专题01 因式分解（八大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题01 因式分解（八大题型） 【题型1: 因式分解的定义】 【题型2:公因式】 【题型3:提公因式】 【题型4: 因式分解-平方差】 【题型5: 因式分解-完全平方】 【题型6：提公因式与公式法综合】 【题型7：十字相乘法】 【题型8：因式分解的应用】 【题型1: 因式分解的定义】 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，符合题意； B、，不符合题意； C、中等号右边不是积的形式，不符合题意； D、中为分式，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各式变形中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫因式分解，等号的左边是一个多项式，右边是几个整式的积．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，右边不是几个整式的积的形式，本选项不符合题意； B、，是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； D、，是因式分解，本选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查因式分解，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、有分式，不是因式分解，错误； C、是因式分解，正确； D、右边不是积的形式，错误； 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，原分解错误，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟练掌握定义是关键．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【题型2:公因式】 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 9．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 10．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义解答即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：B． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： ；， 式子与的公因式是， 故选：A． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 【题型3:提公因式】 13．（2025·甘肃临夏·一模）分解因式： . 【答案】 【分析】本题考查分解因式．掌握提公因式法分解因式是解题关键． 直接运用提取公因式，即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为： 14．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解，解题的关键是对多项式因式分解，通过整体代入求代数式的值．先提公因式，将式子转化为的形式，再将直接代入求解即可． 【详解】解：， 将代入上式，， 故答案为：6． 15．（2025·河北石家庄·一模）若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的运用，代数式求值，利用提公因式法可得，再代入已知条件计算即可求解，掌握因式分解的运用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法；直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广东云浮·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 18．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）因式分解的结果为 ； 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用提取公因式法因式分解是解题的关键．利用取公因式法因式分解即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式．掌握提公因式法分解因式是解题关键．提取公因式即可分解因式． 【详解】 ． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4: 因式分解-平方差】 22．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵， ∴； 故选：D 23．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）若，，则的值为（） A．8 B．－8 C．6 D．－6 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，先把化成，再把代入，即可求出的值． 【详解】解：，， 故选：A． 24．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解． 【详解】解：， 由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等， 可得：，， 解得：，， 故选：C． 25．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知，，则多项式的值是（    ） A．10 B．16 C．39 D．78 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，求代数式的值，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．将因式分解，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵，． ∴原式． 故选：C． 26．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，则的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：21． 27．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 28．（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，利用平方差公式分解因式即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 30．（2025·江苏宿迁·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型5: 因式分解-完全平方】 31．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 32．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·江苏南通·期末）分解因式__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式：进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6：提公因式与公式法综合】 35．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 36．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 37．（24-25八年级上·山东临沂·期末）分解因式 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25八年级上·江西南昌·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）提公因式再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7：十字相乘法】 41．（2024八年级上·全国·专题练习）已知多项式分解因式后结果，则，的值为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解： ，，． 故选：D． 42．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 43．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 44．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （2）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （3）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （4）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 弄清阅读材料中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 【题型8：因式分解的应用】 46．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，“”形图形的面积为45，如果，那么 ． 【答案】15 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 因式分解（八大题型） 【题型1: 因式分解的定义】 【题型2:公因式】 【题型3:提公因式】 【题型4: 因式分解-平方差】 【题型5: 因式分解-完全平方】 【题型6：提公因式与公式法综合】 【题型7：十字相乘法】 【题型8：因式分解的应用】 【题型1: 因式分解的定义】 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各式变形中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【题型2:公因式】 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）多项式和的公因式是 ． 【题型3:提公因式】 13．（2025·甘肃临夏·一模）分解因式： . 14．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 15．（2025·河北石家庄·一模）若，，则代数式的值是 ． 16．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解 ． 17．（24-25八年级上·广东云浮·期末）分解因式： ． 18．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）因式分解的结果为 ； 19．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）分解因式： ． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分解因式： ． 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若，，则代数式的值为 ． 【题型4: 因式分解-平方差】 22．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）若，，则的值为（） A．8 B．－8 C．6 D．－6 24．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 25．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知，，则多项式的值是（    ） A．10 B．16 C．39 D．78 26．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，则的值为 ． 27．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）因式分解： ． 28．（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 29．（2025·江苏宿迁·模拟预测）因式分解： ． 30．（2025·江苏宿迁·一模）因式分解： ． 【题型5: 因式分解-完全平方】 31．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）因式分解： ． 32．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）因式分解： ． 33．（24-25八年级上·江苏南通·期末）分解因式__________． 34．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ． 【题型6：提公因式与公式法综合】 35．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 36．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）分解因式： (1)； (2)． 37．（24-25八年级上·山东临沂·期末）分解因式 (1) (2)． 38．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1) (2) 39．（24-25八年级上·江西南昌·期末）因式分解： (1)； (2)． 40．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【题型7：十字相乘法】 41．（2024八年级上·全国·专题练习）已知多项式分解因式后结果，则，的值为（  ） A．， B．， C．， D．， 42．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 43．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 44．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 45．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型8：因式分解的应用】 46．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，“”形图形的面积为45，如果，那么 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$