精品解析：陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

永寿县中学2024-2025学年度第二学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 3. 已知函数在处可导，若，则＝（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8 4. 下列结论中正确的是（　 ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值 B. 函数有且只有个零点 C. 在上单调递减 D. 设，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，，则数列的通项公式为____________． 13. 函数，则在上的最大值为___________. 14. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记是等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数的极值. 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值， （2）若，求函数在上的最大值和最小值． 18. 已知：函数. （1）若，求的单调性； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围. 19. 1.已知函数. （1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿县中学2024-2025学年度第二学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 3. 已知函数在处可导，若，则＝（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解． 【详解】. 故选：B 4. 下列结论中正确的是（　 ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】运用求导法则求函数的导数． 【详解】A：是常数，所以，不正确； B：，正确； C：，不正确； D：，不正确. 故选：B 5. 若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值． 【详解】因为，切点为(0,)， 所以切线的斜率为，则切线方程为，即， 又切线方程为，即， 所以，. 故选：D 6. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解. 【详解】，， 故选：B. 7. 已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，，所以，，故， 因此，. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）． ∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． 由lnx，可得，即 又 ∴g（x）＞0=g（e）， ∴x＞e． 即不等式lnx的解集为{x|x＞e}． 故选C． 【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案. 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由递推关系式代入运算求解判断；对B，由可得，根据等比数列的定义判断；对C，求出，进而求得的通项，利用等差数列的定义判断；对D，利用反证法求解判断. 【详解】对于A，由，，则，解得， ，则，故A正确； 对于B，由，则，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项，可得，即， ， ， 则，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对于D，假设存在且，使得成等差数列， 则，即，即， ，，，则， 故上式不成立，假设错误，故D错误. 故选：ABC. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值 B. 函数有且只有个零点 C. 在上单调递减 D. 设，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A错误；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确. 【详解】函数的定义域为，可知C错误， 对A，， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，故A错误； 对B，，其定义域为， ， 所以函数在上单调递减，又时其函数值为， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对D，，其定义域为， ，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，若，，则数列的通项公式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列基本量间的关系和性质，求得公差即可． 【详解】设的公差为，由，得， 所以， 所以，即． 故答案为： 13. 函数，则在上的最大值为___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由导函数，由导函数确定极值点，结合区间端点处函数值可得最大值． 【详解】由题意，得，， 时，，递减，时，，递增， 所以，又16，， 所以最大值为16． 故答案为：16． 14. 若函数的导函数为，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由求导计算公式求出，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，令，得， 解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记是等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量的计算可确定和，写出通项公式. （2）结合等差数列的求和公式，解不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由可得. 由. 所以. 【小问2详解】 因为. 由. 所以或（舍去）. 所以的最小值为：4 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）1 （2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【小问1详解】 由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； 【小问2详解】 由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值， （2）若，求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，可得函数的极值； （2）分析函数的单调性，可求得函数的最大、最小值. 【小问1详解】 当时，，（）， 所以，（）. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且； 函数无极大值. 【小问2详解】 当时，（）， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增. 所以函数的最小值为，最大值为. 18. 已知：函数. （1）若，求的单调性； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， ，，. 将代入得，令得或. 3 0 0 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法1：在上是增函数， 在上恒成立， ， 当时，是增函数，其最小值为， .实数的取值范围是. 方法2：在上是增函数， 在上恒成立， ，. 实数的取值范围是. 19. 1.已知函数. （1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而转化为导数恒大于等于0，然后求出a的范围； （2）根据题意，-1和1应该是导函数的零点，进而解出答案； （3）由题意，导函数在区间上恒小于等于0，进而解得答案. 【小问1详解】 易知. 因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立， 故. 经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由（1），得. 因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为， 所以-1和1是方程的两个实根，所以. 【小问3详解】 由（1），得. 因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又函数在上的值域为，所以. 故实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $