精品解析：河北省唐县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二3月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 4. 某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. 将5名党员志愿者分到3个不同社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 6. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 10. 将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A. 有240种放法 B. 每盒至多一球，有24种放法 C. 恰有一个空盒，有144种放法 D. 把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 13. 的展开式中的系数为______． 14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求展开式中系数的最大值. 16. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件数字？（运算结果以数字作答） （1）无重复数字的四位偶数； （2）无重复数字且为5倍数的四位数； （3）无重复数字且比1230大的四位数． 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 18. 近年来，社交推理游戏越来越受到大众喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. （1）若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ （2）若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ （3）游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二3月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 5 B. 20 C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案. 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 3. 在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：，结合组合数性质分析求解. 【详解】由题意可得：，则， 可得，所以. 故选：D． 4. 某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出导数值即可. 【详解】由，求导得， 所以该运动员在时的瞬时速度为（）. 故选：D 5. 将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ） A. 120 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 6. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 7. 如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， ，， ①当时，函数单调递增，， 即，解得：，不成立； ②当时，， 即，解得：或，不成立； ③当时，函数单调递减，， 即，解得：，成立. 综上可知：. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果. 【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 10. 将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中（　　） A. 有240种放法 B. 每盒至多一球，有24种放法 C. 恰有一个空盒，有144种放法 D. 把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据分步乘法原理分析求解，对于B，由题意可知每盒恰好一个球，相当于对4个球进行全排列，对于C，先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子即可，对于D，方法一：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，方法二：第一步先选出一个盒子，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板即可. 【详解】对于A，每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子， 共有种放法，所以A错误， 对于B，由题意可知每盒恰好一个球，所以共有（种）放法，所以B正确， 对于C，先选出一个空盒，然后将4个球分成3份放入剩下的3个盒子，所以共有（种）放法，所以C正确， 对于D，（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有（种）放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有（种）放法.所以D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 13. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由的通项公式，通过和求解即可； 【详解】依题意，的二项展开式的通项为． 当时，； 当时，． 所以的展开式中含的项为， 故的系数为． 故答案为： 14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求展开式中系数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 小问1详解】 ； 【小问2详解】 令得 令得 则； 【小问3详解】 的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 16. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） （1）无重复数字的四位偶数； （2）无重复数字且为5的倍数的四位数； （3）无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】（1）个 （2）个 （3）个 【解析】 【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解. 【小问1详解】 符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． 【小问2详解】 符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． 【小问3详解】 符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为0. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，判断单调性，根据单调性求出最值； （2）求出导数，分和讨论，判断单调性求出极小值，可得，构造函数，，利用导数求出答案. 【小问1详解】 当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. 【小问2详解】 ，， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则. 综上，的取值范围为. 18. 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. （1）若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ （2）若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ （3）游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【答案】（1） （2）576 （3）10 【解析】 【分析】（1）（2）根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解， （3）根据题意可得，，即可根据递推关系求解. 【小问1详解】 先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同搜索方法. 【小问2详解】 第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法. 【小问3详解】 由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得出对恒成立，，其中，利用导数求出函数的最小值，并求出最小值的取值范围，即可得出整数的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 因为，则. ①当即时，，， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当即时，由得，. 若，，时， 此时，函数的增区间为，无减区间； 若，， 当时，，当时， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，时，的增区间为，无减区间； 时，的减区间为，增区间为. 小问2详解】 由，得，即对恒成立. 令，其中， 则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增. 又，， 所以满足，即， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增 故，故， 又因为，，所以最大值是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$