精品解析：江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

苏苑高级中学高一第二学期3月数学自主训练 一．单项选择题（每题只有一个选项符合） 1. 下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5 已知，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与直线交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．多项选择题（每小题有多个选项符合，全选得6分，漏选得部分分，错选得0分） 9. 下列四个等式中正确是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为； B. 的图象关于对称； C. 是的一个零点； D. 在单调递减； 11. 正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波叠加而成，即，设，，若图中所示为的部分图象，则下列描述正确的是（ ） A. B. 的最小正周期是 C. 若，则 D. 不存在，使得恒为0 三．填空题 12. 写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 14. 函数在区间上有两个零点，则_____________ 四．解答题 15. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）若（）为的一个零点，求的值. 16. 在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内图像时，列表并填入的部分数据如下表： x 0 1 0 －1 0 1 0 0 （1）请利用上表中的数据，写出的值，并求函数的单调递减区间； （2）将函数的图像向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恒成立，求实数λ的取值范围. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱． （1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？ （2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？ 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏苑高级中学高一第二学期3月数学自主训练 一．单项选择题（每题只有一个选项符合） 1. 下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由平面向量共线定理解方程组即可得. 【详解】依题意可得存在实数满足， 即，又，不共线， 可得，解得. 故选：D 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，，则，此时函数单调递增，故A错误； 对于B，，最小正周期为，，则， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，最小正周期为，，则，此时函数单调递增，故C错误； 对于D，，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为， 当，则，在上单调递减，故D正确. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【详解】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出、的值，进而得到、的值，最后根据，利用两角和的正切公式计算. 【详解】已知，，所以. 因为，所以. 所以， 即.  已知，，所以. 因为，所以. 所以， 即.  因为，根据两角和的正切公式可得： . 故选：D. 6. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 7. 曲线与直线的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数. 【详解】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A. 8. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系 ，得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得，故， 所以对任意都成立，且， 所以，因为，所以． 由的图象关于点对称，得， 令得，所以， 因为，所以， 又，得，， 解得， 当时，，在上是减函数； 当时，在上是减函数； 当时，在上不是单调函数． 综上可得，或． 故选：C． 二．多项选择题（每小题有多个选项符合，全选得6分，漏选得部分分，错选得0分） 9. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，利用余弦二倍角公式求解；对B，通分后利用两角差的正弦公式，二倍角正弦公式化简；对C，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简；对D，利用两角和的正切公式化简计算. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以， 即，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为； B. 的图象关于对称； C. 是的一个零点； D. 在单调递减； 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象的平移得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期判断A，利用对称性判断B，根据零点定义判断C，利用正弦型函数对称性判断D. 【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合， ， 的一个周期为，故A正确； 的对称轴满足：，， 当时，的图象关于对称，故B正确； 由，得，是的一个零点，故C正确； 当时，，在上单调递增，故D错误. 故选：ABC 11. 正弦波是频率成分非常单一信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波叠加而成，即，设，，若图中所示为的部分图象，则下列描述正确的是（ ） A. B. 的最小正周期是 C. 若，则 D. 不存在，使得恒为0 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数图形得出函数解析式判断A，根据周期的最小正周期计算判断B，代入应用三角恒等变换判断C，联立恒成立平方求和计算求解判断D. 【详解】对于A，由题图可知，，且，所以， 又，所以，因为，所以，所以，故A正确. 对于B，因为，所以的最小正周期均为，所以的最小正周期为，故B错误. 对于C，若， 则 ，故C错误. 对于D，，即， 展开得， 若等式恒成立，则则平方求和得， 所以.因为，所以， 同理可得，因为，所以， 所以，与矛盾，故D正确. 故选:AD. 三．填空题 12. 写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择.要注意答案不唯一. 【详解】由题意：函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3， 所以可以取三角函数（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 14. 函数在区间上有两个零点，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法简化三角函数解析式然后根据余弦函数对称性得到，最后根据同角三角函数基本关系和诱导公式即可. 【详解】令，则函数在区间上有两个零点等价于： 函数在区间上有两个零点， 所以，所以由余弦函数图象情况可知， 且，， 所以， 所以， 故答案为：. 四．解答题 15. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）若（）为的一个零点，求的值. 【答案】（1），单调递减区间为；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解； （2）由可得，然后利用求解的值. 【详解】解：（1） 则的最小正周期为. 令得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）若，则，即， 又，所以，所以， 所以 . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题，考查利用三角恒等变换求三角函数值，难度一般. 解答时，辅助角公式，三角恒等变换公式的运用是关键. 16. 在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： x 0 1 0 －1 0 1 0 0 （1）请利用上表中数据，写出的值，并求函数的单调递减区间； （2）将函数的图像向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1），函数的单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据求出的解析式即可； （2）首先根据函数图像的变换求出的解析式，然后求出的值域，然后由可得，然后可得答案. 【小问1详解】 由表格中数据可得，，解得， 所以， 所以， 令，解得， 所以函数单调递减区间为， 【小问2详解】 将函数的图像向右平移个单位，得到的图像， 再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 由可得， 当时，， 因为在上恒成立，所以，解得. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱． （1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？ （2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的高度相等？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案； （2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m，从而求出和关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的高度相等. 【小问1详解】 以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为， 当时，游客位于点，以为终边的角为， 因为摩天轮半径，旋转角速度为， 所以，， 当，即，， 解得：，解得：， 因为min， 故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌 【小问2详解】 设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m， ，， 因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为， 故，， 因为，所以， 因为，所以，解得：， 所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的高度相等. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， 对称轴; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴； （2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围； （3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围. 【小问1详解】 函数 , 所以函数的最小正周期， 由，所以函数图象的对称轴为； 【小问2详解】 由， 可得函数在区间上单调递增， 由于区间里面一定有，而， 所以函数在上不单调的等价条件是， 即满足或，解得：， 故的取值范围； 【小问3详解】 当时，，则， 所以函数的值域为， 再由，，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围． 19. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，；，，且与具有关系，求的像； （3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）或或； （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【小问1详解】 与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； 【小问2详解】 由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； 【小问3详解】 对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $