第七章 专题5 平行线的性质 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题5 平行线的性质 一、平行线的三个性质 性质1：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等。） 性质2：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠6（两直线平行，内错角相等。） 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补。） 【注意】①若两直线平行，我们应联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等性质，为解决有关角的问题提供依据．②平行线的性质与判定的区别和联系在于两者的条件和结论是互逆的，解题时要注意恰当运用． 二、两条平行线间的距离 求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 如图，直线∥，过直线上的一点作直线的垂线，垂足为，则垂线段的长就是平行线、间的距离． 【注意】在此定义中，因为任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，所以又可看作：平行线间的距离处处相等，即：①一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，必定垂直于另一条：②夹在两条平行线间的平行线段相等；③平行线间的距离处处相等． 三、同底（或等底）同高（或等高）的三角形面积相等． 考点1：平行线的性质-两直线平行，同位角相等 例1．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 变式1.（2025•永寿县校级一模）如图，直线AB∥CD，若∠1＝5∠2，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 变式2.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 考点2：平行线的性质-两直线平行，内错角角相等 例2．（2025•榆阳区一模）如图，点A、C分别在CF、ED上，AB∥ED，若∠ECF＝65°，则∠BAF的度数为（　　） A．65° B．115° C．120° D．125° 变式3．（2025•合肥一模）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上．若l1∥l2，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 变式4．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝60°，则∠CBE的度数为（　　） A．20° B．30° C．55° D．60° 考点3：平行线的性质-两直线平行，同旁内角互补 例3．（2025•南关区校级开学）如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺ABCD的一边AB与量角器的零刻度线重合，OM与CD相交于点N．若量角器上显示∠MOB的读数为70°，则∠DNM的度数为（　　） A．70° B．110° C．130° D．140° 变式5.（2024秋•西安校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 变式6.（2025•重庆模拟）如图，∠AOB＝50°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（　　） A．50° B．100° C．120° D．130° 考点4：平行线间的距离 例4．（2024春•三台县期中）下列说法中，正确的个数是（　　） ①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7.（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，过四边形ABCD的顶点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AC、BD，下列说法正确的是（　　） A．∠2和∠3是同位角 B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．线段AD是A、D两点间的距离 D．线段DB、DC、DE中，DE最短，理由是两点之间，线段最短 变式8（2024春•任泽区期中）如图，若直线m∥n，表示平行线m与n之间的距离为线段（　　） A．AB的长 B．AC的长 C．AD的长 D．DE的长 考点5：利用平行线间的距离解决面积问题 例5．（2023•郫都区校级开学）下列说法，正确的有（　　）个． ①0既不是正数也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a取什么值，a2不可能等于2a． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大． A．1 B．2 C．3 D．4 变式9．（2024春•湖南期中）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝9，BC＝6，则平行线a，b之间的距离是 　 　． 变式10．（2024春•祁阳市期末）如图：AD∥BC，AD＝BC＝2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为 　 　． 考点6： 根据平行线的性质求角的度数 例6．（2025春•碑林区校级月考）填空，并完成推理过程： 如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明AD⊥BC． 证明：∵∠1＝∠C（已知）， ∴GD∥AC（　 　）， ∴∠CAD＝∠2（　 　）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠3+∠CAD＝180°（　 　）， ∴AD∥EF（　 　）， ∴∠ADC＝∠EFC（　 　）， ∵EF⊥BC（已知）， ∴∠EFC＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝∠EFC＝90°（等量代换）， ∴AD⊥BC（垂直的定义）． 变式11．（2025春•浦东新区校级月考）（1）问题发现： 如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由； （2）解决问题： 如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 变式12．（2024秋•榆林期末）点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，DF∥AC，∠1+∠2＝180°． （1）证明：DE∥AB． （2）若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数． 考点7：根据平行线的性质探究角的关系 例7．（2024秋•苏州期末）如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P． （1）若∠1＝46°，求∠C的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF． 变式13.（2024秋•金水区期末）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线） 考点8：平行线的性质的实际应用 例8．（2024春•清苑区期中）（1）测量猜想：如图1，已知AB∥CD，请写出∠BAE，∠DCE，∠AEC的数量关系：　 　； （2）探究验证：如图2，AB∥CD不变，当点E位于平行线一侧，写出∠BAE，∠DCE，∠AEC的数量关系，并证明你的结论； （3）结论应用：图3是一探照灯灯碗的纵剖面，在焦点O处发出的光线经灯碗（点C除外）反射后均沿与CO平行的方向射出，入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝65°，若入射光线OD经灯碗反射后沿DE方向射出，且∠ODE＝25°，直接写出∠AOD的度数． 变式14.（2024春•浦江县校级期中）（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由． （2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线OC的夹角∠MOC） （3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD，∠BAF＝160°，∠DCF＝80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 变式15.（2024秋•武城县月考）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　 　； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　 　； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　 　． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． 考点9：平行线的性质与判定的综合证明 例9．（2024秋•射洪市期末）已知AB∥CD． （1）如图1，试探究∠G，∠AEG，∠CFG之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，FH平分∠GFD，HE平分∠ABG，∠G＝90°，请利用（1）的结论求∠H的大小； （3）如图3，FH平分∠GFD，HE平分∠ABG，两角平分线交于点H，结合（1）的结论求∠G与∠H的关系． 变式16．（2024秋•金沙县期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，直接写出∠APE，∠PEQ，∠CQE之间的数量关系； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝150°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝60°时，直接写出∠PFQ的度数． 变式17．（2024秋•通许县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　 　． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 变式18．（2024秋•松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 【巩固练习】 1．如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ） A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 2．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 3．如图是一张长条形纸片，其中，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若∠1＝∠2，则的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．65° 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，若，，α，β是两个角的度数，则下列说法正确的是（    ） A．α，β之和为定值 B．α，β之积为定值 C．β随α增大而减小 D．β随α增大而增大 6．在同一平面内，已知直线a，b，c两两平行，且a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm，则b与c的距离为（    ） A．3cm或4cm B．1cm C．7cm D．7cm或1cm 7．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①；②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是_______度． 9．如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________． 10．为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是__________秒． 11．如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 12．如图，已知：，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（________________________）． ∴（_____________________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴____________（__________________________）． ∴（______________________________）． 13．如图，直线，与，分别相交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数；(2)若，，，求直线与的距离． 14．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 15．如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 专题5 平行线的性质 参考答案 考点1：平行线的性质-两直线平行，同位角相等 例1．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据直尺两边平行，求出∠3的度数，再根据平角的性质，求解即可． 【解答】解：∵直尺对边平行， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝25°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是关键． 变式1.（2025•永寿县校级一模）如图，直线AB∥CD，若∠1＝5∠2，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】A 【分析】先根据题意求出∠1和∠2，再结合平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为∠1+∠2＝180°，且∠1＝5∠2， 所以5∠2+∠2＝180°， 则∠2＝30°． 又因为AB∥CD， 所以∠3＝∠2＝30°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 变式2.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】由平行线的性质推出∠BFG二∠FED＝56°，即可求出∠GFH的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FED＝56°， ∵∠HFB＝18°， ∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BFG＝∠FED． 考点2：平行线的性质-两直线平行，内错角角相等 例2．（2025•榆阳区一模）如图，点A、C分别在CF、ED上，AB∥ED，若∠ECF＝65°，则∠BAF的度数为（　　） A．65° B．115° C．120° D．125° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】先利用平角定义可得：∠ACD＝115°，然后利用平行线的性质即可解答． 【解答】解：∵∠ECF＝65°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ECF＝115°， ∵AB∥ED， ∴∠FAB＝∠ACD＝115°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 变式3．（2025•合肥一模）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上．若l1∥l2，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】求出∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝25°，由平行线的性质推出∠2＝∠BAD＝25°． 【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∵∠1＝35°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝25°， ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠BAD＝25°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠BAD． 变式4．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝60°，则∠CBE的度数为（　　） A．20° B．30° C．55° D．60° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠1＝60°，由角平分线定义得到∠CBE∠ABC＝30°． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠1＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE∠ABC＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠1． 考点3：平行线的性质-两直线平行，同旁内角互补 例3．（2025•南关区校级开学）如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺ABCD的一边AB与量角器的零刻度线重合，OM与CD相交于点N．若量角器上显示∠MOB的读数为70°，则∠DNM的度数为（　　） A．70° B．110° C．130° D．140° 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由直尺得AB∥CD，所以∠CNM＝∠BOM，已知∠MOB＝70°，进而可得∠DNM的度数． 【解答】解：由题意得，AB∥CD， ∴∠CNM＝∠BOM＝70°， ∴∠DNM＝180°﹣70°＝110°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 变式5.（2024秋•西安校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3＝60°， ∴∠4＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 变式6.（2025•重庆模拟）如图，∠AOB＝50°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（　　） A．50° B．100° C．120° D．130° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】由平行线的性质推出∠AOB+∠OED＝180°，求出∠OED＝130°，由对顶角的性质得到∠AEC＝∠OED＝130°． 【解答】解：∵CD∥OB， ∴∠AOB+∠OED＝180°， ∵∠AOB＝50°， ∴∠OED＝130°， ∴∠AEC＝∠OED＝130°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠AOB+∠OED＝180°． 考点4：平行线间的距离 例4．（2024春•三台县期中）下列说法中，正确的个数是（　　） ①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】平行线的判定与性质；点到直线的距离；平行公理及推论．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】本题可结合平行线的定义，平行公理，平行线的性质，点到直线的距离的定义进行判定即可． 【解答】解：①在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故此说法正确； ②在同一平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故此说法正确． ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故此说法错误． 故选：B． 【点评】本题考查了两直线位置关系，平行线的判定和性质，点到直线的距离，能根据知识点进行判断是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 变式7.（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，过四边形ABCD的顶点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AC、BD，下列说法正确的是（　　） A．∠2和∠3是同位角 B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．线段AD是A、D两点间的距离 D．线段DB、DC、DE中，DE最短，理由是两点之间，线段最短 【考点】平行线的判定；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【解答】解：A、∠2和∠3不是同位角，故不符合题意； B、若∠1＝∠2，则AB∥CD，故符合题意； C、线段AD的长度是A、D两点间的距离，故不符合题意； D、线段DB、DC、DE中，DE最短，理由垂线段最短，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 变式8.（2024春•任泽区期中）如图，若直线m∥n，表示平行线m与n之间的距离为线段（　　） A．AB的长 B．AC的长 C．AD的长 D．DE的长 【考点】平行线之间的距离．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【解答】解：结合图形信息，∵m∥n，AC⊥n， ∴AC⊥m， ∴AC可以表示平行线m与n之间的距离， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 考点5：利用平行线间的距离解决面积问题 例5．（2023•郫都区校级开学）下列说法，正确的有（　　）个． ①0既不是正数也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a取什么值，a2不可能等于2a． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】平行线的性质；正数和负数．版权所有 【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，正数与负数的含义对各说法进行分析即可． 【解答】解：①0既不是正数也不是负数，故①说法正确； ②∵小亮比小军少跳0.18米， ∴小军比小亮多跳0.18米， ∵0.18＞0.17， ∴三人中跳得最远的是小军，故②说法正确； ③当a＝0或a＝2时，a2＝2a，故③说法错误； ④令两平行线间的距离为a，则： 平行四边形的面积为：5a， 三角形的面积为：10a＝5a， 梯形的面积为：（3+7）a＝5a， 故三个图形的面积相等，故④说法错误． 综上所述，正确的个数是2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，正数与负数，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 变式9．（2024春•湖南期中）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝9，BC＝6，则平行线a，b之间的距离是 　3　． 【考点】平行线之间的距离．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】3． 【分析】依据直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到AC长为直线a和c之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AB长为直线a和b之间的距离，再根据AC＝9，BC＝6，即可得出直线a与直线b之间的距离． 【解答】解：∵a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴AC长为直线a和c之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AB长为直线a和b之间的距离， ∵AC＝9，BC＝6， ∴AB＝AC﹣BC＝9﹣6＝3， 即直线a与直线b之间的距离为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平行线之间的距离，关键掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 变式10．（2024春•祁阳市期末）如图：AD∥BC，AD＝BC＝2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为 　16　． 【考点】三角形的面积；平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力． 【答案】16． 【分析】过D作DF⊥BC于F，根据△DCE的面积为4求出CE×DF＝8，求出四边形ABCD的面积S（AD+BC）×DF＝2CE×DF，再代入求出答案即可． 【解答】解：过D作DF⊥BC于F， ∵△DCE的面积为4， ∴4， ∴CE×DF＝8， ∵AD∥BC，AD＝BC＝2CE， ∴四边形ABCD的面积S（AD+BC）×DF （2CE+2CE）×DF ＝2CE×DF ＝2×8 ＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点，能求出四边形ABCD的面积＝2CE×DF是解此题的关键． 考点6： 根据平行线的性质求角的度数 例6．（2025春•碑林区校级月考）填空，并完成推理过程： 如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明AD⊥BC． 证明：∵∠1＝∠C（已知）， ∴GD∥AC（　同位角相等，两直线平行　）， ∴∠CAD＝∠2（　两直线平行，内错角相等　）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠3+∠CAD＝180°（　等量代换　）， ∴AD∥EF（　同旁内角互补，两直线平行　）， ∴∠ADC＝∠EFC（　两直线平行，同位角相等　）， ∵EF⊥BC（已知）， ∴∠EFC＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝∠EFC＝90°（等量代换）， ∴AD⊥BC（垂直的定义）． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】根据平行线的判定和性质，填写每步骤的依据，即可得到结果． 【解答】证明：∵∠1＝∠C（已知）， ∴GD∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠CAD＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠3+∠CAD＝180°（等量代换）， ∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠ADC＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）， ∵EF⊥BC（已知）， ∴∠EFC＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝∠EFC＝90°（等量代换）， ∴AD⊥BC（垂直的定义）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 变式11．（2025春•浦东新区校级月考）（1）问题发现： 如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由； （2）解决问题： 如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）见解析；（2）20°． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，证明EF∥CD，得出∠C＝∠CEF，再根据平行线的性质得出∠B＝∠BEF，推出∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF，即可得出结论； （2）作EF∥AB，利用平行线的性质得到∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，则∠CEF＝60°，所以∠AEF＝20°，从而得到∠A的度数． 【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF， 即∠B+∠C＝∠BEC． （2）解：作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF， ∵∠C＝120°，∠AEC＝80° ∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝80°﹣60°＝20°， ∴∠A＝20°． 所以∠A的度数为20°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握性质和判定是做题的关键． 变式12．（2024秋•榆林期末）点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，DF∥AC，∠1+∠2＝180°． （1）证明：DE∥AB． （2）若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数． 【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）80°． 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，得到∠1+∠A＝180°，进而得出∠A＝∠2，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到∠EDF＝80°，结合角平分线的定义，得出∠BDF＝80°，即可得出∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵DF∥AC， ∴∠1+∠A＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠A＝∠2， ∴DE∥AB （2）解：∵DE∥AB，∠1＝100°， ∴∠EDF＝80°， ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDF＝∠EDF＝80°， ∵DF∥AC， ∴∠C＝∠BDF＝80°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 考点7：根据平行线的性质探究角的关系 例7．（2024秋•苏州期末）如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P． （1）若∠1＝46°，求∠C的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF． 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠C＝46°； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C＝∠1，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出∠BFD＝∠D，根据∠2+∠D＝90°，得出∠BFD+∠2＝90°，求出∠CFD＝90°，根据平行线的性质得出∠EPD＝∠CFD＝90°，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵∠2＝∠B， ∴CF∥BE， ∴∠C＝∠1， ∵∠1＝46°， ∴∠C＝46°， 所以∠C的度数为46°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D， ∵∠2+∠D＝90°， ∴∠BFD+∠2＝∠D+∠2＝90°， ∴∠CFD＝90°， 由（1）可知，CF∥BE， ∴∠EPD＝∠CFD＝90°， ∴BE⊥DF． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 变式13.（2024秋•金水区期末）善于观察和思考的小金发现自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光平行的方向反射回去，从而起到警示作用．这是什么原因呢？他拆开自行车尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜，几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图2说明反射光线DE与入射光线AB平行的理由．（其中射线BM和射线DN为法线） 【考点】平行线的性质；平行线的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】理由见详解． 【分析】由题意易得MB⊥CQ，ND⊥CP，∠C＝90°，然后可得∠NDB+∠MBD＝90°，进而根据同旁内角互补，两直线平行及光的折射可进行求解． 【解答】解：如图， 由图可知：MB⊥CQ，ND⊥CP，∠C＝90°， ∴∠NDC＝∠NDB+∠BDC＝90°，∠MBD+∠DBC＝∠MBC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°， ∴∠NDB+∠MBD＝90°， 根据光的折射可知：∠ABM＝∠MBD，∠NDB＝∠NDE， ∴∠ABD+∠BDE＝2∠MBD+2∠NDB＝2×90°＝180°， ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． 【点评】本题主要考查平行线的判定，平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 考点8：平行线的性质的实际应用 例8．（2024春•清苑区期中）（1）测量猜想：如图1，已知AB∥CD，请写出∠BAE，∠DCE，∠AEC的数量关系：　∠AEC＝∠BAE+∠DCE　； （2）探究验证：如图2，AB∥CD不变，当点E位于平行线一侧，写出∠BAE，∠DCE，∠AEC的数量关系，并证明你的结论； （3）结论应用：图3是一探照灯灯碗的纵剖面，在焦点O处发出的光线经灯碗（点C除外）反射后均沿与CO平行的方向射出，入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝65°，若入射光线OD经灯碗反射后沿DE方向射出，且∠ODE＝25°，直接写出∠AOD的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE；（2）∠AEC＝∠DCE﹣∠BAE，证明见解析；（3）40°或90°． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得EF∥CD，则有∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，从而可求解； （2）利用平行线的性质可得∠BFE＝∠DCE，再由三角形的外角性质得∠BFE＝∠BAE+∠AEC，从而可求解； （3）分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数． 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图， ∴∠A＝∠AEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠DCE； （2）有变化，∠DCE＝∠BAE+∠AEC， 证明：如图， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠DCE， ∵∠BFE是△AEF的外角， ∴∠BFE＝∠BAE+∠AEC， ∴∠DCE＝∠BAE+∠AEC； （3）如图， ∵AB∥CF， ∴∠COA＝∠OAB． ∵∠OAB＝65°， ∴∠COA＝65°， ∵DE∥CF， ∴∠COD＝∠ODE， ∵∠ODE＝25°， ∴∠COD＝25°， 在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°， 在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝65°+25°＝90°． ∠AOD的度数为40°或90°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，分析入射光线OD的不同位置是做本题的关键． 变式14.（2024春•浦江县校级期中）（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由． （2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线OC的夹角∠MOC） （3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD，∠BAF＝160°，∠DCF＝80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【考点】平行线的判定与性质；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）平行．理由见解析； （2）MN与水平线OC的夹角∠MOC为52.5°； （3）存在，40秒． 【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上15°即可得解； （3）分三种情况分别画出图形，分别列方程进行解答即可． 【解答】解：（1）平行．理由如下： 如图， ∵∠3＝∠4， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠5＝∠2+∠6， ∴a∥b． （2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ∴∠1＝∠2， ∵入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底， ∴∠1+∠2＝180°﹣15°﹣90°＝75°， ∴， ∴MN与水平线的夹角为：∠MOC＝37.5°+15°＝52.5°． （3）解：存在，分三种情况讨论： 如图①，AB与CD 在EF的两侧时， ∵∠BAF＝160°，∠DCF＝80°， ∴∠ACD＝180°﹣80°﹣（5t）°，∠BAC＝160°﹣（2t）°， 要使AB∥CD， 则∠ACD＝∠BAC， ∴180°﹣80°﹣（5t）°＝160°﹣（2t）°， 解得t＝﹣20（ 舍去 ）； 如图②，CD旋转到AB都在EF的右侧时， ∵∠BAC＝160°，∠DCF＝80°，∠DCF＝360°﹣（5t）°﹣80°，∠BAC＝160°﹣（2t）°， 要使AB∥CD，则∠BAC＝∠DCF， 即360°﹣（5t）°﹣80°＝160°﹣（2t）°， 解得t＝40， 此时 （360°﹣80°）÷5°＝56， ∴0＜t＜56； 如图③，CD旋转到AB都在EF的左侧时， ∵∠BAC＝160°，∠DCF＝80°， ∴∠DCF＝（5t）°﹣（180°﹣80°+180°）＝（5t）°﹣280°； ∠BAC＝（2t）°﹣160°； 要使AB∥CD，则∠BAC＝∠DCF， 即 （5t）°﹣280°＝（2t）°﹣160°； 解得 t＝40， 此时2t＞160， ∵80°＜160°， ∴此情况不存在． 综上所述，t为40秒时，CD与AB平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键． 变式15.（2024秋•武城县月考）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　等量代换　； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）α＝90°． 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据AB∥CD，得出∠2＝∠3，证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4，得出∠EFG＝∠FGH，即可证明结论； （3）根据平行线的性质得出∠FEG+∠EGH＝180°，根据∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【解答】（1）解：平行， 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是两直线平行，同位角相等； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是等量代换； ∴反射光线BC与EF平行，依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4， 即∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH； （3）∵EF∥GH， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴， ∴α＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，关键是平行线性质的熟练应用． 考点9：平行线的性质与判定的综合证明 例9．（2024秋•射洪市期末）已知AB∥CD． （1）如图1，试探究∠G，∠AEG，∠CFG之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，FH平分∠GFD，HE平分∠ABG，∠G＝90°，请利用（1）的结论求∠H的大小； （3）如图3，FH平分∠GFD，HE平分∠ABG，两角平分线交于点H，结合（1）的结论求∠G与∠H的关系． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠G＝∠AEG+∠CFG，见解析； （2）135°； （3）∠G＝2∠H﹣180°，见解析． 【分析】（1）如图：过点G作AB∥MN，易得AB∥CD∥MN，由平行线的性质可得∠AEG＝∠NGE，∠CFG＝∠NGF，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得∠GFH＝∠HFD，∠AEH＝∠HEG，设∠GFH＝∠HFD＝x，∠AEH＝∠HEG＝y，则∠GFC＝180°﹣2x、∠AEG＝2y；结合（1）的结论可得∠G＝∠CFG+∠AEG、∠H＝∠AEH+∠HFC，再结合∠G＝90°可得x﹣y＝45°，同理可得∠H＝∠HFC+∠AEH＝180°﹣x+y＝180°﹣（x﹣y），然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得∠GFH＝∠HFD，∠AEH＝∠HEG，设∠GFH＝∠HFD＝x，∠AEH＝∠HEG＝y，则∠GFC＝180°﹣2x、∠AEG＝2y；结合（1）的结论可得∠G＝∠CFG+∠AEG、∠H＝∠AEH+∠HFC，进而得到∠G＝180°﹣2（x﹣y）、2∠H＝360°﹣2（x﹣y），然后观察即可解答． 【解答】解：（1）∠G＝∠AEG+∠CFG，理由如下： 如图：过点G作AB∥MN， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠CFG＝∠NGF，∠AEG＝∠NGE， ∴∠EGF＝∠NGE+∠NGF＝∠AEG+∠CFG， ∴∠G＝∠AEG+∠CFG； （2）∵FH平分∠GFD，HE平分∠ABG， ∴∠GFH＝∠HFD，∠AEH＝∠HEG， 设∠HFD＝∠GFH＝x，∠HEG＝∠AEH＝y，则∠GFC＝180°﹣2x，∠AEG＝2y， 由（1）的结论可得：∠G＝∠CFG+∠AEG，∠H＝∠AEH+∠HFC， ∵∠G＝90°， ∴90°＝180°﹣2x﹣2y＝180°﹣2（x﹣y）， 解得：x﹣y＝45°， ∴∠H＝∠HFC+∠AEH＝180°﹣x+y＝180°﹣（x﹣y）＝180°﹣45°＝135°． （3）∠G＝2∠H﹣180°，理由如下： ∵FH平分∠GFD，HE平分∠ABG， ∴∠GFH＝∠HFD，∠AEH＝∠HEG， 设∠GFH＝∠HFD＝x，∠AEH＝∠HEG＝y，则∠GFC＝180°﹣2x，∠AEG＝2y， 由（1）的结论可得：∠H＝∠AEH+∠HFC，∠G＝∠CFG+∠AEG， ∴∠H＝∠HFC+∠AEH＝180°﹣x+y＝180°﹣（x﹣y），∠G＝∠CFG+∠AEG＝180°﹣2x﹣2y＝180°﹣2（x﹣y）， ∴2∠H＝360°﹣2（x﹣y）， ∴∠G＝2∠H﹣180°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质成为解题的关键． 变式16．（2024秋•金沙县期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ． （1）如图1，直接写出∠APE，∠PEQ，∠CQE之间的数量关系； （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝150°时，求出∠PFQ的度数； （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝60°时，直接写出∠PFQ的度数． 【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由见解析； （2）∠PFQ＝105°； （3）∠PFQ＝150°． 【分析】（1）如图1，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEH，∠CQE＝∠QEH，等量代换即可得到结论； （2）如图2，过点E作EM∥AB，根据平行线的性质得到∠BPE+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝210°，根据角平分线的定义得到，，得到，作NF∥AB，于是得到结论； （3）如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM＝α，根据平行线的性质得到∠DQE＝180°﹣α，根据角平分线的定义得到，∠BPE＝180°﹣∠PEM＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，根据角平分线的定义得到，作NF∥AB，于是得到结论． 【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 如图1，作EH∥AB， ∴∠APE＝∠PEH， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CQE＝∠QEH， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）如图2，过点E作EM∥AB，作NF∥AB， 同理∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝150°， ∵∠BPE＝180°﹣∠APE，∠EQD＝180°﹣∠CQE， ∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝210°， ∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD， ∴，， ∴， 同理∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝105°； （3）如图3，过点E作EM∥CD，作NF∥AB， 设∠QEM＝α，则∠DQE＝180°﹣α， ∵QH平分∠DQE， ∴， ∴， ∵EM∥CD，AB∥CD， ∴AB∥EM， ∴∠BPE＝180°﹣∠PEM＝120°﹣α， ∵PF平分∠BPE， ∴， 同理∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝150°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． 变式17．（2024秋•通许县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　110°　． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】（1）110°； （2）∠APC＝∠α+∠β，理由见解答； （3）∠CPA＝∠α﹣∠β或∠CPA＝∠β﹣∠α． 【分析】（1）通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可； （2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110°； （2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝∠α﹣∠β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝∠β﹣∠α． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 变式18．（2024秋•松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用示例的结论，得∠APD＝∠HAP+∠D，根据对顶角相等∠HAP＝∠GAB，从而得到结果； （2）由AB∥CD∥PM，得到∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°，从而得到结果； （3）利用示例结论得到∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ，结合角平分线和图形，即可得到结果． 【解答】解：（1）如图③，延长BA至H， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠HAP+∠D， ∵∠HAP＝∠GAB，∠GAB＝70°， ∴∠HAP＝70°， ∵∠D＝15°， ∴∠APD＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图④，过P点作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°， ∴∠MPE﹣∠MPA﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， 即∠APE﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）由示例知，∵AB∥CD， ∴∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴2∠BAF＝∠PAB，2∠DEQ＝∠PED， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知，∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠BAF+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝180°+180°＝360°， 即2∠BAF+∠APE＝360°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【巩固练习】 1．如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ） A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转 B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转 D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°， ∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，∴AC与DF不平行，故A不符合题意； B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°， ∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，∴AC与DF不平行，故B不符合题意； C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°， ∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，∴AC//DF，故C符合题意； D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°， ∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，∴AC与DF不平行，故D不符合题意；故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 2．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，，， 又，，．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 3．如图是一张长条形纸片，其中，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若∠1＝∠2，则的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．65° 【答案】C 【分析】先根据折叠性质用含∠2的式子表示，再根据平行线的性质得∠2=∠3，然后根据三角形内角和定理求出∠2，最后根据平行线性质得出答案． 【详解】如图，根据折叠，可得，∴． ∵，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3， ∴，解得∠2=60°． ∵，∴．故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据三角形内角和定理列出关于∠2的方程是解题的关键． 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=，故（1）（2）（4）正确； ∵三角板是直角三角板， ∴∠2+∠4=， 故（3）正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键． 5．如图，若，，α，β是两个角的度数，则下列说法正确的是（    ） A．α，β之和为定值 B．α，β之积为定值 C．β随α增大而减小 D．β随α增大而增大 【答案】D 【分析】过C点作CFAB，利用平行线的性质得出∠α-∠β=90°即可求解． 【详解】解：过C点作CFAB， ∵ABDE，∴CFDE，∵∠ABC=180°-∠α，∴180°-∠α=∠BCF，∠β=∠DCF， ∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF=90°，∴180°-∠α+∠β=90°， ∴∠α=90°+∠β，∴β随α增大而增大．故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．在同一平面内，已知直线a，b，c两两平行，且a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm，则b与c的距离为（    ） A．3cm或4cm B．1cm C．7cm D．7cm或1cm 【答案】D 【分析】分类讨论：当直线b在a、c之间或直线b不在a、c之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线b在a、c之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm， ∴b与c的距离=4-3=1（cm）； 当直线b不在a、c之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为3cm，a与c的距离为4cm， ∴b与c的距离=3+4=7（cm）， 综上所述，b与c的距离为1cm或7cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，此垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论． 7．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①；②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答． 【详解】解：分别过、作，， ∵，∴， ∴，， ∴， 即，①正确； ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，②正确， 与上同理，， ∴， ∴，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键． 8．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是_______度． 【答案】30 【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可． 【详解】解：如图，∵，∴∠3＝∠1＝60°， ∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 9．如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________． 【答案】 【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】如图，作，∵，∴． ∵，∴． ∵，∴． ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等． 10．为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒． 【答案】2或8##8或2 【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），推出t≤18-4，即t≤14．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒）， ∴t≤18-4，即t≤14．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行： ①如图1，∠=∠，30t=10（4+t），解得t=2； ②如图2，当A灯发出的光束旋转至AN回转时， ∠+∠=180°，30t-180+10（4+t）=180，解得t=8； 综上所述，A灯旋转的时间为2或8秒．选：2或8． 【点睛】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、有平行的性质列出每种情况的等量关系． 11．如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 【答案】12 【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵，∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度， ∵，∴直线a与b之间的距离就是12cm．故答案为12． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键． 12．如图，已知：，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴____________（________________________）． ∴（_____________________________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴____________（__________________________）． ∴（______________________________）． 【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先通过已知条件证明DEAF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出ABCD，再根据两直线平行，内错角相等得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴DEAF（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴ABCD（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 13．如图，直线，与，分别相交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数；(2)若，，，求直线与的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据平角的定义即可得；（2）过点作于点，利用三角形的面积公式即可得． （1）解：，，， ，，． （2）解：如图，过点作于点， ，，，， ，即，解得， 即直线与的距离为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线间的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 14．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）只需要证明即可证明； （2）先证明得到则，再由即可证明； （3）根据平行线的性质得到，，再结合已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴； （2）证明：∵， ∴，∴，∴， 又∵，∴； （3）解：由（2）得，∴，， 又∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 15.如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）已知，所以，又因为，可以得出 即可判定； （2）已知，，可以得出，即可得出； （3）由（1）（2）可知，，可以得出，；可以得出，可以得出，又因为，即可求出的度数． 【解析】（1）证明：，，， ， ； （2）证明：，， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$