专题01 平面直角坐标系【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 平面直角坐标系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）有序数对 （1）有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。 【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。 （2）①平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 ②两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。 ③平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。 ④象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。 （3）点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。 （二）点的坐标特征 （1）各象限点的坐标特征 象限 横坐标 纵坐标 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限 正 负 （2）坐标轴上的点坐标特征 ①轴上的点，纵坐标等于0；（x，0） ②轴上的点，横坐标等于0；（0，y） ③原点位置的点，横、纵坐标都为0.（0,0） （3）象限角平分线上的点坐标特征 ①若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等； ②若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数； y P O X X y P O 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 （4）与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 学科网（北京）股份有限公司 ①在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； Y A B 点A、B的纵坐标都等于； B X ②在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；Y X C 点C、D的横坐标都等于； D （5）点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 ①点P到轴的距离为； ②点P到轴的距离为； （6） 平面直角坐标系点的移动 模块三 考点一遍过 考点1：判断点所在的象限 典例1：在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若点在第四象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】  在平面直角坐标系中，点所在的象限是 ． 【变式3】若点在轴上，则点在第 象限． 考点2：坐标轴上的点坐标特征 典例2：若点在y轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】  在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则 ． 【变式3】若点在y轴上，则 ． 考点3：点到坐标轴的距离 典例3：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（   ） A．2 B．或6 C． D．2或 【变式2】  若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是 ． 【变式3】点到轴的距离是 ；点到原点的距离是 ． 考点4：平行于坐标轴的点坐标特征 典例4：在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为7，则点的坐标为 ． 考点5：坐标确定位置 典例5：如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】  太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．某旅行团在该地旅游时，导游将古县城内及附近的三个景点放在适当的平面直角坐标系中（如图），若关帝庙和太山寺两个景点的坐标分别为，，则棂星门的坐标为 ． 【变式3】如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 考点6：点在坐标系中的平移 典例6：将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，经过平移得到，已知在上的一点平移后的对应点为点，若点与点关于点中心对称，则点的坐标为（   ） A． B． C．) D． 【变式2】  如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 考点7：图形在坐标系中的平移 典例7：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，为格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到，画出； (2)写出一种平移方法，使得完全落在第四象限； (3)求出的面积． 【变式1】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【变式2】  如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为 ，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②求出三角形的面积． 【变式3】如图，四边形的四个顶点的坐标分别为 ．将四边形平移后得到四边形，点的对应点的坐标为． (1)在图中画出四边形（点的对应点分别为）； (2)四边形是四边形向右平移______个单位长度，向上平移______个单位长度得到的． 考点8：图形在格点中的平移变换 典例8：如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．    (1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点； (2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形． ①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）； ②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形． 【变式1】如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 【变式2】  如图，，的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上． (1)将向右平移4个单位得到，请画出． (2)试描述经过怎样的平移可得到． 【变式3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A、B、C都在格点上．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)请在图中画出平移后的； (2)四边形ABED的面积为多少？； (3)在网格中画出一个格点P，使得（画出一个即可）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）有序数对 （1）有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。 【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。 （2）①平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 ②两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。 ③平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。 ④象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。 （3）点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。 （二）点的坐标特征 （1）各象限点的坐标特征 象限 横坐标 纵坐标 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限 正 负 （2）坐标轴上的点坐标特征 ①轴上的点，纵坐标等于0；（x，0） ②轴上的点，横坐标等于0；（0，y） ③原点位置的点，横、纵坐标都为0.（0,0） （3）象限角平分线上的点坐标特征 ①若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等； ②若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数； y P O X X y P O 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 （4）与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 学科网（北京）股份有限公司 ①在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； Y A B 点A、B的纵坐标都等于； B X ②在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；Y X C 点C、D的横坐标都等于； D （5）点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 ①点P到轴的距离为； ②点P到轴的距离为； （6） 平面直角坐标系点的移动 模块三 考点一遍过 考点1：判断点所在的象限 典例1：在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，则，解出，再代入中，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上 ∴ ∴ ∴ ∴点A的坐标为． 故选：C． 【变式1】若点在第四象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第四象限坐标的符号特征，确定a，b得符号，再计算确定，解答即可． 本题考查了点与象限的关系，熟练掌握坐标符号特征与象限的关系是解题的关键． 【详解】解：根据点在第四象限，得， ∴， ∴的符号特征是， 故位于第四象限， 故选：D． 【变式2】  在平面直角坐标系中，点所在的象限是 ． 【答案】第二象限 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点在第二象限， 故答案为：第二象限． 【变式3】若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，解一元一次方程，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0得到，求出，从而求出点B的坐标，进而判断出点B所在的象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴，， ∴点B的坐标为，它在第二象限． 故答案为：二 考点2：坐标轴上的点坐标特征 典例2：若点在y轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的坐标特征得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴ ∴，在第四象限， 故选：D． 【变式1】下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上的点的坐标特点选择即可，熟记坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴这个点的横坐标为零，纵坐标为负的， ∴符合题意， 故选：B． 【变式2】  在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了轴上的点的特点，掌握轴上的点的特点是解题的关键． 根据轴上的点的特点：横坐标求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ， ， 故答案为：． 【变式3】若点在y轴上，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特征．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 考点3：点到坐标轴的距离 典例3：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离，根据题意得到，，即可解题． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点到轴的距离为8，到轴的距离为2， ，， 点的坐标是， 故选：D． 【变式1】点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（   ） A．2 B．或6 C． D．2或 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是明确到两坐标轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等， 则或， 解得，或， 故选：D． 【变式2】  若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得点P横纵坐标的绝对值，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负即可得到答案． 【详解】解：∵点P到轴的距离是3，到轴的距离是4， ∴点P的横坐标的绝对值为4，纵坐标的绝对值为3， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P的横坐标为4，纵坐标为， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【变式3】点到轴的距离是 ；点到原点的距离是 ． 【答案】 3 13 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理：根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，再利用勾股定理列式求出到原点的距离． 【详解】解：点到轴的距离是， 到原点的距离是， 故答案为3；13． 考点4：平行于坐标轴的点坐标特征 典例4：在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，轴，若，则点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故选：A． 【变式2】  平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查直角坐标系的知识，设出B点的坐标，根据轴，可确定B点横坐标，根据可确定B点的纵坐标． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】在平面直角坐标系中，若点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为7，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，由点与点在同一条平行于轴的直线上，得到，根据点到轴的距离为7，得到或，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 考点5：坐标确定位置 典例5：如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据黑棋①和黑棋②的坐标建立坐标系，再根据白棋③的位置其坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是． 故选：A． 【变式1】如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查的是用坐标确定位置的方法，先确定点的坐标，再按照箭头所指的方向确定点的坐标即可 【详解】解：根据题意知， 所以，该棋子沿着箭头所指的方向运动路径用坐标表示正确的是， 故选：A 【变式2】  太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．某旅行团在该地旅游时，导游将古县城内及附近的三个景点放在适当的平面直角坐标系中（如图），若关帝庙和太山寺两个景点的坐标分别为，，则棂星门的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了用坐标表示点的位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据题意建立平面直角坐标系，再结合图形得出棂星门的坐标，即可解题． 【详解】解：太山寺的坐标为， 太山寺往下三格的水平线为轴，太山寺往左三格的竖线为轴， 如下图所示： 由图知，棂星门的坐标为， 故答案为：． 【变式3】如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 【答案】 【知识点】数字类规律探索、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 【详解】（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 考点6：点在坐标系中的平移 典例6：将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B． 【变式1】如图，经过平移得到，已知在上的一点平移后的对应点为点，若点与点关于点中心对称，则点的坐标为（   ） A． B． C．) D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题是一道关于图形平移的题目，需结合图形平移时点坐标的变化规律求解； 由所学知识，横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减； 首先结合平面直角坐标系，得对应点、的坐标，由此得出平移规律； 然后再根据得到的平移规律，结合点坐标即可求得的坐标，再根据点与点关于点中心对称得到点的坐标． 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位后得到， 上一点平移后对应点的坐标为，即， 再根据点与点关于点中心对称， 得到点的坐标为， 故选B． 【变式2】  如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键． 根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点与点重合， ∴平移方式为向左平移两个单位， ∴点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 考点7：图形在坐标系中的平移 典例7：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，为格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到，画出； (2)写出一种平移方法，使得完全落在第四象限； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位（答案不唯一） (3) 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了平移作图、三角形的面积计算，理解网格特点，熟练掌握平移性质，正确作出图形是解答的关键． （1）利用平移性质得到点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质，得出使得完全落在第四象限的平移方式即可； （3）利用网格特点，的面积等于矩形面积减去其周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形； （2）解：将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位后得到后，如图所示，则在第四象限， 故为了使得完全落在第四象限，可以将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位； （3）解：的面积为： ． 【变式1】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)画出； (2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)3，1 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答； （2）找到点A，B，C的对应点，即可解答； （3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n． 【详解】（1）解： 如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴； （3）解：∵为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点， ∴， ∴． 故答案为：3，1． 【变式2】  如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为 ，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为． (1)点的坐标为 ；点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②求出三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析②8.5 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查坐标与平移： （1）根据题意，确定点的平移规则，进而求出点，的坐标即可； （2）①根据平移规则，画出图形即可；②分割法求出三角你的面积即可． 【详解】（1）解：∵，经平移后对应点为 ， ∴平移规则为：先向左平移6个单位，再向上平移2个单位， ∵， ∴，即：； 故答案为： （2）①如图，三角形为所作； ②的面积． 【变式3】如图，四边形的四个顶点的坐标分别为 ．将四边形平移后得到四边形，点的对应点的坐标为． (1)在图中画出四边形（点的对应点分别为）； (2)四边形是四边形向右平移______个单位长度，向上平移______个单位长度得到的． 【答案】(1)见解析 (2)7；6 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了画图形的平移，根据对应点的坐标确定平移；确定平移是关键． （1）由点C的坐标与对应点的坐标，可确定平移，从而确定点A、B、D的对应点的坐标，依次连接即可； （2）由（1）确定的平移即可完成． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，点的对应点的坐标为， ∴平移为向右平移7个单位长度，向上平移6个单位长度， ∴； 四边形平移后的图形如下； （2）解：由（1）知，平移为向右平移7个单位长度，向上平移6个单位长度； 故答案为：7；6． 考点8：图形在格点中的平移变换 典例8：如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．    (1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点； (2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形． ①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）； ②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形． 【答案】(1)， (2)①作图见详解；②， 【知识点】图形的平移、平移(作图)、平移综合题(几何变换)、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据材料提示的“平移量”的方法“左移为负，右移为正，上移为正，下移为负”，结合图形与坐标，由此即可求解； （2）①将图形按平移量平移即可求解；②结合图示分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点向右移动个单位，向上平移个单位可平移到点， ∴平移量为， 故答案为：，． （2）解：①三角形依次按“平移量”平移得到三角形，即先向右移动个单位，向下平移个单位，再向左移动个单位，向上平移个单位得到三角形，如图所示，    ②根据网格中三角形与三角形的位置可得，将三角形向右移动个单位，向下平移个单位得到三角形， ∴平移量为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查图形平移的规律，理解图示，掌握平移的规律，平移作图的方法是解题的关键． 【变式1】如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4) 【知识点】点到直线的距离、平移(作图)、平移综合题(几何变换) 【分析】（1）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （2）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据，即可求解． 【详解】（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线， 如图所示，过点作延长线，交于点， ∴垂线段是点到直线的最短路径． （2）解：如图所示，， ∴是所求直线． （3）解：如图所示， ∴即为所求图形． （4）解：，理由如下， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换，平行线，垂直的综合，掌握平移的规律，平行线的作法和性质，垂线的作法和性质是解题的关键． 【变式2】  如图，，的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格线交点上． (1)将向右平移4个单位得到，请画出． (2)试描述经过怎样的平移可得到． 【答案】(1)见解析 (2)向左平移2个单位再向下平移4个单位 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】（1）利用平移的性质可画出； （2）根据平移的特征可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）将向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到． 【点睛】本题主要考查了作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A、B、C都在格点上．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)请在图中画出平移后的； (2)四边形ABED的面积为多少？； (3)在网格中画出一个格点P，使得（画出一个即可）. 【答案】(1)见解析 (2)28 (3)见解析 【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B、C的对应点E、F即可． （2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积． （3）取AB的中点P即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积=， 故答案为：28． （3）如图，点P即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图—平移变换，平行四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$