立体几何中的平行关系 导学案-2025届高三数学二轮复习

立体几何中的平行关系 【学习目标】 1.理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。 2.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理和性质定理。 【知识梳理】 知识点一 直线与平面的位置关系： 知识点二 直线与平面平行的判定定理： 知识点三 直线与平面平行的性质定理： 知识点四 平面与平面的位置关系： 知识点五 平面与平面平行的判定定理： 知识点六 平面与平面平行的性质定理： [典例1]　已知如图所示，O是平行四边形ABCD所在的平面外一点，P，Q分别是AB，OC的中点 求证：PQ∥平面OAD. [变式训练1] 如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，点E，F分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：EF∥平面ABC . [典例2]　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1. [变式训练2] 已知在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC [当堂检测] 1.若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　　) A．相交　　B．平行 C．重合 D．不确定 2.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD. 　 3.已知：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点．求证：BD1∥平面AEC. 4.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD相交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，点S在平面α，β之间(如图)，求CS的长． 【课堂小结】 你本节课的收获 印数：3600 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的平行关系 【学习目标】 1.理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。 2.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理和性质定理。 【知识梳理】 知识点一 直线与平面的位置关系： 相交、平行、在平面内 知识点二 直线与平面平行的判定定理： 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条平面外的直线与这个平面平行 知识点三 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行 知识点四 平面与平面的位置关系： 平行、相交 知识点五 平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面内有__两条相交______直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 知识点六 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线平行于另一个平面 [典例1]　已知如图所示，O是平行四边形ABCD所在的平面外一点，P，Q分别是AB，OC的中点 求证：PQ∥平面OAD. [证明]　取OD的中点N，连接NQ，AN. 因为Q，N分别是OC，OD的中点， 所以NQ∥CD，NQ＝CD. 又AP∥CD，AP＝CD， 所以AP∥NQ，AP＝NQ，所以四边形APQN是平行四边形， 所以PQ∥AN. [变式训练1] 如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，点E，F分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：EF∥平面ABC . [证明]　在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因为EF 平面ABC，AB⊆平面ABC，所以EF∥平面ABC. [典例2]　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1. [证明]　由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC. 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E∥DB且C1E＝DB， 所以四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D. 又C1D⊆平面ADC1，EB 平面ADC1，所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理可证四边形EDAA1为平行四边形， 所以A1E∥AD.又A1E 平面ADC1， AD⊆平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 因为A1E⊆平面A1EB，EB⊆平面A1EB， 且A1E∩EB＝E. 又由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1. 所以平面A1EB∥平面ADC1. [变式训练2] 已知在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC [证明]　因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又因为DE 平面ABC，AB⊆平面ABC， 所以DE∥平面ABC. 同理可知：EF∥平面ABC. 又因为DE⊆平面DEF，EF⊆平面DEF，且DE∩EF＝E， 所以平面DEF∥平面ABC. [当堂检测] 1.若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　A　) A．相交　　B．平行 C．重合 D．不确定 2.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD. 　 [证明]　因为EH∥FG，EH 平面BCD，FG⊆平面BCD， 所以EH∥平面BCD. 又因为EH⊆平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以EH∥BD. 3.已知：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点．求证：BD1∥平面AEC. [证明]　连接BD，BD交AC于点O，连接EO. 因为E，O分别为DD1，DB的中点， 所以EO∥BD1. 因为BD1 平面AEC，EO⊆平面AEC， 所以BD1∥平面AEC. 4.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD相交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，点S在平面α，β之间(如图)，求CS的长． [解]　设AB，CD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 因为α∥β，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以ASBS ＝CSDS .设CS＝x，则89 ＝x34－x ， 所以x＝16，即CS＝16. 【课堂小结】 你本节课的收获 印数：3600 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$