专题02 不等式与不等式组（考点串讲，4考点&5题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版五四制）

串讲02 不等式与不等式组（4考点&5题型） 七年级人教版（五四制）数学下册期中考点大串讲 人教版五四制2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大易错易混经典例题+针对训练 5道期末真题对应考点练 五大重难点题型典例剖析+强化训练+四类期末重难点突破 四大常考点：知识梳理+考点分类训练 考点透视 知识梳理 C B ＜ 考点分类训练 x＜5 x＞－1 x＞－1 B C 1 D C A C 重难点题型典例剖析 A 1＜x≤4 C A B 强化训练 A C a＜0 15 －1 期末重难点突破：不等式(组)与方程(组)的巧妙结合 D 易错易混 B D 5≤x＜6 12 针对训练 易错点一 对不等式的解与解集的定义理解不透彻 例1.已知不等式x<5的解也是关于x的不等式的解，求 m 满足的条件. 正解：解不等式， 根据题意，得， 解得 m≤-7. 38 易错点二 在应用不等式的性质时考虑不周全 例2.填空：若a>b，c为实数，则ac² bc². ≥ 正解：因为a>b，c²≥0，所以当c²>0时，ac²>bc²；当c²=0 时，ac²=bc². 所以ac²>bc². 故答案为≥. 易错点三 解一元一次不等式时常见的错误 正解：去分母，得2（2x-1）-3（5x+1）≤6. 去括号，得4x-2-15x-3≤6. 移项，得4x-15x≤6+2+3. 合并同类项，得-11x≤11. 系数化为 1，得x≥-1. 易错点四 已知不等式组的解集求字母的取值范围时出错 B 正解：因为不等式组无解，所以a≤1. 故选 B. A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1 易错点五 忽略隐含条件导致出错 例 5 一辆公共汽车上有（5a-4）名乘客，到某站有（9-2a）名乘客下车（a为整数），则车上原有多少名乘客？ 正解：根据题意，得 解不等式组，得 因为a为整数，所以a取2，3，4. 当 a=2 时，5a-4=6； 当a=3 时，5a-4=11； 当 a=4 时，5a-4=16. 答：车上原有6名或 11 名或 16名乘客. 1.(2023春·偃师市期末)已知a＞b,下列不等式一定成立 的是( ____ ) A.a+1＜b+1 B. C.-3a＞-3b D.a-c＜b-c 【解析】解：A、a＞b,则a+1＞b+1，故A不符合题意； B、a＞b,则 ＞ ，故B符合题意； C、a＞b,则-3a＜-3b,故C不符合题意； D、a＞b,则a-c＞b-c,故D不符合题意． B 押题预测 故选：B． 43 2.(2023春·吉首市期末)若不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是 _____ ． 【解析】解： ， 解①得x＞3， ∵不等式组的解集为x＞3， ∴m≤3． 故答案为m≤3． m≤3 44 3.(2023春·怀柔区期末)解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解析】解： ， 去分母：2(2x+5)＜x+1+6， 去括号：4x+10＜x+1+6， 移项：4x-x＜1+6-10， 合并同类项：3x＜-3， 化系数为1：x＜-1， 不等式的解集在数轴上表示如图所示： 45 4.(2023春·大名县期末)已知关于x,y的二元一次方程 (1)若方程组的解满足x-y＞3m+11，求m的取值范围． (2)当m取(1)中最大负整数值时，求x-y的值． 【解析】解：(1) ， ①+②得：2x-2y=-2m+6， 解得：x-y=-m+3， 代入不等式得：-m+3＞3m+11， 解得：m＜-2； (2)∵m＜-2，m取最大负整数值， ∴m=-3， 则x-y=-m+3=3+3=6． 46 5.(2023春·盘龙区期末)为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表： A型 B型 价格(万元/台) a b 年载客量(万人/年) 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． (1)求a,b的值； (2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 47 【解析】解：(1)依题意得： ， 解得： ， 答：a的值为100，b的值为150． (2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下： 设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车(10-m)辆，依题意得： ，解得：6≤m≤8． 又∵m为整数， ∴m可以为6，7，8． 当m=6时，10-m=4，购买总费用为100×6+150×4=1200(万元)； 当m=7时，10-m=3，购买总费用为100×7+150×3=1150(万元)； 当m=8时，10-m=2，购买总费用为100×8+150×2=1100(万元)． 答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 48 考点1：不等式及不等式的性质 1．在式子－3＜0，x≥2，x＝a，x2－2x，x≠3，x＋1＞y中，是不等式的有(　　) A．2个　 B．3个　 C．4个　 D．5个 2．已知x＋3与y－5的和是负数，以下所列不等式正确的是(　　) A．(x＋3)＋(y－5)＞0 B．(x＋3)＋(y－5)＜0 C．(x＋3)－(y－5)＞0 D．(x＋3)＋(y－5)≤0 3．若a＞b，则比较大小：－a＋3 －b＋3. 4．根据不等式性质将下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)x－2＜3化为 ； (2)6x＞5x－1化为 ； (3)－4x＞4化为 . 考点2：解一元一次不等式 5．(长春中考)不等式3x－6≥0的解集在数轴上表示正确的是(　　) 6．(丽水中考)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2 7．(湘西中考)对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab－a＋b－2.例如，2※5＝2×5－2＋5－2＝11.请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 . 8．(江西中考)解不等式：x－1≥eq \f(x－2,2)＋3. 解：去分母得，2(x－1)≥x－2＋6， 去括号得，2x－2≥x－2＋6， 移项得，2x－x≥－2＋6＋2， 合并同类项得，x≥6. 考点3.一元一次不等式的应用 9．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5cm/s，人跑开的速度是4m/s，为使放炮的人在爆破时能安全跑到100m以外的安全区，导火索的长度x(cm)应满足的不等式是(　　) A．4×eq \f(x,0.5)≥100 B．4×eq \f(x,0.5)≤100 C．4×eq \f(x,0.5)＜100 D．4×eq \f(x,0.5)＞100 10．小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，用剩余的钱来买笔，那么他最多可以买(　　) A．3支笔 B．4支笔 C．5支笔 D．6支笔 11．(娄底中考)“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨． (1)请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； (2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠．问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？ 解：(1)设该景区购买设计A型设备为x台，则B型设备购买(10－x)台，其中0≤x≤10，由题意，得12x＋15(10－x)≥140，解得x≤eq \f(10,3)，∵0≤x≤10，且x是整数，∴x＝3、2、1、0，∴B型相应的台数分别为7、8、9、10，共有4种方案：方案一：A型设备3台、B型设备7台；方案二：A型设备2台、B型设备8台；方案三：A型设备1台、B型设备9台；方案四：A型设备0台、B型设备10台；　 (2)方案二费用最少，理由如下：方案一购买费用：3×3＋4.4×7＝39.8(万元)＜40(万元)，∴费用为39.8(万元)；方案二购买费用：2×3＋4.4×8＝41.2(万元)＞40(万元)，∴费用为41.2×90%＝37.08(万元)；方案三购买费用：3×1＋4.4×9＝42.6(万元)＞40(万元)，∴费用为42.6×90%＝38.34(万元)；方案四购买费用：4.4×10＝44(万元)＞40(万元)，∴费用为44×90%＝39.6(万元)．∴方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少． 考点4.一元一次不等式组 12．(金华中考)若关于x的一元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＞3x－2,x＜m))的解集是x＜5，则m的取值范围是(　　) A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5 13．(自贡中考)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－5≤1 ①,\f(13－x,3)＜4x ②))，并在数轴上表示其解集． 解：解不等式①，得x≤2；解不等式②，得x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2.将其表示在数轴上，如图所示 命题高频点1　不等式的性质 【例1】已知a、b、c均为实数，且a＞b，c≠0，则下列结论不一定正确的是(　　) A．a＋c＞b＋c B．－a＜－b C．a2＞b2 D．eq \f(a,c2)＞eq \f(b,c2) 分析：根据不等式的性质1可知a＋c＞b＋c，正确；根据不等式的性质3可知－a＜－b，正确；根据不等式的性质2可知eq \f(a,c2)＞eq \f(b,c2)，正确． 命题高频点2　一元一次不等式的解法 【例2】不等式eq \f(x,2)－eq \f(x－1,3)≤1的解集是(　　) A．x≤4 B．x≥4 C．x≤－1 D．x≥－1 分析：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 命题高频点3　一元一次不等式组的解法 【例3】(广安中考)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3x－2＜4,x－1≤\f(1＋2x,3)))的解集为 . 分析：分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集即可． 命题高频点4　根据解集确定参数范围 【例4】关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－m＞0 ①,2x－3≥3x－2 ②))恰有四个整数解，那么m的取值范围为(　　) A．m≥－1 B．m＜0 C．－1≤m＜0 D．－1＜m＜0 分析：可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解，可求得m的取值范围． 命题高频点5　列不等式解实际问题 【例5】(烟台中考)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”，这批单车分为A、B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元． (1)今年年初，“共享单车“试点投放在某市中心城区正式启动，投放A、B两种款型的单车共100辆，总价值36800元，试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？ (2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元，请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？ 分析：(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；(2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3∶2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得． 解：(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝100,400x＋320y＝36800))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝60,y＝40)).答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；　 (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得3a×400＋2a×320≥1840000，解得a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×eq \f(100,100000)＝3辆、至少享有B型车2000×eq \f(100,100000)＝2辆． 1．(衢州中考)不等式3x＋2≥5的解集是(　　) A．x≥1 B．x≥eq \f(7,3) C．x≤1 D．x≤－1 2．(遵义中考)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(贵港中考)若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜3a＋2,x＞a－4))无解，则a的取值范围是(　　) A．a≤－3 B．a＜－3 C．a＞3 D．a≥3 4．(台湾中考)如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印 张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成(　　) A．112 B．121 C．134 D．143 5．根据不等式的性质，若将“eq \f(6,a)＞2”变形为“6＜2a”，则a的取值范围为 . 6．(宜宾中考)不等式组1＜eq \f(1,2)x－2≤2的所有整数解的和为 . 7．(凉山中考)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a＞2,b－2x＞0))的解集为－1＜x＜1，则(a＋b)2019＝ . 8．解下列不等式(组)，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)(盐城中考)3x－1≥2(x－1)； (2)(宁夏中考)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋6≥5x－2,\f(x－5,2)－\f(4x－3,3)＜1)). 解：(1)x≥－1，在数轴上表示如图： (2)－3＜x≤8，在数轴上表示如图： 9．已知关于x的方程(m－2)x＋3＝11－m(3－x)． (1)当m取何值时，方程有正数解？ (2)当m取何值时，方程有负数解？ (3)当m取何值时，方程有不小于3的解？ 解：由(m－2)x＋3＝11－m(3－x)得mx－2x＋3＝11－3m＋mx，∴x＝eq \f(3m－8,2)，(1)由题意，得：eq \f(3m－8,2)＞0，解得：m＞eq \f(8,3)，即：当m＞eq \f(8,3)时，方程有正数解；　 (2)由题意，得：eq \f(3m－8,2)＜0，解得：m＜eq \f(8,3)，即：当m＜eq \f(8,3)时，方程有负数解；　 (3)由题意，得：eq \f(3m－8,2)≥3，解得：m≥eq \f(14,3)，即：当m≥eq \f(14,3)时，方程的解不小于3. 10．(内江中考)某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． (1)若商场用50000元购进A型号手机10部、B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？ (2)为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍． ①该商场有哪几种进货方式？ ②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？ 解：(1)设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝y＋500,10x＋20y＝50000))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2000,y＝1500)).答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；　 (2)①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进(40－a)部，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2000a＋150040－a≤75000,a≥240－a))，解得eq \f(80,3)≤a≤30，∵a为解集内的正整数，∴a＝27、28、29、30，∴有4种购机方案：方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．根据题意，得w＝500a＋600(40－a)＝－100a＋24000，显然当a越小时，w越大．∴当a＝27时，能获得最大利润．此时w＝－100×27＋24000＝21300(元)．因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大． 类型一：求方程的正整数解 1．求方程3x＋2y＝17的正整数解． 解：将方程变形为2y＝17－3x，即y＝eq \f(17－3x,2).∵y＞0，∴eq \f(17－3x,2)＞0，∴x＜5eq \f(2,3).∵x＞0，∴0＜x＜5eq \f(2,3).又∵y为正整数，∴17－3x为偶数，∴x必为奇数．∴x＝1、3、5.当x＝1时，y＝eq \f(17－3x,2)＝7；当x＝3时，y＝eq \f(17－3x,2)＝4；当x＝5时，y＝eq \f(17－3x,2)＝1.故原方程的正整数解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝1)). 类型2：　求参数的值 2．是否存在整数m，使关于x的不等式1＋eq \f(3x,m)＞eq \f(x,m)＋eq \f(9,m)与x＋1＞eq \f(x－2＋m,3)的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由． 解：由x＋1＞eq \f(x－2＋m,3)，解得x＞eq \f(m－5,2)；由1＋eq \f(3x,m)＞eq \f(x,m)＋eq \f(9,m)，整理得eq \f(2x,m)＞eq \f(9－m,m).当m＞0时，x＞eq \f(9－m,2).因为两个不等式的解集相同，所以eq \f(m－5,2)＝eq \f(9－m,2)，解得m＝7.把m＝7代入任何一个已知不等式中，解得解集为x＞1.所以存在整数m＝7，使关于x的不等式1＋eq \f(3x,m)＞eq \f(x,m)＋eq \f(9,m)与x＋1＞eq \f(x－2＋m,3)的解集相同．当m＜0时，x＜eq \f(9－m,2)，则x＜eq \f(9－m,2)与x＞eq \f(m－5,2)不同解，∴当m＜0时，不存在． 类型3：　一元一次方程与不等式的综合应用 3．“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2018年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg.请解答下列问题： (1)求我省2018年谷子的种植面积是多少万亩？ (2)2019年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？ 解：(1)设我省2018年谷子的种植面积为x万亩，由题意，得eq \f(160,1000)x＋eq \f(60,1000)(2000－x)＝150.，解得x＝300.答：我省2018年谷子的种植面积是300万亩；　 (2)设我省今年应再多种植y万亩的谷子，由题意，得eq \f(160,1000)(300＋y)≥52，解得y≥25.答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子． 类型4：　二元一次方程组与不等式的综合应用 4．(烟台中考)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”，这批单车分为A、B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元． (1)今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动，投放A、B两种款型的单车共100辆，总价值36800元，试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？ (2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？ 解：(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝100,400x＋320y＝36800))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝60,y＝40))，答：本次试点投放的A型车60辆，B型车40辆；　 (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得3a×400＋2a×320≥1840000，解得a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆．则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×eq \f(100,100000)＝3(辆)，至少享有B型车2000×eq \f(100,100000)＝2(辆)． ●对不等式的解与解集的意义理解不透． 例1.下列说法中正确的是(　　) A．x＝1是方程－2x＝2的解　　　　　 B．x＝－1是不等式－2x＞2的唯一解 C．x＝－2是不等式－2x＞2的解集 D．x＝－2，－3都是不等式－2x＞2的解且它的解有无数个 ●运用不等式的性质时忽略两边同乘的数(或式子)的符号． 例2.下列不等式的变形正确的是(　　) A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2b C．由a＞b，得－a＞－b D．由a＞b，得a－2＜b－2 ●解一元一次不等式去分母时忽略分数线的作用． 例3.解不等式eq \f(x＋1,3)－eq \f(x－1,2)≥x－1，下列去分母正确的是(　　) A．2x＋1－3x－1≥x－1 B．2(x＋1)－3(x－1)≥x－1 C．2x＋1－3x－1≥6x－1 D．2(x＋1)－3(x－1)≥6(x－1) ●运用解集求原不等式组中字母的取值范围时易忽略等号． 例4.若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a≤0,3－2x＜0))有4个整数解，则a的取值(取值范围)是 . ●在不等式应用题中取最小或最大整数解出错． 例5.某次数学竞赛中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上． $$