； 如图，， ∴（不符合题意，舍去） 如图，，， ∴， ∴的面积， 综上，的面积为9或18． 故答案为：9或18． 10．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）4；（2）．理由见解析；（3）结论不成立．证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4； （2）结论，理由如下： 延长到M，使，连接． ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 即， ； （3）结论不成立，应是． 证明：在上截取，使连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形（期末复习讲义） 内容导航 明。期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判断三边是否能构成三角形 题型02三角形的稳定性 题型O3已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 题型04判断是否三角形的高线 题型O5根据三角形的中线求解 题型O6在网格中画三角形的中线、高线及 求三角形的面积 题型07利用三角形的中线、高线、角平分线求解 题型O8利用全等三角形的性质求解 题型09判断是否能使两三角形全等 题型10与全等三角形有关的多结论问题 题型11三角形全等的判定与性质 题型12全等三角形中的动，点综合问题 过.分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习月标 考情规律 三角形的定义 理解三角形的定义，掌握“不在同一直线上、 基础必考点，常以选择题或填空题形式考查， 与基本概念 三条线段、首尾顺次相接”三个关键词，能 易混淆的是顶点顺序与边角的对应关系，需 正确用符号表示三角形 注意“△ABC的规范记法 三角形内角和 掌握三角形三个内角之和等于180°这一定 高频必考点，常出现在填空题和解答题的计 定理 理，能熟练运用该定理进行角度的计算与证 算类小题中，常与角平分线、平行线等知识 明 综合考查，注意与折叠问题结合时∠1+∠2-2 ∠A的结论模型 三角形三边关 掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任 基础必考点，常以选择题或填空题形式出现， 系 意两边之差小于第三边”，能运用这一关系 易错点在于忽视三角形存在的条件（两边之 判断三条线段能否构成三角形，并求第三边 和大于第三边)或弄混淆不等式方向 的取值范围 1/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直角三角形的 掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能 基础考点，常以选择题、填空题形式出现， 性质 运用该性质进行直角三角形的角度计算 常与三角形的内角和定理结合考查，注意在 Rt△ABC中∠A+∠B=90° 三角形中的重 能准确画出三角形的三条中线、三条角平分 中档必考点，常以填空题、作图题或解答题 要线段一中 线和三条高：理解三条中线交于重心且重心 形式出现，易错点在于忘记三角形的三条高 线、角平分线、 将中线分为2：1的比例；掌握角平分线、高 (尤其钝角三角形的高在外部)以及忽略重 高 在解决角度和面积问题中的应用 心分中线的比例关系 三角形的稳定 理解三角形的形状是固定不变的，这一性质 基础概念题，常以选择题形式考查，易错点 性 叫三角形的稳定性；能区分三角形与四边形 是误以为所有多边形都具有稳定性，注意四 的稳定性差异，并了解其在生活中的应用 边形不具有稳定性 全等三角形的 理解全等三角形的定义一“能够完全重合 基础必考点，常出现在填空题和解答题的第 概念与性质 的两个三角形叫作全等三角形”，掌握全等 问中，易错点是判定全等三角形时，写错 三角形的对应边相等、对应角相等的性质， 对应顶点 并能正确写出对应顶点 全等三角形的 理解并熟练掌握四种全等三角形判定方 期末必考点，常以大题形式呈现，是三角形 判定— 法：①三边分别相等(SSS)；②两边及其 部分的命题与推理核心，易错点是将“边边角 SSS、SAS、ASA、 夹角分别相等(S4S);③两角及其夹边分 (SSA)误认为全等条件，以及辅助线的“截 AAS 别相等(AS4);④两角分别相等且其中 长补短“倍长中线”方法 组等角的对边相等(AAS) 利用三角形全 能结合全等三角形的判定，构建全等三角形 综合应用题型，常出现在解答题的最后一问 等测距离 的几何模型来解决实际生活中的测距问题 中，侧重于将实际问题抽象成几何模型 (如河宽、池塘宽度等) 尺规作图 能结合全等三角形的判定条件(SSS、SAS、 实践必考题型，常以作图题形式出现，易错 作三角形 ASA),利用尺规作出一个与已知三角形全 点在于作图后忘记检验三边关系是否符合三 等的三角形，并保留作图痕迹、写出作法和 角形成立条件，以及尺规作图后忘记保留必 结论 要的作图痕迹 记·必备知识 圆知识点01三角形的概念与基本要素 2/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.三角形的定义 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 表示方法：用符号“△”表示，如顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。 基本要素： ·边：三条边，如AB、BC、AC -角：三个内角，如∠A、∠B、∠C ·顶点：三个顶点，如点A、点B、点C 示例：如图，图中三角形的个数为 ；以AB为边的三角形是 ,以∠C为一个内 角的三角形是 B D 解：图中的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC,共6个； 以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC, 以∠C为一个内角的三角形是△ACE、△ACD、△ACB. 易错点： 1.忽略“不在同一直线上”：三条线段共线时不能构成三角形。 2.符号表示顺序混乱：顶点字母应依序（顺时针或逆时针）书写。 3.数三角形时遗漏：应按照一定顺序（如从小到大、按顶点）逐个数，避免重复或遗漏。 邑知识点02三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角的和等于180°。 证明方法：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，求∠C的度数。 解：由三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C-180°，∴.∠C=180°-50°-70°=60°。 易错点： 1.忘记内角和为180°：特别是在复杂图形中，容易忽略使用该定理。 2.计算错误：加减法失误导致结果错误。 3.与三角形外角定理混淆：三角形外角等于不相邻两个内角的和，不是等于内角和。 局知识点3三角形的分类 3/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.按角分类 类型 定义 图示特征 锐角三角形 三个内角都是锐角(90°) 三个角都小于90° 直角三角形 有一个内角是直角(=90°) 有一个角为90° 钝角三角形 有一个内角是钝角(>90°) 有一个角大于90 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 2.按边分类 类型 定义 不等边三角形 三条边都不相等 等腰三角形 至少有两条边相等 等边三角形 三条边都相等（特殊的等腰三角形） 示例：已知三角形三个内角的度数之比为2：3：4，判断三角形的类型。 解：设三个内角分别为2x、3x、4x,则2x+3x+4x=180°，9x=180°，x=20°。∴.三个角为40°、60°、80 。,均为锐角，是锐角三角形。 易错点： 1.直角三角形分类归属不清：直角三角形既按角分类，又可按边分类（如等腰直角三角形）。 2.等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 3.混淆“互余”与“互补”：直角三角形两锐角互余（和为90°），不是互补(180°)。 邑知识点04三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用途： 1.判断三条线段能否构成三角形。 2.确定三角形第三边的取值范围。 示例：以下列各组线段为边，能构成三角形的是() A.7cm、5cm、12cm;B.6cm、8cm、15cmp,C.8cm、4cm、3cm,D.4cm、6cm、5cm 解：只有D选项满足4+6>5、4+56、5+6>4，故选D。 易错点： 1.只验证一组和的关系：需要验证任意两边之和大于第三边，通常只需验证较小两边之和大于最大边。 2.等腰三角形分类讨论忘验证：如两边长为2和5，若腰为2，则2+2<5不能构成三角形，只能腰为5。 4/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.忽略差的关系：己知两边求第三边范围时，忘记“差小于第三边”。 局知识点05三角形的重要线段 1.三角形的中线 定义：连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 性质： ·一条中线平分对边。 ·三条中线交于一点，交点叫做三角形的重心（在三角形内部）。 ·重心将中线分成2：1的两段（重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍）。 ·一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 2.三角形的角平分线 定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质： ·三条角平分线交于一点（在三角形内部）。 ·角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的高线 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 三条高的位置关系： 三角形类型 三条高的交点位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 直角顶点处 钝角三角形 三角形外部 示例：如图，△ABC中，∠I=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E,F为AB边上一点，且 CF⊥AD于点H,下列说法错误的是() A.BG是△ABD中边AD上的中线 B.AD是△ABE中∠BAE的平分线 C.CH△ACH中AH边上的高 D.AH是△ACF的角平分线和高 解：G为AD的中点， 5/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AG=DG=AD,即BG是△4BD中边AD上的中线，故A选项正确，不符合题意： ,∠1=∠2， .AG是△ABE中∠BAE的平分线，故B选项错误，符合题意； ,CF⊥AD于点H, ∴CH是△ACH中AH边上的高，故C选项正确，不符合题意； .CF⊥AD,∠1=∠2， .AH是△ACF的角平分线，AH是△ACF的高，故D选项正确，不符合题意. 易错点： 1.中线与中位线混淆：中线是顶点→对边中点，中位线是两边中点连线（八年级内容）。 2.钝角三角形作高：钝角三角形的高可能在三角形外部，作高时需延长对边。 3.重心性质记错：重心分中线比为21，不是1：1。 4.画高时三角板摆放错误：三角板的一条直角边过顶点，另一条与对边（或延长线）重合。 受知识点06三角形的全等 1.全等图形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质 ·对应边相等 ·对应角相等 3.全等三角形的判定方法 判定方法 简记 条件 三边对应相等 SSS 三条边分别相等 两边及其夹角对应相等 SAS 两边及夹角分别相等 两角及其夹边对应相等 ASA 两角及夹边分别相等 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 两角及一对边分别相等 注意：AAA(三角对应相等)只能判定相似，不能判定全等；SSA不能判定全等。 示例：如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE,BF=CE,AC=DF,求证：△ABC≌△DEF 6/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证明：，BF=CE,BC+BE=EF+BE,.BC=EF, 在△ABC和△DEF中， 「AB=DE, .BC=EF,∴.△ABC≌△DEF (SSS. AC=DF, 易错点： 1.判定方法选择错误：判定条件必须与判定定理严格对应。 2.对应顶点混乱：全等三角形的对应顶点应写在对应位置，如△ABC≌△DEF,不能写成△ABC≌△DFE。 3.隐含条件忽略：公共边、公共角、对顶角等隐含条件容易遗漏。 4.SSA误用：两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等。 局知识点07用尺规作三角形 基本作图（北师大版七下内容）： 1.已知三边作三角形(SSS) 2.已知两边及其夹角作三角形(SAS) 3.已知两角及其夹边作三角形(ASA) 4.已知两角及其中一角的对边作三角形(AAS) 5.已知底边及底边上的高作等腰三角形 易错点： 1.尺规作图步骤不规范：缺少必要的作图痕迹（如画弧的交点）。 2.未保留作图痕迹：作图痕迹是得分点，不能擦掉。 3.作三角形时忽略解的情况：有些条件（如两边及其中一边的对角）可能有两解或无解。 局知识点08利用三角形全等测距离 原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河 宽等)。 7/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 常见方案： 测量情境 构造全等方法 池塘宽度 SAS(构造对顶角相等) 河宽 ASA(构造同位角相等) 底部不可达的高度 AAS或ASA 示例：如图，要测量池塘两端A、B的距离，可以在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并 延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE。测量DE的长度就是AB的距离。请说 明理由。 解：在△ABC和△DEC中，CA=CD,∠ACB=∠DCE(对顶角相等)，CB=CE,∴.△ABC≌△DEC(SAS), ∴AB=DE。 易错点： 1.实际问题转化为几何模型困难：找不到图中的全等三角形。 2.方案依据描述不规范：需写出全等判定的依据（如SSS、SAS等），不能只说“看起来相等”。 3.忽略题目中的隐含条件：如“直接到达”意味着连线无障碍，“同一水平面”意味着角度关系可确定。 局知识点09三角形全等证明的常用模型 模型 特征 关键思路 公共边模型 两个三角形共用一条边 公共边相等 公共角模型 两个三角形共用同一个角 公共角相等 对顶角模型 两条直线相交 对顶角相等 旋转模型 图形绕某点旋转 对应边相等、对应角相等 平行线模型 有平行线 内错角相等、同位角相等 折叠模型 沿某直线折叠 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等 中点模型 有线段中点 中线倍长构造全等 易错点： 1.拿到证明题不知道从何入手：先看己知条件能推出哪些边角关系，再看结论需要什么。 2.证明过程跳步：全等证明应按照“准备条件→列全等条件→得出结论”的顺序书写。 3.直接写“由图可知”而不加以证明：几何证明必须逻辑严密，不能凭视觉直观。 破·重难题型 8/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一 判断三边是否能构成三角形 解|题|技巧 只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成， 排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。 【典例1】(25-26八年级上·湖南郴州期末)下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是() A.1,2,4B.8,6,4 C.15,5,6 D.1,3,4 【典例2】(25-26八年级上·广东湛江期末)以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.Icm,5cm,3cm B.8cm,5cm,6cm C.3cm,4cm,8cm D.1cm,5cm,9cm 【变式1】(25-26八年级上内蒙古赤峰期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角 形的是() A.4cm,4cm,8cm B.8cm,16cm,7cm C.1lcm,5cm,5cm D.13cm,10cm,20cm 【变式2】(25-26八年级上湖北宜昌期末)下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的 是(). A.8cm,4cm,3cm B.15cm,8cm,7cm C.20cm,13cm,12cm D.11cm,5cm,5cm 题型二三角形的稳定性 解|题|技|巧 三角形形状唯一固定，钢筋加斜撑即为此理；判断结构是否稳定看是否含三角形，四边形不稳需加对角线， 实际应用如钢架桥、塔吊，利用此性质增强刚性与承重能力。 【典例1】(25-26八年级上山西朔州期末)如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用 了三角形的() A.美观性 B.简洁性 C.耐用性 D.稳定性 9/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何 原理是() B A.三角形具有稳定性 B.对顶角相等 C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短 【变式1】(25-26八年级上江西南昌期末)南昌“八一大桥”是南昌最具象征意义的大桥，桥头堡的“八一 字样和红军雕塑凸显红色文化，北端有黑猫白猫雕塑（寓意“不管黑猫白猫，捉到老鼠就是好猫”），因为连 接东湖区和红谷滩区，也是城市核心通道.如图.“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其 蕴含的数学道理是() A.三角形具有稳定性 B.三角形的两边之和大于第三边 C.直角三角形两锐角互余 D.三角形内角和等于180 【变式2】(25-26八年级上湖南郴州·期末)下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是() 太阳能热水器 B 伸缩门 自行车三脚架 D 角形支架 它题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 解|题|技巧 第三边大于两边之差且小于两边之和；即α-b<c<a+b,注意等号不能取，当题目隐含整数边时取中间整数， 结合实际意义（如边长正数）确定最终范围。 10/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级上山东滨州期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值 范围为 【典例2】(25-26八年级上·江苏宿迁期末)现有两根长度分别为5cm和12cm的木棒，若第三根木棒能与 它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为 cm. 【变式1】(25-26八年级上安微安庆期末)己知ABC的三边长为a,b,c, (1)若a=2,b=6,求边长c的取值范围： (2)化简a+b-c-a-b-c. 【变式2】(25-26八年级上·安微毫州期末)已知ABC的三边长分别为a,b,c. (I)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断ABC的形状： (2)若a=6,b=4,且c为整数，求ABC的周长的最大值. 立题型四 判断是否三角形的高线 解|题|技|巧 高线是从顶点向对边所在直线作垂线段，判断时看是否垂直且连接顶点与对边（或延长线）；锐角三角 形高在内部，钝角三角形两条高在外部，注意区分与中线和角平分线。 【典例1】(25-26八年级上·北京朝阳期末)下面四个图中，线段AD是ABC的高线的是() B D 【典例2】(25-26八年级上·湖北武汉·期末)如图，在ABC中BD⊥AB交AC于D点，CE⊥AB交AB的 延长线于E点，AF⊥BC交CB的延长线于F点，下列线段中，BC边上的高是() D E 11/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AE B.AF C.BD D.CD 【变式1】(25-26八年级上·浙江台州期末)作ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是() 【变式2】(25-26八年级上福建厦门期末)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.以下图形 均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段AD是ABC的边BC上的高的是() D D C D 亚题型五 根据三角形的中线求解 解|题|技|巧 中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三 边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。 【典例1】(25-26八年级上黑龙江双鸭山期末)如图，CD是ABC的中线，点P在AC上，且 CP:AP=34,若S。ABc=24,则△PCD的面积为 【典例2】(25-26八年级上河南商丘期末)如图，BD是ABC的中线，E,F分别为BD,CE的中点， 若△AEF的面积为6，则ABC的面积是， 12/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上河南安阳期末)如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从 质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平.如图2，取下布 料后测得△A0E的面积为5，则△BOC的面积为 E 图① 图② 【变式2】(25-26八年级上：四川广安期末)如图，A为ABC的中线，AP为△APC的中线，AP为 △APC的中线，，按此规律，APn为△APnC的中线. (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABP的周长相差 cm (2)若ABC的面积为64，则△AP,C的面积为· 题型六在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 解|题|技|巧 中线找对边中点连线，高线作垂直利用格点构造直角三角形；求面积常用割补法、铅垂高法或网格面积公 式，通过矩形减去周边三角形面积，避免直接计边长易出错。 【典例1】(25-26八年级上·浙江温州期末)图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶 点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给 定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹. 13/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)在图①中画出ABC的高线AD. (2)在图②ABC的边BC上找到一点E,连接AE,使AE平分ABC的面积. 【典例2】(25-26七年级上江苏无锡期末)如图是一个6×6的正方形网格，点A、B、C都在正方形网 格的格点上 (1)ABC的面积等于 (2)过点C作线段CD(点D为格点)，使得CD∥AB; (3)在AB上取一点M,画线段CM,使其长度表示点C到AB的距离； (4)作点E,使得点E到A、B、C、D四点的距离之和最小 【变式1】(25-26七年级上江苏扬州期末)如图，在7×10的正方形网格中，已知ABC的顶点都在格点 上，请根据下列要求利用网格作图并回答问题： (I)过点A作直线BC的平行线AE: (2)过点C作直线AB的垂线CD,垂足为点D; (3)点A到直线CD的距离是线段 的长度： (4)ABC的面积为 【变式2】(25-26七年级上江苏连云港期末)在如图所示的5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1， 点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）， 14/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()按下列要求画图： ①标出格点D,使CD∥AB,并画出直线CD; ②标出格点E,使CE⊥AB,并画出直线CE; (2)计算△ABC的面积为_-； (3)若直线CE交AB于点F,比较大小；线段CF线段AC(填“<”，“=”、“>”)，理由是_ 题型七利用三角形的中线、高线、角平分线求解 解引题|技|巧 中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助 线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。 【典例1】(25-26八年级上山东德州期末)如图，在ABC中，AD,AF分别是ABC的中线和高，BE 是△ABD的角平分线. B (1)若AB=6,AC=4,则△ABD与△ACD的周长差为 (②)若∠BED=40°，∠BAD=26°，求∠DAF的大小. 【典例2】(24-25七年级下·湖南长沙期末)如图，在ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与 点A,B重合)，CD与BE交于点O. A 15/29 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若CD是中线，则BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长差为 ,△BCD与△ACD的面积 差为 (2)若LABC=62°，CD是ABC的高，求∠BOC的度数. 【变式1】(25-26八年级上山东日照期末)在ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连接AD ,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G. D B 图1 图2 (1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE,DF,BG之间的数量关系，完善空格内容. 小明是这样证明的：：S。Bc= +S。ACD· AB=AC (②)如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系 (3)如图2，当点D在BC的延长线上时，请猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证明， 【变式2】(25-26八年级上全国期末)发现与探究：三角形的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的 重心.重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的 重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于 水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案. 图1 图2 图3 (1)如图2，AD是ABC的中线，△ABD与△ACD等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：SA即 S。4cD(填>、<或=)； 16/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图3，若ABC三条中线AD、BE、CF交点为G,则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可得： S.GCD=SGBD,同理SGBr=S.GAF,SG4E=S.GCE·若设SGCD=x,S.GBr=y,SAG4E=z,猜想x,y,z之间 的数量关系为： (3)如图3， 1BC被三条中线分成六个小三角形，点G为4BC的重心，则DC AG 立题型八利用全等三角形的性质求解 解|题|技|巧 全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线， 通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。 【典例1】(25-26八年级上河南南阳期末)如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠1=44°，则 ∠BAE的度数为 D A 1 【典例2】(25-26八年级上湖南常德期末)如图，点B,C,E在同一条直线上，△ABC兰△BDE, AC=10,DE=8,则CE的长为 D 【变式1】(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P在线段 BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后， △ABP与COP全等，则t的值是 D B 17/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·安微合肥期末)如图，已知△ABD≌aEBC,AB=3,BC=4.5,且点B在线段 AC上. D B (I)求DE的长； (2)求证：AC⊥BD. 题型九判断是香能使两三角形全等 解|题|技|巧 检查已知条件是否符合SSS、SAS、AS4、AAS,注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等， 可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。 【典例1】(25-26八年级上河南信阳·期末)根据下列已知条件，能唯一画出ABC的是（) A.AB=5,BC=4,CA=10 B.∠A=45°，∠B=70°，AB=6 C.AB=4,BC=3,∠A=30 D.∠C=90°，AB=6 【典例2】(25-26八年级上安徽铜陵期末)能判定△ABC≌△A'B'C'的条件是() A.AB=A'B”,AC=AC,∠C=∠C'B.AB=AB,∠A=∠A',BC=B'C C.AC=AC,ZA=ZA',BC=B'C'D.AC=AC,LC=ZC',BC=B'C' 【变式1】(25-26八年级上·湖北武汉·期末)根据下列已知条件，能确定ABC的形状和大小的是() A.∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°B.AB=6cm,∠B=50°，AC=5cm C.∠A=40°，∠B=50°，AB=6cm D.AB =6cm BC =5cm,A=45 【变式2】(25-26八年级上·江苏期末)全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判 定△ABC≌△DEF的是() A.AB=DE,BC=EF,AC=DF(SSS) B.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠EASA C.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D(SSAD.∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(AAS 题型十与全等三角形有关的多结论问题 解|题技|巧 18/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难， 利用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。 【典例1】(25-26七年级下，全国期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，AE平分 ∠CAB,CF⊥AB,AE与CF相交于点G,下列结论一定成立的是() ①△ACD与△BCD的面积相等；②∠ACF=∠B;③△ACE≌△CFD;④LCEG=∠CGE A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 【典例2】(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的高， LBAF=LCAG=90°，AB=AF,AC=AG.连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF,则下列结论： ①BG=CF;②BG⊥CF;③EF=EG;④BC=2AE,其中正确的有() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【变式1】(24-25七年级下·四川达州期末)如图，AD是ABC的中线，E,F分别是AD,AD延长线上 的点，连接BF,CE,且CE∥BF,有下列说法：①DE=DF;②△ABD和△ACD面积相等：③CE=BF; ④aBDF≌△CDE;⑤∠CEF=∠F.其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】(25-26八年级上·四川内江期末)如图1，已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上一点，连 接BD、CD;如图2，已知AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE;如图 3,已知AB=AC,D、E、F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF;,依此 类推，第n个图形中全等三角形的对数是() 19/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 A.2n-1 B.3(n+1) C.(n-) D.n(n+1) 2 题型十一三角形全等的判定与性质综合 解|题技|巧 先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关 键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。 【典例1】(24-25七年级下·陕西成阳期末)【问题情境】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,连接AC,点G在BC边上，连接DG并延长，交AB 的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,己知∠DAC+∠CGF=90°，AE=AC. D B G E 【问题探究】 (1)请说明△ABC≌△AFE; 【问题解决】 (2)若2AB=AC,AD=2,求CG的长. 【典例2】(25-26八年级上·全国期末)(1)如图1，AB=AC,点M,N分别在AB,AC上，且 AM=AN,连接CM,BN交于点D,求证：∠B=∠C; (2)如图2，在ABC中，AB=AC,CM⊥AB于点M,点N在AC上，且BC=BN,求证： MB+AN =AM (3)如图3，在ABC中，点E在边AC上，点F在线段BE上，且AE=EF,连接FC,∠ABE=∠ACF.求 证：AB=CF. 20/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 【变式1】(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，己知△ABC,AD∥BC,AD=AB,点E在直线AB上， 连接DE. E 图(1) 图(2) (1)如图1，当点E在BA的延长线上时. ①若AE=BC,求证：DE=AC; ②若DE=AC,求证：AE=BC (2)如图2，点E在边AB上，DE=AC,CF⊥AB于点F,若AB=BC,BF=2,直接写出BE的长. 【变式2】(25-26八年级上·山东聊城期末)己知∠ACB中，AC=BC,过点A作直线I∥CB,点F为直 线1上任意一点 AF A D M G H B B B 图1 图2 图3 (I)点E为线段AC上的任意一点，点F位于A点的右边，连接CF交BE于点H,如图1，若∠ACB=90°， BE=CF,试探究BE与CF的位置关系，并证明你的结论： (②)若∠ACB=90°，连接FC,过点C作CD⊥CF,并使CD=CF,连接DB交射线AC于点G,过点D作 DM⊥AC于点M,若AC=m,AG=n, ①如图2，点F在A点右边，求线段AF的长度；（用m,n表示） 21/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若点F在A点左边，在图3中画出图形并直接写出线段AF的长度.（用m,n表示） 题型十二全等三角形中的动点综合问题 解|题|技|巧 设运动时间表示线段长，利用全等对应边相等列方程；注意分类讨论不同对应关系，多种运动方向与速度， 排除重合点与超出范围，验证解是否在时间内成立。 【典例1】(24-25七年级下·云南临沧期末)如图，在ABC中，BC=5,高AD、BE相交于点0， BD=2,且AE=BE. A E E D B D (备用图1) (备用图2) (I)请说明△AOE≌△BCE的理由： (2)动点P从点0O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以 每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动设点 P的运动时间为t秒，当△AOQ的面积为3时，求t的值： (3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点，且CF=BO.当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、 C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值。 【典例2】(23-24八年级上贵州遵义·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动 点，过点A作AD⊥BE于D,连接CD D 图① 图② (1)【观察发现】 如图①，∠DAC与∠DBC的数量关系是-； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数； 22/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)【深入思考】 如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系 【变式1】(24-25八年级上山东济宁期末)四边形ABCD中，AB=BC,∠A+∠C=180°，E,F分别 是边AD,CD上的动点，且∠ABC=2∠EBF. E F D B 图1 图2 (I)如图1，当E,F分别在线段AD,CD上时， ①填空：若设∠D=a,∠EBF=B,则o,B之间的数量关系是； ②猜想AE,EF,FC之间的数量关系，并证明你的猜想； (②)如图2，当E,F分别运动到在线段DA,CD延长线上时，其它条件不变，(1)中②你的猜想是否仍然 成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明. 【变式2】(24-25七年级下山东济南期末)(1)【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2 所示的一线三等角”型. E a b 乐买黄实 B B 赵爽弦图 图1 图2 己知，AC=CE,∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请在图1和图2中选择一个模型证明△ABC≌△CDE. (2)【内化迁移】 在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,点D为射线BC上一动点（点D不与点B重合），连接AD,以 AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE,使∠DAE=90°，AD=AE. 23/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A M D C B CD C 图3 图4 备用图 ①如图3，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F,求EF的长度： ②如图4，连接BE,交直线AC于点M,点D在运动过程中，若S△BD=3SAME,请直接写出BD的长. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. (25-26八年级上山东烟台期末)若一个三角形的三条边长分别为2,6，c,则c的长可以是() A.3 B.4 C.5 D.9 2.(25-26八年级上山东临沂期末)如图，点E,F在AD上，AB∥CD,AB=CD,增加下列一个条件： ①LB=∠C;②AE=DF;③BF=CE;④LAFB=LDEC,其中能判定△ABF≌△DCE的条件个数有() E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上山东日照·期末)一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将 三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块 24/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 砖的厚度a=6cm,则DE的长为() R A.32cm B.42cm C.50cm D.52cm 4.(25-26八年级上广西钦州期末)已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三 边长为 5.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)如图，ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作 OE⊥AB于E,作OF⊥AC于F,若OE+OF=4,ABC的面积为12，则AB=· 6. (25-26八年级上·湖南怀化期末)如图，在ABC中，∠A=90°，AB=14cm,AC=4cm,过点B作 BM⊥AB.动点E从A点出发以2cmIs的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而 运动，始终保持ED=CB,若点E的运动时间为t秒(1>O),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ACB全 等时，t= 秒 M A B 7.(25-26八年级上河北邯郸期末)如图，AB=EF,AD=CF,AB∥EF,求证： D (I)△ABC≌△FED (2)BC∥DE 25/29 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上山东聊城期末)图，点D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC‖AB B (I)求证：AE=CE; (②)若AB=8,CF=6,求BD的长 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D,E在BC边上，连接AD,AE, 增加下列条件中的1个：①∠I=∠2；②AD=AE;③∠3=∠4；④BE=CD,其中能使△ABE≌△ACD的 条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25七年级下·四川乐山期末)如图，△ABC≌△AED,则下列结论 ①AC=AD;②BC=ED;③LACB=∠ADE;④LBAE=∠CAD. 其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上·重庆江津·期末)如图，点D是ABC内一点，DA=DB,∠ADB=90°，过D作 26/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FE⊥BC于E,交AC于F,F恰是AC的中点.若DF=4,BE=11,则EC的长为() F B A.2 B.3 C.4 D.5 4. (25-26八年级上河南开封期末)已知一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形 是 (填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形. 5.(25-26八年级上，安微安庆期末)如图，在ABC中，∠ABC=90°，过点C作CD⊥AC,且CD=AC ,连接BD,若SBCD=32,则BC的长为 B C 6.(25-26九年级上·广东湛江·期末)如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且 AF=EC,连接EF,DE,DF,M是FE中点，连接MC,设FE与BD相交于点G,与DC相交于点N.则 4个结论：①DE=DF;②∠CME=∠CDE;③DG=GN.GE;④若BF=2,则MC=√2；正确的结论 有个 D M B C E 7.(25-26八年级上山东滨州期末)已知a,b,c为ABC的三边长 (I)若ABC为等腰三角形，且周长为13，已知a=3,求b,C的值； (2)若a,b满足a-1+b2-4h+4=0,且c是整数，求c的值. 8.(25-26八年级上江西南昌期末)如图，点E,C,D,A在同一条直线上，AB∥DF,AB=DE, ∠B=∠E. 27/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C D A (I)求证：△ABC≌△DEF; (2)若AB=8,CD=2,求CE的长， 9.(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，BC=AC,D为直线BC上一动点， 连接AD,在直线AC的右侧作AE⊥AD,且AE=AD,过点E作EF⊥AC,垂足为F. G D 图1 图2 (I)如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC=EF; (2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接BE交直线AC于点G,判断BD与GF的数量关系，并说 明理由； (3)当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于点G;当△ABD的面积为9，△ABE的面积为27时，则 △ACD的面积为 10.(25-26八年级上·广东汕尾期末)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠D=90°，E, F分别是边BC、CD上的点，且∠E=B4D,BE=3EF=7,则DF的长为 , (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,请判断EF,BE,DF之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC、CD延长线上的点， 且∠EAF=号∠BAD,(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关 系，并证明， 28/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B E B E 图1 图2 图3 29/29