第10讲：正态分布【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第10讲：正态分布 【考点梳理】 · 考点一、正态曲线的认识 · 考点二、标准正态分布应用 · 考点三：指定区间概率 · 考点四：特殊区间的概率 · 考点五、3σ原则的应用 · 考点六：正态分布的对称性求参数 · 考点七：正态分布的实际应用 【知识梳理】 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 【题型探究】 题型一、正态曲线的认识 1．(21-22高二下·河南南阳·期末)已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【来源】河南省南阳市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 2．(21-22高二下·浙江温州新力量联盟·期中)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州新力量联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【详解】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 3．(21-22高二下·江苏常州金坛区·期中)如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【来源】江苏省常州市金坛区2021-2022学年高二下学期期中数学试题 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 题型二、标准正态分布应用 4．(21-22高二下·广东广州荔湾区·期末)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【来源】广东省广州市荔湾区2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 5．(22-23高二下·上海崇明区·期末)某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【来源】上海市崇明区2022-2023学年高二下学期期末数学试题 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 6．(21-22高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确； 乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确； 由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确； 由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确. 故选：B. 题型三：指定区间概率 7．(24-25高二下·天津第五中学·月考)如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 故选：. 8．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 9．某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 【答案】B 【来源】7.5 正态分布 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性逐项判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； 女生身高在和男生身高在的概率一样，人数未知，D错误． 故选：B 题型四：特殊区间的概率 10．(23-24高二下·福建福州八县（）协作校·期末)已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】由结合对称性得出，再由对称性得出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以A正确； 故选：A 11．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 【答案】B 【来源】7.5正态分布 第一课 解透课本内容 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】因为， 故人数为， 故选：B. 12．(23-24高二下·福建宁化第一中学·)红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【来源】福建省宁化第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试数学试题 【分析】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 题型五、3σ原则的应用 13．(23-24高二下·江苏南通·)某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果.服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 附：随机变量服从正态分布，则，. A．456 B．558 C．584 D．651 【答案】B 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期3月质量监测数学试题 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为， 故人数为， 故选：B 14．(24-25高三上·江西部分高中学校·期末)某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 【答案】B 【来源】江西省部分高中学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷 【分析】求出，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 15．(24-25高二上·吉林“BEST合作体”·期末)某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【来源】吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 题型六：正态分布的对称性求参数 16．(24-25·福建厦门·)已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】C 【来源】福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷 【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 17．(24-25高二上·河北盐山中学·月考)设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【来源】河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期12月月考（模块综合卷）数学试题 【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以根据正态分布的性质，可得，解得. 故选：D. 18．已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【来源】2025年高考领航卷数学卷（八） 【分析】利用正态分布的对称性得出，再由基本不等式计算即可. 【详解】因为随机变量，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值4. 故选：C. 题型七：正态分布的实际应用 19．(24-25高二下·辽宁名校联盟·)某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)80，0.8185 (2)①，② 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二下学期3月份联合考试数学试题 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 （2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， 20．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【来源】陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学试题 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 21．(24-25高二上·黑龙江新时代高中教育联合体·期末)某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)71分 (2)①②分布列见解析，13 【来源】黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高二上学期期末联合考试数学试卷B 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 【高分达标】 一、单选题 1．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】C 【来源】云南省大理白族自治州2025届高三第二次复习统一检测数学试题 【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同， 所以， 故选：C 2．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】训练十八 正态分布 【分析】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案. 【详解】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，越小，故有． 故选：A. 3．(24-25高二上·河南焦作·期末)西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 【答案】D 【来源】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：D 4．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】C 【来源】河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 5．(24-25高三上·山东青岛第二中学·期末)“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省青岛第二中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 6．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【来源】江西省南昌中学三经路校区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 7．(23-24高二下·福建长乐第一中学·月考)已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【来源】福建省长乐第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B 8．(23-24高二下·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期末)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【来源】新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高二下学期7月期末监测数学试题 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 二、多选题 9．(24-25高二上·江西九江·期末)已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可. 【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确； 对于选项B，因为 ，所以， 故B错误； 对于选项C，因为， 故C错误； 对于选项D，，故D正确． 故选：AD. 10．(24-25高二上·广西桂林·期末)在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【来源】广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率. 对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题. 11．若随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】7.5 正态分布 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】由正态分布的性质逐项判断. 【详解】，A正确； 因为，所以，B错误； ，故C正确； ，， ，D错误． 故选：AC. 12．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【来源】【课后练】 3.3 正态分布 课后作业-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 13．(24-25高三上·江苏苏州·)若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【来源】江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月适应性数学试卷 【分析】由题意可得随机变量，即可判断AB选项，根据题中数据结合正态分布性质求，，即可判断CD. 【详解】由题设可知，，则随机变量， 可得随机变量的标准差为，可得A错误，B正确； 因为 ，即C正确； 易知，即D错误. 故选：BC 14．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】ACD 【来源】四川省成都市树德中学2025届高三上学期10月阶段性测试数学试题 【分析】确定，，逐项判断即可. 【详解】由题意知，坐公交车所花时间，骑自行车所花时间，A正确. 对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，错误； 对于C、D， 由， 且， 应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 15．(23-24高二下·西藏拉萨·期末)已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】 【来源】西藏拉萨市2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 16．(24-25高三上·江苏南京中华中学·期中)已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【来源】江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 17．(23-24高二下·浙江宁波鄞州中学·期中)已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 【答案】/ 【来源】浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以，故， 又随机变量Y服从正态分布，所以， 所以. 故答案为：. 18．(23-24高二下·河南商丘二十校·期中)已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【答案】 【来源】河南省商丘市二十校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 19．(23-24高二下·河南驻马店·期末)二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 【答案】 【来源】河南省驻马店市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试题 【分析】先计算出二项分布的均值和方差，符合给定定义后求出正态分布的基本量，结合正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为， 同时设正面向上的次数为，则， 所以，， 此时符合，故有， 且，，设所求概率为， 因为， 所以由正态分布对称性得. 故答案为： 三、解答题 20．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 21．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 22．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【来源】微专题9 随机变量的分布列、期望、方差 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 23．某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 【答案】(1)生产线出现异常，理由见解析 (2)均值为，方差为 【来源】【课后练】 3.3 正态分布 课后作业-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】（1）借助正态分布的性质计算可得小概率事件多次发生，故可视为生产线出现异常； （2）计算出次品率后可得，结合二项分布的期望与方差公式可得、，结合期望与方差的性质即可得X的均值及方差. 【详解】（1）依题意，有， 所以正常产品尺寸的范围为， 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为，故生产线出现异常； （2）依题意，尺寸在以外的就是次品，故次品率为， 记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布， 则， 因为， 所以X的均值（元）， 方差. 24．(24-25高三上·山东师范大学附属中学·)为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【来源】山东师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月阶段性检测数学试题 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 25．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【来源】2025届四川省内江市高三一模考试数学试题 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：正态分布 【考点梳理】 · 考点一、正态曲线的认识 · 考点二、标准正态分布应用 · 考点三：指定区间概率 · 考点四：特殊区间的概率 · 考点五、3σ原则的应用 · 考点六：正态分布的对称性求参数 · 考点七：正态分布的实际应用 【知识梳理】 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 【题型探究】 题型一、正态曲线的认识 1．(21-22高二下·河南南阳·期末)已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(21-22高二下·浙江温州新力量联盟·期中)设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高二下·江苏常州金坛区·期中)如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 题型二、标准正态分布应用 4．(21-22高二下·广东广州荔湾区·期末)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 5．(22-23高二下·上海崇明区·期末)某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 6．(21-22高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 题型三：指定区间概率 7．(24-25高二下·天津第五中学·月考)如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 9．某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 题型四：特殊区间的概率 10．(23-24高二下·福建福州八县（）协作校·期末)已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 12．(23-24高二下·福建宁化第一中学·)红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 题型五、3σ原则的应用 13．(23-24高二下·江苏南通·)某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果.服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 附：随机变量服从正态分布，则，. A．456 B．558 C．584 D．651 14．(24-25高三上·江西部分高中学校·期末)某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 15．(24-25高二上·吉林“BEST合作体”·期末)某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 题型六：正态分布的对称性求参数 16．(24-25·福建厦门·)已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 17．(24-25高二上·河北盐山中学·月考)设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 18．已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：正态分布的实际应用 19．(24-25高二下·辽宁名校联盟·)某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数招X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 20．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 21．(24-25高二上·黑龙江新时代高中教育联合体·期末)某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【高分达标】 一、单选题 1．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 2．如图是正态分布，，（，，）对应的曲线，则，，的大小关系是（   ）    A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河南焦作·期末)西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 4．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 5．(24-25高三上·山东青岛第二中学·期末)“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西南昌中学三经路校区·期末)学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 7．(23-24高二下·福建长乐第一中学·月考)已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 8．(23-24高二下·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期末)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 二、多选题 9．(24-25高二上·江西九江·期末)已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·广西桂林·期末)在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 11．若随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 13．(24-25高三上·江苏苏州·)若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 14．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 三、填空题 15．(23-24高二下·西藏拉萨·期末)已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 16．(24-25高三上·江苏南京中华中学·期中)已知，若，曲线的对称中心为，则 . 17．(23-24高二下·浙江宁波鄞州中学·期中)已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 18．(23-24高二下·河南商丘二十校·期中)已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 19．(23-24高二下·河南驻马店·期末)二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若，则，， 三、解答题 20．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 21．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 22．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 23．某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 24．(24-25高三上·山东师范大学附属中学·)为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 25．某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$