精品解析：江苏省扬州市高邮市城北中学2024-2025学年九年级下学期第一次课堂练习数学试题

九年级数学第一次阶段练习 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 4. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　） A. 10π B. 15π C. 20π D. 30π 5. 如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 8. 记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为___________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 11. 分解因式：_____． 12. 用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为_______°. 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 15. 如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数，的图像上．若，则A的坐标为______． 16. 当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为__． 17. 如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （1）计算：； （2）解不等式组： 19. 已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值． 20. 4月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计． 根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 8本 人数 人 人 人 m 人 （1）本次调查中，抽取的样本容量是______，______； （2）扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角为______； （3）已知该校有名学生，请你根据本次调查估计该校学生在五月份这次主题读书活动中读书总量约为多少本？ 21 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术. （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ． （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率. 22. 如图，四边形中，，过点作交于点，点为边上一点且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）若，，，求的长． 23. 房山区某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班乘坐的甲车出发10分钟后，乙班乘坐的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度． 24. 如图，在中，，D为斜边上的中点，连接，以为直径作，分别与交于M、N．过点N作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求长． 25. 【问题提出】如图1，矩形中，如何用圆规和无刻度的直尺在边上作点，使？ 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作等边三角形； 【问题解决】请你在图1中用圆规和无刻度的直尺作出符合条件的点； 【深度思考】若，，若图1中符合要求的点一定存在，求的取值范围． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 26. （2016山东省济南市）如图1，▱OABC边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（1，4）． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）如图2，过BC中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP． ①求△AOP的面积； ②在▱OABC边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学第一次阶段练习 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -4的相反数是（ ） A B. C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解． 【详解】-4的相反数是4， 故选：C． 【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】A. 与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】A. 环保部门调查长江的水质情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； C. 调查我市中学生使用手机的时长，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常，这个调查很重要不可漏掉任何零件，适合普查，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 4. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　） A. 10π B. 15π C. 20π D. 30π 【答案】B 【解析】 【详解】、解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π， ∴圆锥的侧面积=lr=×6π×5=15π， 故选B 5. 如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，根据五边形是正五边形，可求出的度数，由，可得的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可． 【详解】如图，连接，，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长． 【详解】解： AD=，AB=2，CD=3， ∵AB∥DC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴设AO=2x，则OD=3x， ∵AO+OD=AD， ∴2x+3x=5． 解得：x=1， ∴AO=2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下： 由图可知： 抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大， 当时，x的取值范围是或， 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和； 综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 8. 记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值． 【详解】画出函数和的图象，如图： 由图可知：当时，函数有最大值，最大值为3， 所以的最大值为3， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 故：1650000=1.65×106. 10. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=÷2π=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键． 13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为_______°. 【答案】35 【解析】 【详解】解：如图： ∵∠3=180°-∠1=180°-55°=125°， ∵直尺两边互相平行， ∴∠2+90°=∠3， ∴∠2=125°-90°=35°． 故答案为35． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案． 【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为： ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程． 15. 如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数，的图像上．若，则A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设DE=n，则，，即可得出，然后根据菱形的性质及含30°直角三角形的性质可求出n的值，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： 设DE=n，由四边形ABCD是菱形可知：， ∴点A、D的纵坐标为n， ∵顶点A，D分别在函数，的图像上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 16. 当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据当和时，二次函数的函数值相等，得出以m、n为横坐标的点关于直线对称，得出，求出，然后将，代入函数解析式，得出即可． 【详解】解：∵当和时，二次函数的函数值相等， ∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则 ， ∴， ∵， ∴，函数． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称． 17. 如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意判断：过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，如图1，连接，则当O、C、E三点共线时，最大，作辅助线如图2，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求出圆的半径和即可． 【详解】解：由于，，所以过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，故本题也可看作是固定不动，当定角在圆上运动时，求的最大值，如图1，连接， 则当O、C、E三点共线时，最大，如图2，连接，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，∵，， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点G，则， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆的最值问题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形的知识等内容，弄清题意、作出辅助圆是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）9；（2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，进而求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值． 【答案】24． 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据，可以求得x、y的值，从而可以解答本题． 【详解】． 由，得：，∴当x=－1，y=2时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 20. 4月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计． 根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 8本 人数 人 人 人 m 人 （1）本次调查中，抽取的样本容量是______，______； （2）扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角为______； （3）已知该校有名学生，请你根据本次调查估计该校学生在五月份这次主题读书活动中读书总量约为多少本？ 【答案】（1）100；20 （2） （3）7000 【解析】 【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；用总人数分别减去其它读书量人数即可得出m的值； （2）用乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数； （3）2000乘以样本中“读书量”的平均数即可． 【小问1详解】 解：本次调查中，抽取的样本容量是：（人）； ； 【小问2详解】 扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角为：； 【小问3详解】 （本）， 答：估计该校学生在五月份这次主题读书活动中读书总量约为7000本． 【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术. （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ． （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数，再利用概率公式计算可得． 【详解】（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果，∴他选择“享受美食”的概率是． 故答案为． （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数为7，∴他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，四边形中，，过点作交于点，点为边上一点且，连接． （1）求证：四边形为矩形： （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定； （2）由矩形的性质得到，，利用勾股定理得到，易证，即得出，代入数据，即可求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键． 23. 房山区某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班乘坐的甲车出发10分钟后，乙班乘坐的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度． 【答案】乙车的平均速度为72km/h. 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是分式方程的实际应用，先根据题目要求设未知量，再根据数量关系列出方程，解方程得到结果 【详解】解：设甲车速度为xkm/h，则乙车速度为1.2xkm/h. 根据题意，列方程得 解得 x=60 经检验： x=60是原方程的解，且符合实际意义 ∴1.2x=72 答：乙车的平均速度为72km/h. 【点睛】此题重点考查学生对分式方程的实际应用，把握分式方程算出结果要检验是本题解题的关键 24. 如图，在中，，D为斜边上的中点，连接，以为直径作，分别与交于M、N．过点N作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．欲证明为的切线，只要证明即可； （2）根据可得．进而求出，连接，证明四边形是矩形即可解决问题． 小问1详解】 证明：如图，连接． ∵在中，，D为斜边上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为的切线； 小问2详解】 解：由（1）得到：， ∴． ∵， ∴． 连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 25. 【问题提出】如图1，矩形中，如何用圆规和无刻度的直尺在边上作点，使？ 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作等边三角形； 【问题解决】请你在图1中用圆规和无刻度的直尺作出符合条件的点； 【深度思考】若，，若图1中符合要求的点一定存在，求的取值范围． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【答案】[问题联想]见解析；[问题解决]见解析；[问题解决] 【解析】 【分析】[问题联想]分别以为圆心，长为半径在的同侧作弧，两弧交于点，连接，则三角形即为所求； [问题解决]同[问题联想]以为边向上作等边，作的外接圆，与的交点为点，点即为所求； [问题解决]以与相切于点和经过点、时为临界值，利用勾股定理及含30°的直角三角形的性质求出的值即可求解． 【详解】[问题联想]如图所示，分别以为圆心，的长为半径在的同侧作弧，两弧交于点，连接，则三角形即为所求； [问题解决]解：如图所示，同[问题联想]以为边向上作等边，作的外接圆，与的交点为点，点即为所求； [深度思考]解：如图所示， 当与相切于点时，， ∵，则 在中，，， ∴，即， 当经过点、时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴ ∵图1中符合要求的点一定存在， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，含30°的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 26. （2016山东省济南市）如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（1，4）． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP． ①求△AOP的面积； ②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（x＞0），B（6，4）；（2）①3；②M（2，0）或（，）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论； ②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，通过解直角三角形和勾股定理求出点M1、M2的坐标，此题得解． 试题解析：解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m=1×4=4，∴反比例函数的关系式为（x＞0）． ∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）． （2）①延长DP交OA于点E，如图3所示． ∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）． 令中y=2，则x=2，∴点P（2，2），∴PD=﹣2=，EP=ED﹣PD=，∴S△AOP=EP•（yA﹣yO）=××（4﹣0）=3． ②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示． ∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）； ∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y=4x． 设点M2（n，4n），∵=3，OA=，PM2= ==，即，解得：n=，∴点M2（，）． 故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（，）． 27. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围． 【答案】（1）② （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值； ②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求出m的值，即可求出a的值． 【小问1详解】 对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：② 【小问2详解】 ①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，，． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用,新定义问题,解题的关键是理解题意,学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题,属于中考压轴题． 第1页/共1页 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