专题3 同位角、内错角、同旁内角 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题3 同位角、内错角、同旁内角 一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1.同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。 注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角 2.内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角） 注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角 3.同旁内角的概念：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。 注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c的同一侧；②且两个角在a、b两条直线的内侧 例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。 注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。同位角可能相等，也可能不相等；内错角可能相等，也可能不相等；同旁内角可能互补，也可能不互补。角度之间没有什么特殊数量关系，而是位置关系。 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. (4)①这三类角都是成对出现的；②这三类角必须是两直线被第三条直线所截而成的；③每对角的顶点都不相同 二、同位角、内错角、同旁内角的图形特点和判定方法 1.方法一、定义法：如下图： ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角 例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系 例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。 内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。 同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。 2.方法二、像形识别法：①同位角：F ②内错角：Z ③同旁内角：C（或U） (1)同位角．如下图所示的各个图形中的与都是同位角． 总结：成“F”形． (2)内错角．如下图所示的各个图形中的与都是内错角． 总结：成“Z”形． (3)同旁内角．如下图所示的各个图形中的与都是同旁内角． 总结；成“U”形． 判定方法：在判定同位角、内错角、同旁内角时应注意以下两点： (1)位置特点：同位角都在两直线的上方（或都在下方），且都在第三条直线的同侧；内错角和同旁内角都在两直线之间，内错角分别在第三条直线两侧，同旁内角在第三条直线同侧． (2)图形特点：同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”，另外，这三类角中，不管是哪一类，都只涉及到三条直线，如果两个角的两边分别在四条或两条直线上．那么就不属于这三类角． 三、三线八角模型 1.定义：两条直线被第三条直线所截，构成的八个角. 2.三线八角中的各种关系角的对数：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 3.“三线八角”识别步骤------“一看三线，二看截线，三看位置” 第一步：先明确“三线”、“截线”与“另两线” ①“三线”：即组成两个角的四条边中，有一条边是共同的，所以两个角是由三条线相交组成的； ②“截线”与“另二线”：组成两个角的四条边中，那条共同的边就是“截线”；其余两条边就是“另两线”； 如图，∠B的两条边分别是射线AB与线段BC，∠C的两条边分别是线段BC与射线CD，其中线段BC是共同的边，它就是“截线”；而另两条射线AB、CD就是“另二线”。 第二步：明确位置-----从角的名称的语文理解角度，用两个方位位置确认各类角 ①同位角的识别方法：“同位角”，相同位置的两个角，“相同位置”指的是两个位 置相同：两线的同上或同下；截线的同左或同右（同一侧）。如图中的 ∠1与∠5：均位于“两线”的上方、“截线”右侧（即均位于图形的右上角）； ∠2与∠6：均位于“两线”的上方、“截线”左侧（即均位于图形的左上角）； ∠3与∠7：均位于“两线”的下方、“截线”左侧（即均位于图形的左下角）； ∠4与∠8：均位于“两线”的下方、“截线”右侧（即均位于图形的右下角）； ②内错角的识别方法：“内错角”，在图形内部，且位置相错的两个角，“图形内部” 指的是“两线的内部”，“相错”指的是分别位于“截线”的两侧。如图中的 ∠3与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠3在截线的左侧、∠5在截线的右侧）； ∠4与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠4在截线的右侧、∠5在截线的左侧）； ③同旁内角的识别方法：“同旁内角”，在图形的内部，且位置在同一侧的两个角，“图形内部”指的是“两 线的内部”，“同一侧”指的是均位于“截线”的同一侧。如图中的 ∠3与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”左侧； ∠4与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”右侧； 例1．下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.图中与是同位角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列各组角中，是同位角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例2．如图，直线a，b被直线c所截，则形成的角中与∠1互为内错角的是______． 【变式训练】 1.下列图中∠1与∠2是内错角的是（  ） A．B．C． D． 2．下列四个图形中，和是内错角的是（    ） A．B．C．D． 3．如图，∠1的内错角是（     ） A．∠3 B．2 C．∠4 D． 例3．如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷被直线𝐸𝐹所截，则∠1的同旁内角是（　　） A．∠2 B．∠3 C． D． 【变式训练】 1.如图，下列各角与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．图中同旁内角的对数是（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，已知直线、被直线所截，那么∠1的同旁内角是（ ） A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2 例题4：如图，在所标识的角中，∠1与____是同位角，∠2与_____是内错角，∠5与____是同旁内角． 【变式训练】 1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的． 2．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角． 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形（    ） A．B．C． D． 2．下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B． C． D． 3．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 4．春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 5．如图，直线，相交于点，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（    ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点A到的垂线段是线段；④点C到的垂线段是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如图，∠1和∠2是________角，∠2和∠3是________角． 8．如果∠A＝65°，那么∠A的邻补角的度数为_______；∠A的对顶角的度数为________． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC+∠BOD＝90°，则∠BOC的度数为_____． 10．如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于______. 11．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOD，若∠DOE＝20°，则∠BOC＝_____． 12．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．   三、解答题 13．如图，(1)∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线______，______被第三条直线_______所截而成的； (2)∠2的同位角是______，∠1的同位角是 _________； (3)∠3的内错角是______，∠4的内错角是 _________； (4)∠6的同旁内角是______________，∠5的同旁内角是________. 14．如图，直线BD上有一点C，则： (1)∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线_____所截得的____角； (2)∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线____所截得的_____角； (3)∠3和∠ABC是直线_____、_____被直线_____所截得的____角； (4)∠ABC和∠ACD是直线____、_____被直线_____所截得的角； (5)∠ABC和∠BCE是直线_____、______被直线所截得的_____角． 15．如图，在所标注的角中． (1)对顶角有_________对，邻补角有_________对； (2)若，，求与的度数． 16．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE． (1)在图中与∠AOC互补的角是 　 　； (2)若∠COF＝26°求∠BOD的度数． 17．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE． （1）若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______； （2）若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______． 19．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF． (1)若∠AOE=40°，求∠FOC的度数； (2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示） (3)请直接写出∠AOE和∠BOD满足的数量关系 20．如图，直线、相交于点，平分，垂足为点，且． (1)如图，求的度数． (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的角． 21．如图，在一片农田附近有一条小河．因为干旱，附近的农民们常常需要从河中引水灌溉农田．张伯伯家的农田位于图中点处，他也想挖一条水渠，把河水引到自家农田处． (1)请问，张伯伯如何挖渠才能使渠道最短？请你在如图中画出来． (2)你这样画的依据是什么？(3)如果图中比例尺为：，水渠大概要挖多长？ (4)请你举出一个生活中应用以上“依据”的实际例子． 22．点A，B，C，D的位置如图，按下列要求画出图形． (1)画直线AB，线段AD，射线BD； (2)过点D画BC的垂线MN； 第3讲 同位角、内错角、同旁内角 参考答案 例1．下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【详解】解：A．由图可知，，是同位角，故不符合题意． B．由图可知，，是同位角，故不符合题意． C．由图可知，，是同位角，故不符合题意． D．由图可知，，不是同位角，故符合题意．故选：D． 【点睛】本题主要考查同位角，解题的关键是熟练掌握同位角的定义． 【变式训练】 1.图中与是同位角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据同位角的定义作答． 【详解】解：第1个图和第4个图中的与是同位角，有2个，故选：B． 【点睛】本题考查了同位角的识别，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上． 2．如图，下列各组角中，是同位角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和不是同位角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 例2．如图，直线a，b被直线c所截，则形成的角中与∠1互为内错角的是______． 【答案】∠4 【分析】根据内错角的概念判断即可． 【详解】∵直线a、b被直线c所截，∴∠1与∠4是内错角．故答案为：∠4． 【点睛】本题考查了内错角，内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，掌握内错角的概念是解题的关键． 【变式训练】 1.下列图中∠1与∠2是内错角的是（  ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据内错角的定义求解即可：两条直线被第三条直线所截，两个角在截线的两侧，且夹在两被截直线的之间，那么这两个角就叫做内错角． 【详解】解：A、∠1与∠2是内错角，符合题意；B、∠1与∠2不是内错角，不符合题意； C、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；D、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；故选A． 【点睛】本题主要考查了内错角的定义，熟知内错角的定义是解题的关键． 2．下列四个图形中，和是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意； B、∠1与∠2是内错角，选项符合题意； C、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意； D、∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，∠1的内错角是（     ） A．∠3 B．2 C．∠4 D． 【答案】A 【详解】解：∠1的内错角是∠3， 故选：A． 例3．如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷被直线𝐸𝐹所截，则∠1的同旁内角是（　　） A．∠2 B．∠3 C． D． 【答案】B 【分析】根据同旁内角的定义，结合已给图形分析，即可得到答案． 【详解】解：由同旁内角的定义知，∠1和∠3在直线AB和CD之间，且在直线EF的同一侧，所以，∠1的同旁内角是∠3．故选：B 【点睛】本题考查同旁内角的定义，解题的关键是结合图形，牢记定义内容去分析判断． 【变式训练】 1.如图，下列各角与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的内部且在截线的同旁，这样的两个角叫做同旁内角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；B．与是直线、直线，被直线所截的内错角，因此选项B符合题意； C．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项C不符合题意； D．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项D不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提． 2．图中同旁内角的对数是（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【详解】图中互为同旁内角的是：∠A和∠B、∠A和∠D、∠B和∠C、∠D和∠C，共有4对， 故选：D． 3．如图，已知直线、被直线所截，那么∠1的同旁内角是（ ） A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2 【答案】B 【解析】解：∵直线a、b被直线c所截，∴∠1的同旁内角是∠4．故选：B． 例题4：如图，在所标识的角中，∠1与____是同位角，∠2与_____是内错角，∠5与____是同旁内角． 【答案】     ∠4     ∠3     ∠3 【解析】略 【变式训练】 1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的． 【答案】     内错     AB     CB     AC     同旁内     AC     BC     AB 【分析】根据三线八角中的内错角，同旁内角定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示，与是内错角，是直线AB和直线CB被直线AC所截而形成的， 与是同旁内角，是直线AC和直线BC被直线AB所截而形成的． 故答案为内错；AB；CB；AC；同旁内；AC；BC；AB． 【点睛】本题考查三线八角中的内错角，同旁内角，掌握三线八角中的截线与被截直线，内错角与同旁内角． 2．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角． 【答案】     BD（BC）     同位     AC     内错     AB     AC     BC     同旁内     AB     AC     BC     同位     AB     CE     BC     同旁内 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可； 【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角； （3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角； （4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角； （5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角． 故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键． 【巩固练习】 1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，结合具体图形进行判断即可． 【详解】解：A、∠1和∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； B、∠1和∠2没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、∠1和∠2是对顶角，符合题意； D、∠1和∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查对顶角的定义，理解对顶角的定义是正确判断的关键． 2．下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意； B．与是邻补角，故选项符合题意； C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意； D．与是同旁内角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 3．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】 根据同位角的定义逐一判断即得答案． 【详解】 图①中的∠1与∠2是同位角， 图②中的∠1与∠2是同位角， 图③中的∠1与∠2不是同位角， 图④中的∠1与∠2是同位角， 所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角． 故选：C． 【点睛】 本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键． 4．春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】由垂线段最短，得 四条线段，，，，如图所示， 其中最短的一条路线是， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段的的性质，熟记性质是解题关键． 5．如图，直线，相交于点，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由∠3的度数及∠1、∠3的互补关系，可求得∠1的度数，从而可求得∠2的度数． 【详解】∵，∠1+∠3=180°， ∴∠1=180°−∠3=45°， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角，角的和差关系，由邻补角求得∠1的度数是关键． 6．如图，，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（    ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点A到的垂线段是线段；④点C到的垂线段是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】用直线垂直的定义以及点到直线距离的定义对选项进行判断，从而得出正确的个数． 【详解】解：①∵∠ACB=90°，∴BC与AC互相垂直，①正确； ②∵∠ACB=90°，∠ACD＜∠ACB，∴AC与CD不互相垂直，②错误； ③点A到BC的垂线段是线段AC，③错误； ④∵CD⊥AB，垂足为点D，∴点C到AB的垂线段是线段CD，④正确； 综上所述，结论中正确的有两个， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线距离的基本定义，关键在于熟练掌握该定义，并对选项进行正确判断从而得出答案． 二、填空题 7．如图，∠1和∠2是________角，∠2和∠3是________角． 【答案】同位 同旁内 【分析】 根据同位角、同旁内角、内错角的定义进行分析即可． 【详解】 如图，∠1和∠2是同位角，∠2和∠3是同旁内角． 故答案为：同位；同旁内． 【点睛】 本题考核知识点：“三线八角”问题. 解题关键点：理解同位角、同旁内角、内错角的定义． 8．如果∠A＝65°，那么∠A的邻补角的度数为_______；∠A的对顶角的度数为________． 【答案】          【分析】利用“互为邻补角的两个角的和等于、对顶角相等”进行解答． 【详解】解：因为互为邻补角的两个角的和等于，所以的邻补角等于； 因为对顶角相等，所以的对顶角等于； 故答案为：；． 【点睛】本题考查：互为邻补角的两个角的和等于、对顶角相等，熟记这些性质是解题关键． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC+∠BOD＝90°，则∠BOC的度数为_____． 【答案】135°##135度 【详解】据题意得出，进而利用邻补角的定义得出答案． 【解答】解：由题意可得出：∠AOC＝∠BOD． ∵∠AOC+∠BOD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD＝45°， ∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135°． 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义以及对顶角性质，得出是解题关键． 10．如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于______. 【答案】3 【分析】点到直线的距离是指过直线外一点向直线做的垂线段的长度，根据定义可以得出答案． 【详解】解：∵， ∴AC⊥BC， ∴线段AC的长度就是点A到BC的距离， ∵AC=3， ∴点A到的距离等于3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白点到直线距离的定义． 11．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOD，若∠DOE＝20°，则∠BOC＝_____． 【答案】140°##140度 【分析】根据角平分线的性质求出∠DOB＝40，再根据邻补角的定义即可得出∠BOC的度数． 【详解】解：∵射线OE平分∠BOD，若∠DOE＝20， ∴∠BOD＝2∠DOE ＝40， ∴∠BOC＝180−∠BOD＝180−40=140． 故答案为：140 【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，熟记角平分线性质和邻补角定义是解决本题的关键． 12．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．   【答案】     ∠AOD、∠BOC     50°     130° 【分析】根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案． 【详解】解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD； ∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°， ∵∠COB是∠AOC邻补角， ∴∠COB=180°-∠AOC=130°． 故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130° 【点睛】本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键． 三、解答题 13．如图，(1)∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线______，______被第三条直线_______所截而成的； (2)∠2的同位角是______，∠1的同位角是 _________； (3)∠3的内错角是______，∠4的内错角是 _________； (4)∠6的同旁内角是______________，∠5的同旁内角是________. 【答案】(1)AC , AB , EF ;(2)∠5,∠6;(3)∠6, ∠5;(4)∠4, ∠3. 【分析】 （1）看图可以分析即可； （2）根据同位角的定义判断即可； （3）根据内错角的定义判断即可； （4）根据同旁内角的定义判断即可； 两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角；截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角. 【详解】 (1)∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线AB，AC被第三条直线EF所截而成的； (2)∠2的同位角是∠5，∠1的同位角是∠6； (3)∠3的内错角是∠6，∠4的内错角是∠5； (4)∠6的同旁内角是∠4，∠5的同旁内角是∠3. 【点睛】 此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键. 14．如图，直线BD上有一点C，则： (1)∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线_____所截得的____角； (2)∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线____所截得的_____角； (3)∠3和∠ABC是直线_____、_____被直线_____所截得的____角； (4)∠ABC和∠ACD是直线____、_____被直线_____所截得的角； (5)∠ABC和∠BCE是直线_____、______被直线所截得的_____角． 【答案】BD(或BC),同位；AC,内错；AB,AC,BC；同旁内；AB，AC；BC；AB；CE；同旁内． 【分析】 （1）根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析． （2）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析． （3）（4）（5）根据同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析． 【详解】 （1）∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线BD(或BC)所截得的同位角； （2）∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线AC所截得的内错角； （3）∠3和∠ABC是直线AB，AC被直线BC所截得的同旁内角； （4）∠ABC和∠ACD是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角； （5）∠ABC和∠BCE是直线AB，CE被直线所截得的同旁内角． 15．如图，在所标注的角中． (1)对顶角有_________对，邻补角有_________对； (2)若，，求与的度数． 【答案】(1)2，6 (2)， 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义结合图形进行判断即可； （2）利用角的和差关系，邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角有∠5与∠7，∠6与∠8共2对， 邻补角有：∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5，共6对． 故答案为：2；6． （2）∵与是邻补角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角互补是正确解答的前提． 16．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE． (1)在图中与∠AOC互补的角是 　 　； (2)若∠COF＝26°求∠BOD的度数． 【答案】(1)∠BOC，∠AOD， (2)38°． 【分析】（1）根据补角的定义可求解； （2）由角的和差可求出∠EOF的度数，利用角平分线的定义可求得∠AOE的度数，结合补角的定义可求得∠BOE，∠DOE的度数，进而可求∠BOD的度数． （1） 解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC+∠AOD＝180°， ∴与∠AOC互补的角是∠BOC，∠AOD， 故答案为：∠BOC，∠AOD； （2） ∵∠COF＝26°，∠COE＝90°， ∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣26°＝64°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝64°×2＝128°， ∴∠BOE＝180°﹣128°＝52°， ∵∠DOE+∠COE＝180°， ∴∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣52°＝38°． 【点睛】本题考查了补角的定义，角平分线的定义，角的和差运算等，准确找出角与角之间的关系是解题的关键． 17．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD (2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD (3)140° 【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可； （2）根据补角的定义进行判断即可； （3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果． （1） 解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． 故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． （2） 图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠BOE=180°， ∴∠COE+∠BOE=180°， ∴∠EOC和∠EOB互补， ∵∠COE+∠EOD=180°， ∴∠AOE+∠EOD=180°， ∴∠AOE和∠EOD互补． 故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD． （3） ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOE， 设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，由平角定义得， x+x+x＝180°， 解得：x＝100° ∴∠EOC＝∠AOE＝（180°﹣100°）＝40°， ∴∠DOE＝100°+40°＝140°， 答：∠EOD的度数为140°． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE． （1）若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______； （2）若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______． 【答案】     1.5##     115°##度 【分析】（1）根据点到线的距离解答即可； （2）根据垂直的定义求出∠COE=90°，根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD＝25°，即可求出∠AOE． 【详解】解：（1）∵于点O， ∴点E到直线CD的距离是OE＝1.5， 故答案为：1.5； （2）∵于点O， ∴∠COE=90°， ∵∠AOC=∠BOD＝25°， ∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°， 故答案为：115°． 【点睛】此题考查了点到直线的距离定义，垂直的性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 19．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF． (1)若∠AOE=40°，求∠FOC的度数； (2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示） (3)请直接写出∠AOE和∠BOD满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)∠AOE=2∠BOD 【分析】（1）由与互补求得，再利用OC是的角平分线求出∠FOC（2）由（1）的思路求出，再由与互余可求得 （3）由（2）直接写出∠AOE和∠BOD满足的数量关系 （1） ∵OC是的角平分线 （2） 由（1）可知： ∵与互余 （3） 由（2）得：∠AOE=2∠BOD 【点睛】本题考查了互余、角平分线的定义及相关计算，理清角之间的关系是解题关键 20．如图，直线、相交于点，平分，垂足为点，且． (1)如图，求的度数． (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∵平分， ∴， ∴， ∴的余角有． 21．如图，在一片农田附近有一条小河．因为干旱，附近的农民们常常需要从河中引水灌溉农田．张伯伯家的农田位于图中点处，他也想挖一条水渠，把河水引到自家农田处． (1)请问，张伯伯如何挖渠才能使渠道最短？请你在如图中画出来． (2)你这样画的依据是什么？(3)如果图中比例尺为：，水渠大概要挖多长？ (4)请你举出一个生活中应用以上“依据”的实际例子． 【答案】(1)见解析； (2)垂线段最短； (3)水渠大概要挖米； (4)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【分析】（1）作PH⊥CD即可； （2）根据垂线段最短解决问题； （3）测量出PH的长，再利用比例尺求出实际距离； （4）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． （1） 解：如图，作，线段即为所求； （2） 解：画图的依据是垂线段最短． （3） 解： ， ∴实际距离为m， 水渠大概要挖m； （4） 解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，比例尺等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．点A，B，C，D的位置如图，按下列要求画出图形． (1)画直线AB，线段AD，射线BD； (2)过点D画BC的垂线MN； 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据题意画出直线AB，线段AD，射线BD； （2）根据题意过点D作BC的垂线即可求解． （1）如图所示，画直线AB，线段AD，射线BD； （2）如图所示，过点D画BC的垂线MN； 【点睛】本题考查了画射线，线段，直线，画垂线，掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$