八下期中真题百题大通关（基础版）（范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

八下期中真题百题大通关（基础版） （范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题 1．（22-23八年级下·天津·期中）已知为整数，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）计算的结果是（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北·期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东潮州·期中）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）的倒数为（   ） A． B．2 C． D． 8．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．7 9．（24-25八年级下·全国·期中）一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，点P到原点的距离等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 12．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 16．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 20．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 21．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知的三边分别为，且，则的面积为（   ） A．9 B． C． D．无法计算 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·天津西青·期中）平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·全国·期中）下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）    A． B． C． D． 26．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（   ） A．5 B．13 C． D．15 28．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 30．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是 ． 31．（24-25八年级下·全国·期中）当x 时，二次根式有意义． 32．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 33．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 34．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 35．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 36．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 37．（23-24八年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 39．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 40．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 41．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 42．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 43．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 44．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 45．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 46．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 47．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 48．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 49．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 50．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 51．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是 ．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 52．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 53．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 54．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为 ． 55．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，则 ．    56．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则菱形的边长为 ． 57．（22-23八年级下·广东广州·期中）菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 58．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    59．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 60．（23-24八年级下·河北张家口·期中）已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              61．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ． 62．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 63．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 64．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 三、解答题 65．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 66．（22-23八年级下·吉林·期中）计算：． 67．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：． 68．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 69．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 70．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 71．（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知，，求的值． 72．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 73．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 74．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 75．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 76．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 77．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 78．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 79．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 80．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 81．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 82．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 83．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 84．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 85．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 86．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 87．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 88．（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 89．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 90．（24-25八年级下·全国·期中）已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 91．（22-23八年级下·湖南怀化·期中）如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：.    92．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 93．（22-23八年级下·北京房山·期中）6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积 94．（23-24八年级下·广西河池·期中）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，是的中点． 求证：． 95．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 96．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 97．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 98．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 99．（22-23八年级下·甘肃定西·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 100．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期中真题百题大通关（基础版） （范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题 1．（22-23八年级下·天津·期中）已知为整数，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】根据开平方的运算即可求解． 【详解】解：∵为整数， ∴是某个数的平方， ∴当时，， ∴正整数的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键． 2．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）计算的结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 本题主要考查了二次根式乘法， ，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：A． 4．（23-24八年级下·河北·期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴墨迹覆盖了的运算符号是：． 故选：D． 5．（23-24八年级下·广东潮州·期中）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式除法的运算法则计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 6．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）被开方数不能含有分母；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、，不是最简二次根式，错误； C、，不是最简二次根式，错误； D、，不是最简二次根式，错误； 故选A． 7．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）的倒数为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】分母有理化、倒数 【分析】此题考查了倒数，实数等知识，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．两个数的积为1，则两个数互为倒数，根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 8．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级下·全国·期中）一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长为12和5， ∴该三角形的斜边长为， 故选：C． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，点P到原点的距离等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了利用勾股定理求点到原点的距离，利用勾股定理解题是关键．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶在平面直角坐标系中，点P到原点的距离， 故选：C． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的计算是解题的关键． 勾股数是指能够构成直角三角形三边的一组正整数，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此即可求解． 【详解】解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意； B、，故该选项是勾股数，不符合题意； C、，故该选项是勾股数，不符合题意； D、，故该选项不是勾股数，符合题意； 故选：D ． 12．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 15．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、图形类规律探索 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 16．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 圆柱的展开图、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题考查的是平面展开图（最短路径问题），解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解． 此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示：    在侧面展开图中，的长等于底面圆周长的一半，即， ，， 根据勾股定理得：， 要爬行的最短路程是． 故选：C． 17．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理结合题意，列出方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 结合勾股定理可得出：， 解得：． ∴折断处离地面的高度为4.55尺． 故选：A． 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 20．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 21．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知的三边分别为，且，则的面积为（   ） A．9 B． C． D．无法计算 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性， 根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵， ∴是直角三角形， ∴． 故选：B． 22．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 23．（23-24八年级下·天津西青·期中）平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 24．（23-24八年级下·全国·期中）下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解． 【详解】解：， ，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 25．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】解：、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； 、，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 26．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可知，则可求得，则可求得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴ ， ， ， ， 故选：A． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（   ） A．5 B．13 C． D．15 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴， 故选：C． 28．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由菱形的性质得到 点O为的中点，则可得到，再根据直角三角形的性质得到，则可得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴ 点O为的中点， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 29．（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题 30．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 31．（24-25八年级下·全国·期中）当x 时，二次根式有意义． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案是： 32．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 先化简，再去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 、∴ 故答案为：． 33．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 35．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式中的参数、已知最简二次根式求参数 【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案． 【详解】解： 的最小正整数值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键． 36．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 37．（23-24八年级下·广东中山·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同时乘，计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【答案】4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 40．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 41．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 42．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形综合、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 43．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 44．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 【答案】12 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 45．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】由题意知，，， 在中，由勾股定理得， ， 即地面钢缆到电线杆底部的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 47．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 48．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 49．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【答案】8 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 50．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．分两种情况画出展开图，根据勾股定理求出的长度，即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ∴， 当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． 当从下面和后面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． ∵， ∴从点A爬到点的最短爬行路程是10． 故答案为：10． 51．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是 ．（只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段）． 【答案】 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 52．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 53．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 由是的中点，是的中点可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 54．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解、图形类规律探索 【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，因为矩形的对边和平行四边形的对边互相平行，且矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底×高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去． 【详解】解：∵，， ∴夹在DC和，和之间的距离相等， ∴第一个平行四边形的面积是矩形面积的一半即， 依此类推第二个平行四边形是第一个平行四边形面积的一半即， …，依此类推，第个平行四边形的面积为 则平行四边形的面积为 故答案为: ． 55．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，则 ．    【答案】/40度 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合平行线的性质可求得答案 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 56．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则菱形的边长为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．过A作轴于点E，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过A作轴于点E， ∵点A的坐标是， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5， 故答案为：5． 57．（22-23八年级下·广东广州·期中）菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 【答案】36 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的面积公式，根据菱形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记菱形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是和， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：36． 58．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【答案】 【知识点】正方形性质理解 【分析】根据正方形的性质可知点关于轴对称，所在直线为的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点的坐标． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴点关于轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵点关于轴对称， ∴点纵坐标为1，点纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键． 59．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【答案】/度 【知识点】利用菱形的性质求角度、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 60．（23-24八年级下·河北张家口·期中）已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、化为最简二次根式、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握正方形的性质，求出为定值．根据正方形的边长一定，得出的长度一定，从而得出当轴时，点到轴的距离最大，为的长度，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形，且边长为4， ∴， ∴的长度为定值， ∴当轴时，点到轴的距离最大，且最大距离为的值， 即点P到y轴的距离的最大值为， 故答案为：． 61．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ． 【答案】18 【知识点】根据正方形的性质求面积、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先根据正方形的性质得，，，可得是等腰直角三角形，再设，根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理得，进而得出，即可求出答案． 【详解】如图所示，是正方形的对角线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 设，根据勾股定理， 得， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ． 故答案为：18． 62．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为 ． 【答案】/117度 【知识点】根据正方形的性质求角度、正方形折叠问题 【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， 将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键． 63．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键． 由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ， ， ， ， ， 则小正方形的边长为2， ∴， 故答案为：． 64．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 三、解答题 65．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，求解算术平方根，先计算二次根式的乘法运算，求解算术平方根，再合并即可． 【详解】解： =； 66．（22-23八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． 67．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查的知识点是化为最简二次根式、二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减运算． 先都化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ． 68．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 69．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)7 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）首先利用平方差公式分母有理化得到，然后移项利用完全平方公式求解即可； （2）首先利用平方差公式分母有理化得到，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 70．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：猜想：， 验证： ， 故答案为：； （3）解： ． 71．（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知，，求的值． 【答案】． 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查因式分解——运用平方差公式，求代数式的值，利用平方差公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 72．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 73．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 74．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【答案】(1)米 (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：， 广场的周长为米； （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， 这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 75．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 76．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 77．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、勾股定理的证明方法 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明：， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 78．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 79．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 【答案】（1）见解析（2）13 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式； （1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴； （2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积. 80．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法： （1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可； （2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ； （3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 81．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 82．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到厘米） 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用；设每只油桶底面的直径为，，得到，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图，设每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 83．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 84．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 85．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 【答案】此车没有超速，详见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质， 过点C作于点H．求出，得到，勾股定理求出，然后得到，，然后求出小车平均速度，然后比较求解即可． 【详解】解：过点C作于点H． ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴小车平均速度 而 ∴此车没有超速． 86．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 87．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 88．（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 89．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 【答案】3 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 90．（24-25八年级下·全国·期中）已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】，，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质． 由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：猜想，， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 91．（22-23八年级下·湖南怀化·期中）如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：.    【答案】见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、平行四边形性质和判定的应用 【分析】可先证得四边形为平行四边形，得到，再证明，得到． 【详解】∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，解题的关键在于采用等量代换的方法处理问题． 92．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等边对等角证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 93．（22-23八年级下·北京房山·期中）6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】利用矩形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，可得； （2）由勾股定理而且的长，可求矩形的面积，即可求解． 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：，， ， ， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ， 四边形， 四边形的面积．． 94．（23-24八年级下·广西河池·期中）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，是的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查命题的证明，矩形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是矩形，进而得到，推出，即可． 【详解】证明：延长到，使，连接， ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 95．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 96．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【知识点】矩形性质理解、证明四边形是菱形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 97．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2） 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由菱形性质得出，，再证明，结合边的等量代换，即可作答． （2）由全等三角形的性质得出以及等边对等角，得出，结合菱形性质，则，即可证明是等边三角形，则． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 98．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 【答案】(1)矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解 (2)当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是正方形、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形； （2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ． 本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ． 【详解】（1）解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下： ，点为的中点， ， 和为全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 四边形为矩形； （2）解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下： 点为的中点， 为等腰三角形的顶角的平分线， ， 矩形变为正方形 ． 99．（22-23八年级下·甘肃定西·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【知识点】中点四边形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； （2）先根据中位线性质证明，，得出四边形为平行四边形，再根据，得出，证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：连接、，如图所示：    ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）证明：如图，连接、， E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，， ，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 100．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$