专题6 命题、定理、证明与尺规作图（9大考点 23题变式）讲义 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题6 命题、定理、证明与尺规作图 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 特别说明： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 特别说明： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 4.尺规作图 （1）尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图。 （2）利用尺规作一个角等于已知角： (1)作射线 (2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D (3)以点为圆心，以OC长为半径画弧，交于点 (4)以点为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点 (5)过点作射线，∠即是所求作的角 （3）利用尺规作图比较两个角的大小。作法跟利用尺规作一个角等于已知角类似，只是把两个角的一条边重合在一起。 考点1：命题的辨别 例1．（2024秋•临漳县期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．作角A的平分线 变式1.（2024•恩施市模拟）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若2a＝4，则a＝2 C．过一点作已知直线的平行线 D．同角的余角相等 变式2（2024春•卢龙县期中）下列语句不是命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗 D．对顶角不相等 变式3.（2024秋•湘阴县期中）下列语句中不是命题的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 考点2：判断真假命题 例2．（2024秋•青龙县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．正数与负数的和为0 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 变式4.（2024秋•温州期末）对于命题“若|a|＝|b|，则a＝b”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣2 C．a＝2，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝﹣3 变式5.（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 变式6.（2024秋•泗县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 考点3：举例说明真假命题 例3． （2024秋•漳州期末）能说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＝π 变式7.（2025•潮阳区一模）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4 变式8.（2024秋•镇海区校级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．﹣1 C．0 D． 变式9.（2024秋•渭城区期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（　　） A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2° C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3° 考点4：写出命题的题设与结论 例4．（2024秋•巴彦县期末）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　 　，那么 　 　． 变式10.（2024秋•淮北期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　 　． 变式11.（2024秋•泉州期末）命题“同位角相等，两直线平行”的条件是 　 　． 变式12.（2024秋•叶县期末）把“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，应该是 　 　． 考点5：写出命题的逆命题 例5．（2024秋•宁波期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是　 　． 变式13.（2024秋•澧县期末）“如果m，n互为倒数，那么mn＝1”的逆命题是 　 　（填“真”或“假”）命题． 变式14.（2024秋•松江区期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 　 　． 变式15.（2024秋•舒城县期末）“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　． 考点6：互逆命题与互逆定理的辨别 例6．下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 变式16.下列命题的逆命题不正确的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．相等的两个角就一定是对顶角 C．若，则 D．全等三角形的三个对应角相等 变式17.下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，同位角相等 考点7：逻辑推理与论证 例7．甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、语文、科学、英语，甲老师可以教语文、科学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、语文、科学；丁老师只能教科学，为了使每位老师都能胜任工作，那么教数学的老师是________老师． 变式18.网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（    ） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 考点8：已知证明过程填写理论依据 例8．（2025春•西安校级月考）完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴　 　∥　 　，（ 　 　） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴　 　，（ 　 　） ∴　 　∥　 　．（ 　 　） 变式19.（2025春•灞桥区校级月考）填空：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　 　，（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DG（　 　）， ∴∠BAC+∠AGD＝　 　°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠BAC＝75°， ∴∠AGD＝　 　°． 变式20.（2024秋•侯马市期末）把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； （2）推导证明AF与DC的位置关系． 解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠　 　（　 　）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠　 　（　 　）， ∴AB∥DE（　 　）． （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠　 　（　 　）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）， ∴AF　 　DC． 变式21.（2024秋•上蔡县期末）填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC． 理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 　 　）． ∴AD∥EG（ 　 　）． ∴∠1＝∠2（ 　 　）， ∠E＝∠3（ 　 　）． 又∵∠E＝∠1（ 　 　）， ∴∠2＝∠3（ 　 　）． ∴AD平分∠BAC（ 　 　）． 考点9：根据给出的论断重组命题并证明 例9．（2023秋•惠民县期末）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 变式22.（2023春•乾安县期中）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来； （2）你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例．（温馨提示：∠B+∠C+∠BAC＝180°） 变式23.（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知 　 　，求证：　 　．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【巩固练习】 1．下列语句是命题的是（    ） A．一起向未来 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．垃圾分类是一种生活时尚． 2．下列命题中，真命题的个数是（　　） ①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 3．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 4．命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③末位数字是5的数，能被5整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 7．，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么B也进入.”B说：“如果我进入，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 8．“如果，那么”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，____________，____________． 9．命题“内错角相等”的题设是_________，结论是________，它是________（“真”或“假”）命题． 10．命题“若，则”的逆命题是________． 11．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____． 12．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 13．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 14.读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图： （1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R． 15.陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 专题6 命题、定理、证明与尺规作图 参考答案 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 特别说明： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 特别说明： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 4.尺规作图 （1）尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图。 （2）利用尺规作一个角等于已知角： (1)作射线 (2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D (3)以点为圆心，以OC长为半径画弧，交于点 (4)以点为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点 (5)过点作射线，∠即是所求作的角 （3）利用尺规作图比较两个角的大小。作法跟利用尺规作一个角等于已知角类似，只是把两个角的一条边重合在一起。 考点1：命题的辨别 例1．（2024秋•临漳县期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．作角A的平分线 【考点】命题与定理．版权所有 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断． 【解答】解：两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 变式1.（2024•恩施市模拟）下列语句中，不是命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若2a＝4，则a＝2 C．过一点作已知直线的平行线 D．同角的余角相等 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】C 【分析】根据命题的定义作答． 【解答】解：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题， 而C属于作图语言，不是命题． 故选：C． 【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”．注意，作图语言不是命题． 变式2.（2024春•卢龙县期中）下列语句不是命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗 D．对顶角不相等 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】C 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：“两点之间，直线最短”是命题，故A不符合题意； “不平行的两条直线有一个交点“是命题，故B不符合题意； “x与y的和等于0吗”不是命题，故C符合题意； “对顶角不相等”是命题，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是命题的概念，解题的关键是掌握命题是判断一件事情的语句． 变式3.（2024秋•湘阴县期中）下列语句中不是命题的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【考点】命题与定理；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有 【专题】几何图形；应用意识． 【答案】B 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题，正确记忆判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的是解题关键． 考点2：判断真假命题 例2．（2024秋•青龙县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．正数与负数的和为0 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【考点】命题与定理；有理数的加法；对顶角、邻补角；垂线；同位角、内错角、同旁内角．版权所有 【专题】几何图形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据对顶角的概念、平行线的性质、垂直的定义判断． 【解答】解：A、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，为假命题，不符合题意； B、正数与负数的和不一定为0，为假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 变式4.（2024秋•温州期末）对于命题“若|a|＝|b|，则a＝b”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣2 C．a＝2，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝﹣3 【考点】命题与定理；绝对值．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较以及假命题的概念解答即可． 【解答】解：A、a＝2，b＝2时，|a|＝|b|，且a＝b，不能说明命题“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题，不符合题意； B、a＝﹣2，b＝﹣2时，|a|＝|b|，且a＝b，不能说明命题“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题，不符合题意； C、a＝2，b＝﹣2时，|a|＝|b|，但a≠b，说明命题“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题，符合题意； D、a＝﹣2，b＝﹣3时，|a|≠|b|，不能说明命题“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 变式5.（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 变式6.（2024秋•泗县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】C 【分析】利用真假命题的判断方法逐项分析判断即可． 【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意； B．同旁内角不一定互补，原命题错误，是假命题，故选项B不符合题意； C．能被4整除的整数，一定能被2整除，命题正确，是真命题，故选项C符合题意； D．互为倒数的两个数和不一定为0，原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了判断命题真假，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 考点3：举例说明真假命题 例3． （2024秋•漳州期末）能说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＝π 【考点】命题与定理；绝对值．版权所有 【专题】数与式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理进行判断即可． 要说明一个命题的是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例． 【解答】解：要说明一个命题的是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例．据此判断如下： A．a＝﹣2，|﹣2|＝2＞1，而﹣2＜1，∴说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例可以是a＝﹣2； B．a＝1，|1|＝1，∴说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例不可以是a＝1； C．a＝2，|2|＝2＞1，2＞1，∴说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例不可以是a＝2； D．a＝π，|π|＝π＞1，π＞1，∴说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例不可以是a＝π． 故选：A． 【点评】本题主要考查了命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 变式7.（2025•潮阳区一模）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4 【考点】命题与定理；有理数的加法．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据加法法则知识进行判断即可． 【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4， 故选：D． 【点评】此题考查了命题与定理、加法法则等知识，熟练掌握加法法则是解题的关键． 变式8.（2024秋•镇海区校级期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．﹣1 C．0 D． 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【答案】A 【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答． 【解答】解：1， （）2﹣2＝0， ∴当n时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题， 故选：A． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 变式9.（2024秋•渭城区期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（　　） A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2° C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3° 【考点】命题与定理；角的计算．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可． 【解答】解：A、92°﹣40°＝52°，52°是锐角，故本选项不符合题意； B、89°不是钝角，故本选项不符合题意； C、110°﹣30°＝80°，80°是锐角，故本选项不符合题意； D、103°﹣3°＝100°，100°是钝角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 考点4：写出命题的题设与结论 例4．（2024秋•巴彦县期末）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　两个角是同一个角的余角　，那么 　这两个角相等　． 【考点】命题与定理；余角和补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】两个角是同一个角的余角，这两个角相等． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是同一个角的余角，这两个角相等． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 变式10.（2024秋•淮北期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零　． 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据命题的结构直接求解即可． 【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键． 变式11.（2024秋•泉州期末）命题“同位角相等，两直线平行”的条件是 　同位角相等　． 【考点】命题与定理；平行线的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】由命题的题设和和结论的定义进行解答即可． 【解答】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，结论是由已知条件推出的事项， 命题中已知的事项是“同位角相等”，推出的事项是“两直线平行”， ∴命题的条件为：同位角相等，结论为：两直线平行． 故答案为：同位角相等． 【点评】本题考查了命题的概念与组成，熟练掌握命题的构成是解题的关键． 变式12.（2024秋•叶县期末）把“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，应该是 　如果两个角是等角的余角，那么它们相等　． 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】题设是如果两个角是等角的余角，结论是它们相等． 【解答】解：如果两个角是等角的余角，那么它们相等． 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么它们相等． 【点评】本题考查了命题的形式，解题时注意分清题设和结论，把定理中省略的内容补充完整． 考点5：写出命题的逆命题 例5．（2024秋•宁波期末）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是　有三条对称轴的三角形是等边三角形　． 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】应用意识． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形． 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【解答】解：∵原命题条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键． 变式13.（2024秋•澧县期末）“如果m，n互为倒数，那么mn＝1”的逆命题是 　真　（填“真”或“假”）命题． 【考点】命题与定理；倒数．版权所有 【专题】数与式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先写出命题的逆命题，再判断即可． 【解答】解：命题“如果m，n互为倒数，那么mn＝1”的逆命题是“如果mn＝1，那么m，n互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真． 【点评】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 变式14.（2024秋•松江区期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角　． 【考点】命题与定理；角的概念；余角和补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 变式15.（2024秋•舒城县期末）“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　三个内角都等于60°的三角形是等边三角形　． 【考点】命题与定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可． 【解答】解：命题“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为：三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 【点评】本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大． 考点6：互逆命题与互逆定理的辨别 例6．下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 变式16.下列命题的逆命题不正确的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．相等的两个角就一定是对顶角 C．若，则 D．全等三角形的三个对应角相等 【答案】D 【分析】将原命题的条件和结论互换位置，即可得到其逆命题，再进行判断即可． 【详解】A. 直角三角形的两锐角互余，其逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题为真命题； B. 相等的两个角就一定是对顶角，其逆命题为：对顶角是相等的两个角，逆命题为真命题； C. 若，则，其逆命题为：若，则，逆命题为真命题； D. 全等三角形的三个对应角相等，其逆命题为：三个对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题； 故答案选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何写出一个命题的逆命题． 变式17.下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立； B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立； D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大． 考点7：逻辑推理与论证 例7．（2022·甘肃·陇南七年级期末）甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、语文、科学、英语，甲老师可以教语文、科学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、语文、科学；丁老师只能教科学，为了使每位老师都能胜任工作，那么教数学的老师是________老师． 【答案】丙 【分析】从丁老师只能教科学出发，则甲老师只能教语文，可得丙老师只能教数学． 【详解】解：∵丁老师只能教科学，甲老师可以教语文、科学，∴甲老师教语文， ∵丙老师可以教数学、语文、科学，∴丙老师只能教数学．故答案为：丙 【点睛】本题主要考查了逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题． 变式18.网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（    ） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 【答案】C 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得手机支架的价格，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明手机支架的价格少于20元， 乙、丙的说法错误，说明手机支架的价格高于18元， 又因为琪琪同学花整数元购买了一个手机支架， 所以手机支架的价格是19元，故选：C． 【点睛】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到手机支架的价格． 考点8：已知证明过程填写理论依据 例8．（2025春•西安校级月考）完成下面的证明，括号内填根据． 已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴　EF　∥　BC　，（ 　内错角相等，两直线平行　） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴　AD∥BC　，（ 　同旁内角互补，两直线平行　） ∴　AD　∥　EF　．（ 　平行于同一条直线的两直线平行　） 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】EF、BC、内错角相等，两直线平行；AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；AD、EF、平行于同一条直线的两直线平行． 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴EF∥BC，（内错角相等，两直线平行） ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行） ∴AD∥EF．（平行于同一条直线的两直线平行）， 故答案为：EF、BC、内错角相等，两直线平行；AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；AD、EF、平行于同一条直线的两直线平行． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 变式19.（2025春•灞桥区校级月考）填空：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　∠3　，（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DG（　内错角相等，两直线平行　）， ∴∠BAC+∠AGD＝　180　°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠BAC＝75°， ∴∠AGD＝　105　°． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】∠3；内错角相等，两直线平行；180；105． 【分析】由EF∥AD，得到∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，则AB∥DG，即可求解． 【解答】解：∵EF∥AD（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠BAC＝75°（已知）， ∴∠AGD＝180°﹣∠BAC＝105°（三角形内角和定理）， 故答案为：∠3；内错角相等，两直线平行；180；105． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 变式20.（2024秋•侯马市期末）把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； （2）推导证明AF与DC的位置关系． 解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠　DEC　（　两直线平行，内错角相等　）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠　DEC　（　等量代换　）， ∴AB∥DE（　同位角相等，两直线平行　）． （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠　AGD　（　两直线平行，内错角相等　）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　AGD　＝∠　3　（等量代换）， ∴AF　∥　DC． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）AGD；两直线平行，内错角相等；AGD；3；∥． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠DEC（等量代换）， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠AGD（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠AGD＝∠3（等量代换）， ∴AF∥DC， 故答案为：AGD；两直线平行，内错角相等；AGD；3；∥． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 变式21.（2024秋•上蔡县期末）填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC． 理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 　垂直的定义　）． ∴AD∥EG（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　）， ∠E＝∠3（ 　两直线平行，同位角相等　）． 又∵∠E＝∠1（ 　已知　）， ∴∠2＝∠3（ 　等量代换　）． ∴AD平分∠BAC（ 　角平分线的定义　）． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】由垂直可证明AD∥EG，由平行线的性质可得到∠1＝∠2＝∠3＝∠E，可证得结论，据此填空即可． 【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）， ∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行 ）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠E＝∠1（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 考点9：根据给出的论断重组命题并证明 例9．（2023秋•惠民县期末）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可以组成三个命题，（ⅰ）①②为题设，③为结论；（ⅱ）①③为题设，②为结论；（ⅲ）②③为题设，①为结论； （2）上述的三个命题都是真命题，（ⅰ）由DE∥BC得∠C+∠DEC＝180°，再由DF∥AC得∠1+∠DEC＝180°，由此可得出结论；（ⅱ）由DE∥BC得∠C+∠DEC＝180°，再根据∠1＝∠C得∠1+∠DEC＝180°，由此可得出结论；（ⅲ）由DF∥AC这∠1+∠DEC＝180°，再根据∠1＝∠C得∠C+∠DEC＝180°，由此可得出结论． 【解答】解：（1）可以组成三个命题， （ⅰ）如果①DE∥BC，②DF∥AC，那么③∠1＝∠C． （ⅱ）如果①DE∥BC，③∠1＝∠C，那么②DF∥AC． （ⅲ）如果②DF∥AC，③∠1＝∠C，那么①DE∥BC． （2）上述的三个命题都是真命题，证明如下： （ⅰ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， 又∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴∠1＝∠C． （ⅱ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴DF∥AC． （ⅲ）∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∴DE∥BC． 【点评】此题主要考查了命题，平行线的判定和性质，理解命题的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 变式22.（2023春•乾安县期中）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来； （2）你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例．（温馨提示：∠B+∠C+∠BAC＝180°） 【考点】平行线的判定与性质；命题与定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③． 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， 如：①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）都是真命题， 如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C， 证明：∵DE∥BC， ∴∠1＝B，∠2＝∠C． ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，（1）利用了命题的定义，（2）利用了真命题的定义，平行线的判定与性质． 变式23.（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知 　①②　，求证：　③　．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【考点】命题与定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】①②，③（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理和性质定理分类证明即可． 【解答】答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∴∠3＝∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠3＝∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2＝180°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键． 【巩固练习】 1．下列语句是命题的是（    ） A．一起向未来 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．垃圾分类是一种生活时尚． 【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、一起向未来，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、今天，你微笑了吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； C、多彩的青春，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； D、垃圾分类是一种生活时尚，是命题，符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，命题都是由题设和结论两部分组成． 2．下列命题中，真命题的个数是（　　） ①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题； ②两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题；③等角的余角相等，原说法正确，是真命题； ④如果，那么，原说法错误，是假命题，即真命题的个数为1，故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：A. ∵当a＝﹣3，b＝2时，，但是， ∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．符合题意； B. ∵当a＝3，b＝2时，，则， ∴a＝3，b＝2不是假命题的反例．不符合题意； C. ∵当a＝2，b＝﹣1时，，则， ∴a＝2，b＝﹣1不是假命题的反例．不符合题意； D. ∵当a＝3，b＝﹣2时，，则， ∴a＝3，b＝﹣2不是假命题的反例．不符合题意；故选：A． 【点睛】此题考查了证明命题，举例满足题设，只需证明结论的成立与否，正确掌握命题的证明方法是解题的关键． 4．命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，故D正确，符合题意．故选：D 【点睛】本题考查命题的概念，熟记概念是关键． 5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③末位数字是5的数，能被5整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若，则的逆命题是若，则|；也可以是a=-b所以是假命题； ③末位数字是5的数，能被5整除逆命题是能被5整除的数，末位数字是5；末尾数也可以是0，所以是假命题；④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题； 它们的逆命题是假命题的个数是3个．故选：C． 【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题． 6．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 【答案】C 【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 7．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么B也进入.”B说：“如果我进入，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【答案】C 【分析】若A，B进入了前三强，那么B、C、D、E也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当C进行前三强，那么D、E也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意， 同理，当B进行前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E． 故选C 【点睛】此题考查了逻辑推理，根据每个人所说的进行推理即可求解． 8．“如果，那么”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，____________，____________． 【答案】     ﹣1（答案不唯一）     0（答案不唯一） 【分析】找出一对使得命题不成立的数即可． 【详解】解：当a＝﹣1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，故原命题为假命题， 故答案为：﹣1，0． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，能根据题意举出合适的反例是解答此题的关键． 9．命题“内错角相等”的题设是_________，结论是________，它是________（“真”或“假”）命题． 【答案】     两个角是内错角     这两个角相等     假 【分析】将这个命题改写成“如果，那么”的形式，由此即可得出它的题设和结论，再根据同位角的定义即可判断真假． 【详解】解：命题“内错角相等”可改写为“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”， 则命题“内错角相等”的题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等， 因为两个内错角不一定相等，所以它是假命题， 故答案为：两个角是内错角；这两个角相等；假． 【点睛】本题考查了命题的题设与结论、判断命题的真假，熟练掌握将命题改写成“如果，那么”的形式是解题关键． 10．命题“若，则”的逆命题是________． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b，故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 11．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____． 【答案】3 【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为1和5，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为2和4，即可得出答案． 【详解】解析：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字， ∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，∴甲手中的数可能为2，3，4， ∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大． ∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3．故答案为：3． 【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键． 12．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． （1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴．故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度，∴， ∴，解得：， ∴，∴．∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 13．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到；故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴，，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，，． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 14.读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图： （1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R． 【答案】 解：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q，如图；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．如图； 【解析】【分析】（1）过点P作∠PQA=∠DCA即可． （2）过点P作∠QPR=90°即可． 15.陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） 小淇同学作法如下： （1）在直线l上任意取一点C，连接AC； （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示； （4）作直线AB． 则直线AB就是所要作图形． 你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明． 【答案】 解：小淇同学作法正确． 理由如下：连接OB． ∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B， ∴OA=OC=OB． ∴∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO， 又∵∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°， ∴∠ABO+∠CBO=90°． ∴∠ABC=90°， 即AB⊥l． 【解析】【分析】连接OB，根据作图方法可得OA=OC=OB，根据等边对等角可得∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO，再根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°，进而可得∠ABO+∠CBO=90°，从而可证出AB⊥l 1 学科网（北京）股份有限公司 $$