清单02 实数（3考点梳理+11题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024）

清单02 实数（3考点梳理+11题型解读） 清单01 平方根 1.算术平方根 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 2.平方根 (1)平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x²=a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根. (2)平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0. 负数没有平方根， (3)平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5. 3.平方根的估算 要估算“ (a≥0)”的近似值， 第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3; 第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 清单02 立方根 1.立方根和开立方 (1)一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根. (2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根. 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”",其中a是被开方数,3是根指数.如表示8的立方根, =2;表示-8的立方根, =-2,中的根指数3不能省略， 3.立方根的性质 (1)正数的立方根是正数. (2)负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 4.平方根与立方根的联系与区别 (1)联系 都与相应的乘方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算. 0的平方根和立方根都是它本身. (2)区别 在用符号表示平方根时,根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时,根指数3不能省略. 平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有. 正数的平方根有两个,而正数的立方根只有1个. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数,它们的立方根-2和2也互为相反数.即=--. 清单03 8实数及其简单运算 1.无理数 (1)无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数.如 , , ,0.808 008 000 8...都是无理数. (2)常见的无理数 所有开方开不尽的方根,如. 化简后含有π的数,如- 无限不循环小数，如0.320 030 250... 2.实数的定义 有理数和无理数统称为实数. 3.实数与数轴上的点的对应关系 我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数. 4.实数的运算 (1)实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用. (2)实数运算的顺序 先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减，同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的.实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去(添)括号法则同样适用于实数. 【考点题型一】平方根（） 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，平方根，熟练掌握运算法则确定与的值是解本题的关键． 根据题意，利用平方根的定义求出与的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵的平方是9，的平方是25， ∴，， 又∵，即， ∴或， ∴或， 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 【变式1-4】（23-24七年级下·广西柳州·期中）求下列式中的值：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【考点题型二】算数平方根（） 【例2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性，利用非负性可得，再整体代入求值即可． 【详解】由题可知， ， 得； 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可． 【详解】已知一个正方形的面积是， 则这个正方形的边长为， 这个正方形的边长是． 故选：A． 【变式2-2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的非负性和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，，根据非负性，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故选C． 【变式2-3】（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故答案为：36． 【变式2-4】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 【变式2-5】（23-24七年级下·山东临沂·期中）为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，学校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封 【分析】本题考查了算术平方根的应用，通过利用平方根解方程，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键；设长方形信封的长为，宽为，根据长方形的面积求出长方形的宽，根据正方形的面积，求出正方形的边长，再比较即可判断； 【详解】小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由如下： 设长方形信封的长为，宽为， 长方形面积为， ， ， 解得， 长方形的宽为， 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长为， ， ， ， 小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 【变式2-6】（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或或 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的性质，平移规律是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点P作，利用平行线的性质即可得三角的关系； （3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由于，且， 所以， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ； 点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ； 而， ； （3）解：存在； ①当点M在x轴上时， 由平移知，，， ； 设点M坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点M在y轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点M的坐标为或或或． 【考点题型三】立方根（） 【例3】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】题主要考查了立方根，平方根，算术平方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先根据立方根和平方根的定义得到关于a、b的值，再由绝对值的性质可求出c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是绝对值最小的数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式3-1】（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 【变式3-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式3-3】（22-23七年级下·广西南宁·期中）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据正方体体积公式及立方根定义解答． 【详解】解：设这个正方体的棱长为，根据题意得， ， ， 故答案为：． 【变式3-4】（22-23七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是，，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与立方根可进行求解． 【详解】解：由的平方根是可得：， 解得：， 由可得， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题主要考查立方根、算术平方根及平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键． 【变式3-5】（23-24七年级下·广东惠州·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3-6】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式3-7】（23-24七年级下·北京·期中）一个正数的平方根是和，求这个数的立方根． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．利用平方根定义求出x的值，确定出这个数的立方根即可； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 解得，， ∴ ∴这个数为64， 故这个数的立方根为：4． 【变式3-8】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长及表面积； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)棱长为厘米，表面积为平方厘米 (2)5厘米 【分析】本题考查了立方根、平方根的应用，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答即可； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为x厘米，根据题意列出式子计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，该正方体铁块的棱长为（厘米）； 该正方体铁块的表面积为（平方厘米）； （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为x厘米． 由题意，得， 解得（负值已舍去）． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 【变式3-9】（23-24七年级下·广西百色·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【答案】（1），；（2）3，；（3） 【分析】本题考查饿了立方根、负整数指数幂，理解题意，正确计算是解此题的关键． （1）根据阅读材料中次方的定义计算即可得解； （2）根据阅读材料中对数定义计算即可得出答案； （3）根据如果，，，，那么，结合（2）中对数定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， 81的四次方根等于， ， 的五次方根等于； （2）， ， ， ； （3）， ． 【考点题型四】实数的概念与分类（） 【例4】（24-25七年级下·全国·期中）实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行解答，即可． 【详解】解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，共个． 故选C． 【变式4-1】（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的绝对值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的性质，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据相反数的定义可求得结果，注意整体前面加上一个负号是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 即为：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·期中）满足的整数是 ． 【答案】、、、 【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根、立方根的意义是解题关键．根据算术平方根、立方根的意义估算，的整数部分，进而得出答案． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴满足的整数有、、、． 故答案为：、、、． 【考点题型五】实数与数轴（） 【例5】（23-24七年级下·四川广安·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，先根据数轴推出，据此计算算术平方根和立方根以及绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根化简，先根据数轴得出实数a的取值范围，再根据算术平方根的性质化简即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴原式． 故选：A． 【变式5-2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数大小，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 【变式5-4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    【答案】（1）；（2）；（3）见解析，见解析． 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先根据大正方形的面积为，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可； 此题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，解题的关键是借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 【详解】解：（）∵面积为的大正方形就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，即 故答案为：； （）如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （）∵大正方形的面积是， ∴小正方形的对角线长为， 则作图如下图：   如图点就是的位置．    【考点题型六】实数的大小比较（） 【例6】（23-24七年级下·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的方法：∵， ∴， ∴， 小英的方法：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：选小明的方法： ∵， ∴， ∴， 选小英的方法： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级上·山东东营·期中）比较大小： 1． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握：两个正数比较大小的方法．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·全国·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键，先求出两者的差，根据差的正负即可比较大小． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”连接上述各数． ，，0，，． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了数轴及实数的大小比较，掌握数轴的定义及实数的大小比较方法是解题的关键． 先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“”把各数连接起来． 【详解】解：， 在数轴上表示为： ． 【变式6-4】（23-24七年级下·福建福州·期中）某市规划A，B两块空地种植花卉，A空地为正方形，B空地为长与宽之比是的长方形，若两块空地的面积都为，现打算分别在两块空地的四周都围上栅栏，请比较这两块空地所需栅栏长度的大小？并说明理由． 【答案】B空地所需的栅栏长度比较大 【分析】本题考查算术平方根的应用，实数大小比较，根据正方形和长方形的面积公式求出正方形的边长和长方形的长和宽，进而求出正方形的周长，长方形的周长，比较大小即可． 【详解】解：B空地所需的栅栏长度比较大，理由如下： ∵A，B空地的面积都为， ∴A空地的边长为m ∴A空地所需的栅栏的长度为m 设B空地长为，宽为． 根据边长与面积的关系，得 因为，解得 ∴B空地所需的栅栏的长度为m ∵ ∴B空地所需的栅栏长度比较大． 【变式6-5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形． (1)求出图1中正方形的面积及其边长； (2)如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动： ①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m； ②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n． 试求m，n的值并比较m与n的大小． 【答案】(1)正方形的面积为2，边长为； (2)，，． 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键； （1）先根据算术平方根的应用求出正方形的边长，再根据面积公式求出面积； （2）①由数轴及（1）可得此时点B所表示的数为m的值，②根据数轴的特点得出n的值，然后再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴A、B、C、D为各边的中点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：①由数轴及（1）可得：， ②， ∵， ∴， ∴． 【考点题型七】实数的运算（） 【例7】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)13 (2)4 【分析】（1）根据算术平方根、乘方，去绝对值运算、实数的混合运算分别计算即可得到答案． （2）根据算术平方根、立方根、去绝对值运算、实数的混合运算分别计算即可得到答案． 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的混合运算，根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·期中）求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根解方程，掌握平方根、立方根的计算是解题的关键． （1）运用平方根的计算可得，由此即可求解； （2）先移项得，等式两边同时除以，再根据立方根的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： 等式两边同时开方得，， 移项得，， ∴； （2）解： 移项、合并得，， 两边同时除以得，， 等式两边同时开立方得 ，， 移项、合并得，， 等式两边同时除以得，． 【变式7-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先算乘方，开方，绝对值，再算加减即可； （2）先算乘方和开方，计算括号内减法，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-5】（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)实数a，b的这种新运算满足交换律； 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 的平方根为 （3）解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 【变式7-6】（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【详解】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 【考点题型八】无理数的大小估算（） 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，有理数乘方的应用，由题意得出与35最接近的平方数，即 ， 然后可判断的范围，即可判断出来． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故，与最接近的是：4， 故选：C． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解题的关键．根据得出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴整数不可能是． 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，而整数满足条件， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4． (1)请计算阴影部分的面积． (2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数． 【答案】(1) (2)周长更接近6 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的估算，解决本题的关键是要能够由正方形的面积表示出正方形的边长． （1）先根据算术平方根的意义求出两个正方形的边长分别是，2，然后根据长方形的面积公式求解即可； （2）先求出周长为，然后根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为10和4， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：阴影部分的周长为， ∵，， ∴， ∵， ∴以周长更接近6． 【变式8-5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 【变式8-6】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点表示的数为多少？ ②若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2024次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【答案】(1)10；边长为；这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为：；② 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，无理数的估算． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②根据每次翻滚增加正方形边长，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； ， ， 这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，， ； （3）解：①点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ②∵正方形的边长为， 第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2024次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 【考点题型九】实数的小数点移动（） 【例9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 【例9-2】（七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【答案】(1)右；一； (2)0.235；23.5； (3)19.13；191.3 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 【变式9-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 【变式9-2】（23-24七年级下·福建福州·期中）已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律问题，根据被开方数乘以100，对应算术平方根乘以10即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 【变式9-4】（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位． （2），，． 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据表格数据总结规律即可； （2）根据规律即可求得答案． 【详解】（1）由时，； 时，； 时，； 时，； 可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位； （2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位， 可知， ， ． 【变式9-5】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 【考点题型十】实数的整数部分与小数部分（） 【例10】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 【变式10-1】（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式10-2】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知为的整数部分，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键； 本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4； 故答案为：4； 【变式10-3】（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a、b分别是的整数和小数部分，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数的混合运算，先估算，可得，，再代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ ． 【变式10-4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式10-5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是多少？该正方形的边长为多少？ (2)估计正方形边长的值在哪两个整数之间？ (3)设该正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 【答案】(1)面积是10，边长为 (2)3和4之间 (3) 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根应用，结合图形及已知条件求得正方形的面积及边长是解题的关键． （1）根据图形，利用大三角形的面积减去4个小三角形的面积即可求得阴影部分正方形的面积，继而求得其边长； （2）利用无理数的估算即可求得答案； （3）结合（2）中所求结果即可求得，的值，然后代入中利用相反数定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， 即图中阴影部分正方形的面积是10，边长为； （2）解：， ， 即正方形边长的值在3和4之间； （3）解：由（2）可得，， 则， 其相反数为． 【变式10-6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 【变式10-7】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 【考点题型十一】实数的规律探究（） 【例11-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）利用所得规律求解可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． 【例11-2】（22-23七年级下·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． （1），，且，得出，即可得出结论； （2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论 （3）根据，，且，即可得出结论； （4）先用（1）的方法确定是两位数，再用（2）的方法确定个位数字为9，再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则；同理可得：；1． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 【变式11-1】（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 【答案】(1)168 (2)①378，②1512，168，③3 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）①由可得，即可解答；②，，（t，m为正整数，且），由已知条件可得，进行求解即可；③设，，（x，y，z为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：168． （2）①∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：378． ②∵ ∴， 由① ∴ 设，，（t，m为正整数，且） ∴，即，则， ∵，而时，，则， ∴， ∴， 故答案为：1512，168． ③设，，（x，y，z为正整数而且）， ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ， 当时，，此时，， 当时，，∴， 当时，同②，，，， 当时，，，，， 综上所述，“三元数组”共有3个． 故答案为：3． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 【变式11-3】（22-23七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 【答案】(1)6，27 (2)或 (3) 【分析】（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据原题的算式写出规律即可； （3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6，27； （2）由题意得到或； （3） ； 【点睛】此题考查了二次根式的运算，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键． 【变式11-4】（22-23七年级下·辽宁大连·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：由题意得： ； （3）解：∵； ； ； ……； ∴，…..； ∴， 即， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【变式11-5】（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （3）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（3考点梳理+11题型解读） 清单01 平方根 1.算术平方根 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 2.平方根 (1)平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x²=a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根. (2)平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0. 负数没有平方根， (3)平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5. 3.平方根的估算 要估算“ (a≥0)”的近似值， 第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3; 第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 清单02 立方根 1.立方根和开立方 (1)一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根. (2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根. 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”",其中a是被开方数,3是根指数.如表示8的立方根, =2;表示-8的立方根, =-2,中的根指数3不能省略， 3.立方根的性质 (1)正数的立方根是正数. (2)负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 4.平方根与立方根的联系与区别 (1)联系 都与相应的乘方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算. 0的平方根和立方根都是它本身. (2)区别 在用符号表示平方根时,根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时,根指数3不能省略. 平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有. 正数的平方根有两个,而正数的立方根只有1个. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数,它们的立方根-2和2也互为相反数.即=--. 清单03 8实数及其简单运算 1.无理数 (1)无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数.如 , , ,0.808 008 000 8...都是无理数. (2)常见的无理数 所有开方开不尽的方根,如. 化简后含有π的数,如- 无限不循环小数，如0.320 030 250... 2.实数的定义 有理数和无理数统称为实数. 3.实数与数轴上的点的对应关系 我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数. 4.实数的运算 (1)实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用. (2)实数运算的顺序 先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减，同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的.实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去(添)括号法则同样适用于实数. 【考点题型一】平方根（） 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24七年级下·广西柳州·期中）求下列式中的值：． 【考点题型二】算数平方根（） 【例2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【变式2-2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-3】（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，这个正方体的体积是： 且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是 ． 【变式2-4】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【变式2-5】（23-24七年级下·山东临沂·期中）为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，学校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．小芳制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【变式2-6】（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【考点题型三】立方根（） 【例3】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式3-1】（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【变式3-3】（22-23七年级下·广西南宁·期中）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 【变式3-4】（22-23七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是，，求的算术平方根． 【变式3-5】（23-24七年级下·广东惠州·期中）解方程： 【变式3-6】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【变式3-7】（23-24七年级下·北京·期中）一个正数的平方根是和，求这个数的立方根． 【变式3-8】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长及表面积； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【变式3-9】（23-24七年级下·广西百色·期中）【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在中，三者的关系． 同学甲：在中，已知，求，这是我们学过的乘方运算，其中叫做的次方． 如：，则是的3次方． 同学乙：在中，已知，求，这是我们学过的开方运算，其中叫做的次方根， 如：，则是4的二次方根（即平方根）； ，则是的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于______，的五次方根等于______； 同学丙：老师，在中，如果已知和，那么如何求呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知，可以求，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若，则叫做以为底的对数，记作：． 例如：，则3叫做以2为底8的对数，记作． 结合上面的学习，请你计算： （2）______，______； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果，，，，那么． （3）请利用上述性质计算：． 【考点题型四】实数的概念与分类（） 【例4】（24-25七年级下·全国·期中）实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的绝对值为 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的相反数是 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【变式4-4】（24-25七年级下·全国·期中）满足的整数是 ． 【考点题型五】实数与数轴（） 【例5】（23-24七年级下·四川广安·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 【变式5-2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ____________________． 【变式5-4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    【考点题型六】实数的大小比较（） 【例6】（23-24七年级下·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【变式6-1】（24-25七年级上·山东东营·期中）比较大小： 1． 【变式6-2】（23-24七年级下·全国·期中）比较大小： ． 【变式6-3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”连接上述各数． ，，0，，． 【变式6-4】（23-24七年级下·福建福州·期中）某市规划A，B两块空地种植花卉，A空地为正方形，B空地为长与宽之比是的长方形，若两块空地的面积都为，现打算分别在两块空地的四周都围上栅栏，请比较这两块空地所需栅栏长度的大小？并说明理由． 【变式6-5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形． (1)求出图1中正方形的面积及其边长； (2)如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动： ①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m； ②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n． 试求m，n的值并比较m与n的大小． 【考点题型七】实数的运算（） 【例7】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算的值为 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·期中）求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【变式7-4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-5】（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【变式7-6】（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【考点题型八】无理数的大小估算（） 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数满足条件，则的值是 ． 【变式8-4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4． (1)请计算阴影部分的面积． (2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数． 【变式8-5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【变式8-6】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点表示的数为多少？ ②若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2024次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【考点题型九】实数的小数点移动（） 【例9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【例9-2】（七年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___． (3)类比上述立方根运算：已知，则___，___． 【变式9-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级下·福建福州·期中）已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【变式9-3】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【变式9-4】（1）观察下表，你能得到什么规律？ （2）已知，根据上述规律求，，的近似值． 【变式9-5】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【考点题型十】实数的整数部分与小数部分（） 【例10】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【变式10-1】（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【变式10-2】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知为的整数部分，则的值为 ． 【变式10-3】（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a、b分别是的整数和小数部分，求式子的值． 【变式10-4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式10-5】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是多少？该正方形的边长为多少？ (2)估计正方形边长的值在哪两个整数之间？ (3)设该正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 【变式10-6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【变式10-7】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【考点题型十一】实数的规律探究（） 【例11-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）先观察下列各式：；；；； (1)计算：_________； (2)已知为正整数，通过观察并归纳，请写出_________； (3)应用上述结论，计算的值． 【例11-2】（22-23七年级下·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【变式11-1】（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． (1)若正整数a使得，则a的值为 ； (2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【变式11-3】（22-23七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算， (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， (3)计算： 【变式11-4】（22-23七年级下·辽宁大连·期中）问题情境： 数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ； ； ； …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：______； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【变式11-5】（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$