精品解析：辽宁省铁岭市部分学校2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题（人教版）

2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（六） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A B. C. D. 3. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 下列对关于的一元二次方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况与值有关 5. 在不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的小球共12个，其中有4个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为2，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积等于（ ） A 1 B. C. 2 D. 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则底的长是（ ） A. B. C. D. 8. “计里画方”是中国古代按比例尺绘制地图的一种方法．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板“内芯”的高度，且，观测者的眼睛（图中用点表示）与，在同一水平线上，若，，则、两点的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 下表列出二次函数的自变量与函数值的若干组对应值： 那么方程的一个近似根（精确到）是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，，落在第二象限，反比例函数（）的图象经过点，过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，若的面积为12，，则的值是（ ） A. B. C. D. 30 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，且点A的坐标为，则点的坐标为______． 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 13. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为________． 14. 一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为_______厘米． 15. 如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当面积最大值时，的值是_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； （2）写出线段旋转到的旋转中心的坐标； （3）若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 18. 如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，） （1）求，之间的距离； （2）求大树的高度． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且． （1）求直线解析式； （2）求的值． 20. 某超市购进水果，进价为每千克8元，在销售过程中发现，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）的关系为（其中，且为整数）． （1）若该超市销售水果每天获利160元，则每千克水果售价为多少元？ （2）设该超市销售水果每天获利（元），当水果每千克售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，为的直径，以点为圆心，长为半径画弧交于，两点，连接交于点，点为上一点，连接，，点为延长线上一点，连接，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 22. 如图1，在中，，，，，分别为，中点，连接．如图2，将绕点旋转，直线与直线相交于点． （1）如图1，的度数是 ；的长度是 ； （2）将绕点旋转至如图2所示位置，求的度数； （3）在绕点旋转过程中，当时，求线段的长度． 23. 【概念感知】 如果线段与函数图象只有一个公共点，我们称线段与这个函数图象一点相交． 【概念理解】 （1）我们知道正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当限定自变量的取值范围为时，即可得到一条线段，如果这条线段与函数的图象一点相交，则的取值范围是 ； 【概念应用】 （2）如图1，抛物线（为常数且）顶点为，交轴于点，其对称轴与双曲线交于点． ①连接，，当时，求抛物线解析式； ②连接，当线段与抛物线一点相交时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（六） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，直接根据顶点式的特点写出顶点坐标，熟练利用顶点式求抛物线顶点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2. 如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得上面第一层右边有1个正方形，第二层有两个正方形，如图所示： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 4. 下列对关于的一元二次方程的根的情况判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况与值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，即可得出，进而即可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 在不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的小球共12个，其中有4个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，从袋子中随机取出1个球，共有12种等可能结果，其中是红球的只有2种结果，利用概率公式计算可得．解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：口袋中有红球个， 从袋子中随机取出1个球，共有12种等可能结果，其中是红球的只有2种结果， 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是． 故选：D． 6. 如图，正方形的边长为2，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点O，连接，由阴影的面积的面积扇形的面积 的面积弓形的面积，求出的面积，扇形的面积，的面积，弓形的面积，即可解决问题． 本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积的面积扇形的面积的面积弓形的面积． 【详解】解：取中点O，连接， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵扇形的面积，的面积， ∴弓形的面积扇形的面积的面积， ∵的面积，扇形的面积，的面积， ， ∴阴影的面积=的面积扇形的面积 的面积弓形的面积． 故选：A． 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则底的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴ 故选：B． 8. “计里画方”是中国古代按比例尺绘制地图的一种方法．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板“内芯”的高度，且，观测者的眼睛（图中用点表示）与，在同一水平线上，若，，则、两点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，即可解答，能够得到是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 9. 下表列出二次函数的自变量与函数值的若干组对应值： 那么方程的一个近似根（精确到）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的对称性求方程的近似根，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，又由表可知方程的一个近似根是，根据对称轴解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， 由表可知，方程的一个近似根是， ∴另一个根满足， ∴， 故选：． 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，，落在第二象限，反比例函数（）的图象经过点，过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，若的面积为12，，则的值是（ ） A. B. C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，过点作轴于点，过点作于点，延长交轴于点H，由设，分别证明，得出，，由的面积为12可求出，可求出，根据在反比例函数图象上列方程求出的值即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，延长交轴于点H，如图， ∵轴， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，且点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是可以直接写出答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称的点的坐标变化规律． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 13. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，即得出其相关一元二次方程的解为，． 【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 14. 一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为_______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，勾股定理，利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可．注意知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形求解． 【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底， 如图，将俯视图画出，连接，过点作，由题意可得， 因为正六边形每个内角为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 则胶带的长至少． 故答案为：． 15. 如图，等腰中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的面积最大值时，的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的应用，过点作的垂线段，交于点，设，则，根据面积公式表示出的面积，根据二次函数的性质，可得当的面积最大值时的值，即可解答，正确利用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：为等腰直角三角形， 根据旋转的性质可得， ，， ， 设，则， 的面积为， 当时，即时，的面积最大， 如图，过点作的垂线段，交于点， 此时， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算方法和计算法则是解答本题的关键． （1）原式根据负整数指数幂运算法则，特殊角三角函数值，算术平方根和绝对值的代数意义化简各项后再进行加减运算即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或 ∴， 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； （2）写出线段旋转到的旋转中心的坐标； （3）若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析，， （2）旋转中心的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）依据，，即可得到平面直角坐标系，并写出C，D的坐标． （2）旋转中心有两种可能，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． （3）旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积，分别求出各面积即可 本题考查了坐标与图形变化中的旋转，关键是结合网格画图图形，求出线段长． 【小问1详解】 画出坐标系如图，， 【小问2详解】 当点A和C，点B和D为对应点时， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为线段与线段的旋转中心， 点P的坐标为； 点A和D，B和C为对应点， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点Q， 则点Q即为线段与线段的旋转中心， 点Q的坐标为． 综上所述，旋转中心的坐标为或． 【小问3详解】 如图，旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积 ∵， ∴线段扫过的面积 ∵，， ∴， ∴线段扫过的面积 18. 如图所示，小明想测量山坡上一棵大树的高度（与地面垂直），首先在水平地面上点处测得大树底端的仰角为，大树顶端的仰角为，然后再测得山坡的坡度，最后测得坡底到大树底端的距离为34米．（注：图中各点都在一个平面内，参考数据：，，，，，） （1）求，之间的距离； （2）求大树的高度． 【答案】（1） （2）大树的高度为32米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用，作辅助线构造直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，根据题意，根据坡度求得，再解直角三角形求得，即可解答； （2）解直角三角形求得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，根据题意 ， 根据，可设， ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， ∴ 答：大树的高度为32米 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作，垂足为，取的中点连接，，根据中位线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设的解析式为， 将，代入得， ∴， 解得， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接， 设， ∵，， ∴，， ， ∴点的纵坐标为 将代入， 可得， 解得， ∴点的横坐标为， ∵点，在反比例函数（）的图象上， ∴， 解得，（舍）， ∴． 20. 某超市购进水果，进价为每千克8元，在销售过程中发现，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）的关系为（其中，且为整数）． （1）若该超市销售水果每天获利160元，则每千克水果售价为多少元？ （2）设该超市销售水果每天获利（元），当水果每千克售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每千克水果售价为12元时，该超市销售水果每天获利160元 （2）当水果每千克售价为13元时，每天的销售利润最大，最大利润是175元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意，列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=每千克绿豆的利润×销售量，列方程求解即可； （2）根据每天获利为每千克绿豆的利润×销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的最值求法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意列方程得， 整理得， 解得：，， ∵（不合题意舍去）， 答：每千克A水果售价为12元时，该超市销售A水果每天获利160元． 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，（元）， 答：当A水果每千克售价为13元时，每天的销售利润最大，最大利润是175元． 21. 如图，为的直径，以点为圆心，长为半径画弧交于，两点，连接交于点，点为上一点，连接，，点为延长线上一点，连接，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，，，证明四边形为菱形，得，由四边形为的内接四边形得，，进一步可证明与相切； （2）连接，证明为等边三角形，可得，得，在中可求出；证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，，， 根据题意 ∴四边形为菱形 ∴， ∴ ∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵为直径， ∴与相切 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记切线的判定与性质，解直角三角形，勾股定理是解题的关键． 22. 如图1，在中，，，，，分别为，中点，连接．如图2，将绕点旋转，直线与直线相交于点． （1）如图1，的度数是 ；的长度是 ； （2）将绕点旋转至如图2所示位置，求的度数； （3）在绕点旋转过程中，当时，求线段的长度． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再由30度角所对应的直角边是斜边的一半得到，再由勾股定理即可解答． （2）设与交于点，根据证得到，再根据三角形外角和定理得到即可解答 （3）连接，分情况讨论，先证，四边形平行四边形，为矩形得到，，再根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 ∵，分别为，中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ，分别为，中点， ∵，， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 综上所述或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形外角和定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 【概念感知】 如果线段与函数图象只有一个公共点，我们称线段与这个函数图象一点相交． 【概念理解】 （1）我们知道正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当限定自变量的取值范围为时，即可得到一条线段，如果这条线段与函数的图象一点相交，则的取值范围是 ； 【概念应用】 （2）如图1，抛物线（为常数且）顶点为，交轴于点，其对称轴与双曲线交于点． ①连接，，当时，求抛物线的解析式； ②连接，当线段与抛物线一点相交时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①或；②或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数综合，熟练利用分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据的正负，证明三角形全等即可解答； （3）分类讨论，即当时，当时且点在点的下方时，当时且点在点的上方时，逐一解答即可． 【详解】（1）解：当限定自变量的取值范围为时， 则， 如果这条线段与函数的图象一点相交， 则反比例函数与直线的最右交点为，代入反比例函数可得， 反比例函数与直线的最左交点为，代入反比例函数可得， （2）①解：∵， ∴抛物线的顶点， 将，代入得， ∴， ∴，， 如图，过点作垂足为，交轴于点， 则四边形为矩形，当时，与不平行 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为 如图，当时，过点作轴，垂足为，交轴于点， 则四边形为矩形，同理可得， ， ， ∴解得 ∴抛物线的解析式为 综上所述，抛物线的解析式为或 ②解：如图，当时，若线段与抛物线一点相交，则点与点重合或点在点下方， ∴， ∴或， ∵， ∴ 如图，当，且点在点的下方时，若线段与抛物线一点相交，则点与点重合或点在点下方， ∴， ∴或， ∵， ∴， 如图，当，且点在点的上方时，则线段与抛物线一点相交，此时解得， ∵， ∴， 综上所述，当或或时，线段与抛物线一点相交． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$