精品解析：广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

24-25学年雷州市新南方学校八年级第一次质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件无法判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 4. 在平面直角坐标系中，点和点的距离是（　　） A. B. 13 C. 5 D. 5. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形有两个锐角 7. 直角三角形两边长分别为5和12，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或13 C. 13 D. 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）        A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A B. C. D. 10. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母的取值范围是________． 12. 图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已知为直角，若段长，段比段长，则段的长度为________． 13. 计算的结果等于__________． 14. 当时，代数式值是___________． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 16. 如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： 18. 已知，求下列代数式值： （1）； （2）． 19 先化简，再求值： ，其中． 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 如图，已知中，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，在上取一点，使得，连接．探究线段与之间的数量关系． 21. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 22. （1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 五、解答题（13+14，共27分） 23. 阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： （1）猜想并证明：___________________（n为正整数）． （2）计算：； （3）已知，比较x和y的大小，并说明理由． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数； （3）在（）的条件下，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24-25学年雷州市新南方学校八年级第一次质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A.，故此选项不符合题意； B.最简二次根式，正确 C ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列条件无法判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出角度的度数或者利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：， 设， ， ， ， ，则是直角三角形，故选项A不符合题意； ，则是直角三角形，故选项B不符合题意； ， ，则是直角三角形，故选项C不符合题意； ，则不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 4. 在平面直角坐标系中，点和点的距离是（　　） A. B. 13 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握若，则，是解题的关键． 根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解． 【详解】∵点和点， ∴， 故选：A． 5. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为5． 故选：B． 【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形有两个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形，直角三角形的性质等知识，先对各个选项写出逆命题，然后进行判断即可得到答案，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，原选项逆命题错误，不符合题意； 、两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，原选项逆命题正确，符合题意； 、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，原选项逆命题错误，不符合题意； 、直角三角形有两个锐角的逆命题为：有两个锐角的三角形是直角三角形，原选项逆命题错误，不符合题意； 故选：． 7. 直角三角形两边长分别为5和12，则第三边长为（　　） A. 或 B. 或13 C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当12和5均为直角边时，第三边； 当12为斜边，5为直角边，则第三边， 故第三边的长为13或． 故选：B． 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）        A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理得，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故选：． 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系和全等三角形的判定和性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选C． 10. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式性质：二次根式的被开方数是非负数，得．解不等式可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得，； 故答案是：． 12. 图1是某区域的监控警示图标，图2是抽象出的几何模型，已知为直角，若段长，段比段长，则段的长度为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，掌握勾股定理是解题关键．设段的长度为，则段的长度为，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设段的长度为，则段的长度为， 由勾股定理得：， 则， 解得：， 即：段的长度为8， 故答案为：8． 13. 计算的结果等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式=-12-6=6 故答案为6 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14. 当时，代数式的值是___________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，二次根式混合运算，解题的关键是先将变形为，将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时， 原式． 故答案为：2023． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 16. 如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____． 【答案】2＜CD＜7 【解析】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0， 即（a−5）2＋（b−9）2＝0， ∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0， ∴a−5＝0，b−9＝0， 解得：a＝5，b＝9， ∴BC＝5，AC＝9， 延长CD到E，使DE＝CD，连接AE， ∵CD为AB边上的中线， ∴BD＝AD， 在△BCD和△AED中， ， ∴△BCD≌△AED（SAS）， ∴AE＝BC＝a， 在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE， ∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b， ∴＜CD＜， 则2＜CD＜7． 故答案为：2＜CD＜7． 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，化简绝对值，负整数指数幂，先化简算术平方根以及绝对值，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）99 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴． 小问2详解】 解：， ， ． ∴． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减混合运算进行化简，再将x的值代入计算即可 【详解】解：原式， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，正确计算是解题的关键． 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 如图，已知中，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，在上取一点，使得，连接．探究线段与之间的数量关系． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作法画图即可； （）证明，可得，，进而由三角形外角性质和等腰三角形的性质得，即得，得到，即可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的画法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求10秒后的值是解题的关键．开始时，米，米，即可求得的值，10秒后根据，长度即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在中，，米，米, （米）， 此人以的速度收绳，10秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， 米， 答：船向岸边移动了米． 22. （1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用“逼近法”分别求出确定a，b值，再求ab的值即可； （2）根据数轴可得出，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∵小数部分为a，5的小数部分为b， ∴， ∴； （2）由数轴可得出：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的知识点是求无理数的小数部分，二次根式的化简以及绝对值的化简，掌握“逼近法”，二次根式的性质以及绝对值的性质是解此题的关键． 五、解答题（13+14，共27分） 23. 阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 材料二：根式化简 例1：； 例2： （1）猜想并证明：___________________（n为正整数）． （2）计算：； （3）已知，比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据例2，可以写出相应的猜想； （2）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （3）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【小问1详解】 猜想： 证明： ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ， ， 故． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数； （3）在（）的条件下，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由全等三角形的性质得，由勾股定理得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，据此即可求解； （）延长到，使，连接，可得为等腰直角三角形，即得，得到三点共线，同理（）可证，得，，即得，利用勾股定理求得，得到，进而得到，即得，据此即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 即， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：延长到，使，连接， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$