专题4 平行线的概念与判定 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题4 平行线的概念与判定 一、平行线的概念 1.平行线的概念：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.平行线的概念包含三层意思： （1）“在同一平面内”是前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况 （2）“不相交”就是说两条直线没有交点，两条直线向两个方向怎样延长都不会相交； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段，平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行． 3.怎样表示两条直线互相平行呢？ 平行线的表示方法：“平行”用符号“∥”表示，如图中直线AB和CD是平行线，记做AB∥CD（或CD∥AB），读做“AB平行CD”（或“CD平行AB”）。如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n平行，记做m∥n（或n∥m），读做“m平行n”（或“n平行m”）。 4.平行线的画法： a a a b a 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 5.平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2) 公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． (3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性，平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2 6.直线平行的判定 （1）同位角相等，两直线平行。 几何语言：∵∠1=∠5 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行。） （2）内错角相等，两直线平行。 几何语言：∵∠3=∠6 ∴a∥b（内错角相等，两直线平行。） （3）同旁内角互补，两直线平行。 几何语言：∵∠3+∠5=180° ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行。） （4）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。. 几何语言：∵a∥c b∥c ∴a∥b （5）平行线公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 （6）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 7.补充 （1）平行线的一组同位角的角平分线平行； （2）平行线的一组内错角的角平分线平行； （3）平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直； 例1．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行 B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线 C．在同一平面内，两条线段不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直 变式1.下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 例2．作图题： 在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点，画线段平行于所在直线．(2)过点，画线段垂直于所在直线． 变式2.如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P． (1)过点P画直线PM∥AB；(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小． 例3．若直线l1l，l2l，则（  ） A．l1l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交 D．以上都不对 变式3.已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 _____． 例4．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 变式4.学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由． 现请你补充完下面的说理过程： 答：ABCD 理由如下： ∵∠2＝∠3（已知）且 （ ） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（ ） 例5．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果∠1=∠2，那么 B．如果∠1=∠3，那么 C．如果∠3=∠4，那么 D．如果∠1=∠2，那么 变式5填写下列推理中的空格： 已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC． 证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（     ）， ∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠ （             ）， 即∠ ＝∠ ． ∴AD∥BC（                            ）． 例6．将一副三角板按如图所示方式放置． 结论Ⅰ：若∠1＝45°，则有；结论Ⅱ：若∠1＝30°，则有； 下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 变式6.如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC． 例7．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 变式7.（1）同一平面内有四条直线，，，，若//，，，则，的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．不能确定关系 （2）如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象：______________． 例8．如图所示，当 _____（添加一个适当的条件）时，则AD∥BC． 变式8.如图，请填写一个使的条件________， 例9．（1）如图，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． （2）如图．下列条件：①∠1＝∠B；②∠2＝∠5；③∠3＝∠4；④，其中能得到的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式9.如图，要使ACBD，可以添加的条件是（　　　） ①∠1=∠2；②∠3=∠4 ；③∠A=∠DCE；④∠D=∠DCE；⑤∠A+∠ABD=180° A．①③ B．②④ C．①②③ D．②④⑤ 【巩固练习】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行 B．不相交的两条直线一定平行 C．有且只有一条直线垂直已知直线 D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短 2．如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（    ） A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 3．下列说法正确的是（         ） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c 4．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 6．下列图形中，由能得到AB//CD的图形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 9．如图，下列条件能判断的是__________（多选）． ①   ②    ③    ④ 10．在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________． 11．如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作AB的垂线，垂足为点D； (2)过点P作BC的平行线，交AB于点E； (3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由 12．（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________；③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 13．按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴（____________） 14．在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．    (1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由； (2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； ②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； (3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明． 专题4 平行线的概念与判定 参考答案 考点1：平面内两直线的位置关系 例1．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行 B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线 C．在同一平面内，两条线段不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直 【答案】D 【分析】根据两条直线的位置关系、平行线、垂直的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意； D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了两条直线的位置关系、平行线、垂直，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 变式1.下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； 在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；故选D 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键． 考点2：平行线的作法 例2．作图题： 在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点，画线段平行于所在直线． (2)过点，画线段垂直于所在直线． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】(1)根据平行线的定义，画出图形即可；(2)根据垂线的定义，画出图形即可． （1）解：如图，线段即为所求（答案不唯一）；（2）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 变式2.如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P． (1)过点P画直线PM∥AB；(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小． 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析 【分析】（1）由平行线性质，用直尺与三角板画平行线 （2）由基本事实：直线外一点到直线的距离垂线段最短，作于点N （1）图中的PM即为所求 （2）图中交 AB于点N，此时PN最小 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线段最短的基本事实，掌握性质与基本事实是解题关键． 考点3：平行公理的应用 例3．若直线l1l，l2l，则（  ） A．l1l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】解：∵l1∥l，l2∥l，∴l1∥l2．故选：A． 【点睛】本题主要考查直线的平行公理，正确理解题意是解题的关键． 变式3.已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 _____． 【答案】## 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 考点4：同位角相等判定两直线平行 例4．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行．故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 变式4.学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由． 现请你补充完下面的说理过程： 答：ABCD 理由如下： ∵∠2＝∠3（已知） 且 （ ） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（ ） 【答案】∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】根据已知条件及对顶角相等得出∠1＝∠2，由同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：ABCD 理由如下：∵∠2＝∠3（已知） 且∠1＝∠3（对顶角相等） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【点睛】题目主要考查对顶角相等及平行线的判定，理解题意，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 考点5：内错角相等判定两直线平行 例5．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果∠1=∠2，那么 B．如果∠1=∠3，那么 C．如果∠3=∠4，那么 D．如果∠1=∠2，那么 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵∠1=∠2，∴， 故A选项不符合题意，D选项不符合题意； 由∠1=∠3，不能推出两直线平行，故B选项不符合题意； ∵∠3=∠4，∴，故C选项符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 变式5填写下列推理中的空格： 已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC． 证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（     ）， ∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠ （             ）， 即∠ ＝∠ ． ∴AD∥BC（                            ）． 【答案】已知；；等式的性质；；内错角相等，两直线平行 【分析】先利用，得出，再利用“内错角相等，两直线平行”证明AD∥BC． 【详解】证明：，（已知）， （等式的性质）， 即． AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 考点6：同旁内角互补判定两直线平行 例6．将一副三角板按如图所示方式放置． 结论Ⅰ：若∠1＝45°，则有；结论Ⅱ：若∠1＝30°，则有； 下列判断正确的是（    ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角板中角的和差关系，当结论Ⅰ时得到∠B＋∠BAE＝180°，根据平行线的判定即可得到结论；当结论Ⅱ时，无法得出结论，结合选项逐个判断即可． 【详解】解：如图所示： 结论Ⅰ：∵∠1＝45°，∴∠2＝90°−∠1＝45°，∴∠BAE＝90°＋45°＝135°， ∴∠B＋∠BAE＝45°＋135°＝180°，∴BCAE，故结论Ⅰ正确； 结论Ⅱ：∵∠1＝30°，∴∠2＝90°−∠1＝60°，∴∠BAE＝90°＋60°＝150°， ∴∠E＋∠BAE＝60°＋150°＝210°，∴无法得到DEAB，故结论Ⅱ错误，故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，等腰直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 变式6.如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC． 【答案】见解析 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°， ∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°， ∴ADBC． 【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键． 考点7：垂直于同一直线的两条直线平行（同平面） 例7．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab． 【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b ∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）故答案为B． 【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键． 变式7.（1）同一平面内有四条直线，，，，若//，，，则，的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．不能确定关系 【答案】B 【分析】先证明，再根据即可证明． 【详解】解：∵//，，∴，又∵，∴，故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （2）如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象：______________． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定可直接进行求解． 【详解】解：若，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 考点8：添加条件判定平行线 例8．如图所示，当 _____（添加一个适当的条件）时，则AD∥BC． 【答案】∠DAC=∠ACB（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定条件求解即可． 【详解】解：添加条件∠DAC=∠ACB，理由如下： ∵∠DAC=∠ACB，∴（内错角相等，两直线平行），故答案为：∠DAC=∠ACB（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 变式8.如图，请填写一个使的条件________， 【答案】答案不唯一， 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可， 【详解】解：填写的条件为：， ，（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：答案不唯一， 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键， 考点9：平行线的综合判定 例9．（1）如图，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据，可由“内错角相等，两直线平行”证得：，故A选项能判定，不符合题意；B.根据，可由“内错角相等，两直线平行”证得：，故B选项能判定，不符合题意；C.根据，可由“内错角相等，两直线平行”证得：，而不能判定，故C选项符合题意；D.根据，可由“同旁内角互补，两直线平行”证得：，故D选项能判定，不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定定理：“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”是解题关键． （2）如图．下列条件：①∠1＝∠B；②∠2＝∠5；③∠3＝∠4；④，其中能得到的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理对各个条件进行逐一判断即可． 【详解】解： 同位角相等，两直线平行，故 正确； 内错角相等，两直线平行，故 正确； ，故 错误； ，故 错误．故选B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是本题解题的关键． 变式9.如图，要使ACBD，可以添加的条件是（　　　） ①∠1=∠2；②∠3=∠4 ；③∠A=∠DCE；④∠D=∠DCE；⑤∠A+∠ABD=180° A．①③ B．②④ C．①②③ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定，逐个判断即可． 【详解】解：①根据∠1=∠2，能推出ABCD，不能推出ACBD，不符合题意； ②根据∠3=∠4，能推出BDAC，符合题意； ③根据∠A=∠DCE，能推出ABCD，不能推出ACBD，不符合题意； ④根据∠D=∠DCE，能推出BDAC，符合题意； ⑤根据∠A+∠ABD=180°，能推出BDAC，符合题意； 综上，要使ACBD，可以添加的条件是②④⑤．故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 【过关检测】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行 B．不相交的两条直线一定平行 C．有且只有一条直线垂直已知直线 D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】根据平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故本选项错误，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直已知直线，故本选项错误，不符合题意； D、连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短，故本选项正确，符合题意；故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（    ） A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理的定义：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可直接得结论． 【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，， 当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．故选C． 【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键． 3．下列说法正确的是（         ） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c 【答案】A 【分析】根据题意对各选项逐一画出图形，从而进行判断即可． 【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示： 根据所画图形可知：A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平行线与垂直的性质，根据题意画出符合题意的图形即可解决问题． 4．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意； D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 5．如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：由，不能判定，故①不符合题意； ，，，，故②符合题意； 由，，不能判定，故③不符合题意； ，，，，故④符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键． 6．下列图形中，由能得到AB//CD的图形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可． 【详解】解：第一个图形，由∠1=∠2不能得到ABCD；故不符合题意； 第二个图形，∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DCA，∴ABCD，故符合题意； 第三个图形，由∠1=∠2不能得到ACBD；故不符合题意； 第四个图形，∵∠1=∠2，∴ABCD，故符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 7．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：①由可由同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； ②由可由同位角相等，两直线平行得到，符合题意； ③由可由内错角相等，两直线平行得到，符合题意； ④由可由内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； ⑤由可由内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 8．下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 9．如图，下列条件能判断的是__________（多选）． ①   ②    ③    ④ 【答案】①③④ 【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得． 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行可判断； ③，根据同旁内角互补，两直线平行可判断； ④， ，根据同旁内角互补，两直线平行可判断； 综上，能判断的是①③④，故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 10．在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________． 【答案】垂直 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵…1，∴与的位置关系是垂直．故答案为：垂直． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 11．如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作AB的垂线，垂足为点D；(2)过点P作BC的平行线，交AB于点E； (3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PD＜PE，见解析理由 【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）如图所示： PD 即为所求； （2）如图所示： PE 即为所求； （3）PD＜PE， 理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线段最短等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” ①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误） ②小萱做法的依据是________________________；③小冉做法的依据是________________________． （2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？ 【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）AB∥CD，BC∥DE； 【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可； （2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明； 【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；             ②如图， ∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；                         ③∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行； （2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1，∴∠ABC＝60°，    又∵∠2＝120°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD，    又∵∠2+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°，   ∵∠D＝60°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE； 【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键． 13．按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C． 求证：． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴（____________） 【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行； 【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可． 【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（对顶角相等） ∴∠ABF＝∠BFG（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠ABF（角平分线的定义） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠BFG（角平分线的定义） ∴∠EBF＝∠CFB， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查对顶角的定义及性质，平行线的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键． 14．在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．    (1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由； (2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； ②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______； (3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明． 【答案】(1)DF//AM，理由见解析(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．(3)选①证明见解析；选②证明见解析． 【分析】（1）先判断出∠BAC +∠CDE = 180°，可得∠C AM + ∠CDF= 90°，进而判断出 ∠CDF=∠CMA即可得出结论； （2）①，先判断出∠BAC =∠CDE，可得∠CAM =∠CDF,进而判断出∠CDF + ∠AMC= 90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC= ∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM + ∠F = 90°,即可得解答； （3）（2）中任选一个进行证明即可． （1）解：（1）DF//AM．理由如下： ∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE， ∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°， 又∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠CDF=∠CMA，∴BD//MF． （2）①∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CAM+∠AMC=90°，∴∠CDF+∠AMC=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM． ②∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM． 故答案为DF⊥AM． （3）解：选②证明． 证明如下： ∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE， ∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF， ∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠C AM =∠CDF是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$