专题2 垂线 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题2 垂线 一．垂线的概念 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条 直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如下图，两条垂线的交点O叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD 【注意】 应用垂直的定义解题，要理解其定义的两个方面： (1)由两直线垂直可得其夹角为90度. (2)由两直线的夹角为90度，可得两直线互相垂直. 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB． 二．垂线的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 注意：（1）性质1成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质2是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短，如图所示，在PA,PB,PC,PD中，PD最短． （3）在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题，实际问题中涉及路线最短问题时,其理论依据应从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中去选择。 三．垂线的画法 1.三角板画垂线：过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的“三步法” 一靠：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上； 二移：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点； 三画：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线.如图. 注意：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 2.量角器画垂线： 一落：将量角器的0°刻度线与已知直线重合； 二移：沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过已知点，作出90°刻度线上另一点； 三画：用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线。 过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上。 画垂线时是实线，如需延长线段或反向延长射线，则用虚线延长或反向延长。 四.垂直、垂线、垂线段的概念辨析： 1.垂直：直线AB、CD相交，所夹的角是90°，AB与CD互相垂直。记作：AB⊥CD或CD⊥AB。 2.垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，单独的一条直线不能叫垂线。记作：直线a是直线b的垂线或直线b是直线a的垂线。 3.垂线段：连接直线外 一点A与直线上各点的线段中，与直线垂直的线段叫做A到直线的垂线段。记作：线段AO是直线的垂线段。 4.垂线是直线，垂线段是线段。斜线段有无数条，但垂线段只有一条。 五．点到直线的距离 1.概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别的，如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线的距离为0． 注意：（1）直线外一点到这条直线的距离是垂线段的长度，是一个正数，不能把垂线段说成是距离，要注意“两点间的距离”和“点到直线的距离”两个概念的区别和联系； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 2．如图，直线AB，CD互相垂直，记作AB⊥CD；线段PO的长度是点P到直线CD的距离；点M到直线AB的距离是线段OM的长度． 例题1：如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（　　） A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点到的距离 【变式训练】 1．过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A．B．C．D． 2．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例题2：如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11. (1)求∠COE的度数； (2)若OF⊥OE，求∠COF的度数． 【变式训练】 1．在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ） A．20° B．55° C．20°或 125° D．20°或55° 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则等于_____． 3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． (1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数； (2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数． 4．如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 5．如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数. 例题3：如图，点，，是直线上的三点，点在直线外，，垂足为，，，，则点到直线的距离是______． 【变式训练】 1．为了丰富学生的课余生活，进一步增强学生的身体素质，某校决定召开春季运动会．各班积极准备，选拔优秀队员参加比赛．如图，是该校七年级1班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.55米，PB＝5.42米，MA＝5.63米，那么他的跳远成绩应该为______米． 2．如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是 _____，点A、B两点的距离是 _____，点C到AB的距离是 _____． 3.如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.如图，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则表示点A到直线CD距离的是（　　） A．线段CD的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 D．线段BC的长度 5.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 6.如图，，点B到线段的距离指的是下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 例4．如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；(2)过C点画OA的垂线段，垂足为E； (3)比较线段CE，CO，CD的大小，并说明理由； 【变式训练】 1.如图，已知点A、B、C，按下列要求画出图形． (1)作射线BA，直线AC；(2)过点B画直线AC的垂线段BH． 2.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄． (1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)． (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明) 3.如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点． 第2讲 垂线 参考答案 例题1：如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（　　） A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点到的距离 【答案】A 【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴点C到的垂线段是线段的长度，原说法错误，故本选项符合题意； B、∵， ∴， 即与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意； C、∵，垂足为E， ∴与互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴线段的长度是点D到的距离，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键． 【变式训练】 1．过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论． 【详解】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误； B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误； C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确； D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键． 2．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题要根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断． 【详解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正确，符合题意； ∵∠DAC≠90°，∴AD与AC不互相垂直，所以②错误，不符合题意； 点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误，不符合题意； 点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④错误，不符合题意； 线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑤正确，符合题意； 同角的余角相等，则∠BAD=∠C，所以⑤正确，符合题意． 综上，正确的有①⑤⑤共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 例题2：如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11. (1)求∠COE的度数； (2)若OF⊥OE，求∠COF的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据，即可得到∠DOB=∠AOC=70°，再根据角平分线的定义，即可得出∠DOE=∠DOB，即可得到； （2）依据OF⊥OE，可得∠EOF=90°，进而得到，再根据进行计算即可． （1） 解：∵， ∴∠AOC=， ∴∠DOB=∠AOC=70°， 又∵OE平分∠BOD， ∴， ∴， （2） ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，垂直的定义，几何图形中角度的计算，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键． 【变式训练】 1．在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ） A．20° B．55° C．20°或 125° D．20°或55° 【答案】C 【解析】解：设∠B是x度，根据题意，得 ①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x°，x=3x-40解得，x=20，故∠A=20°， ②两个角互补时，如图2：x+3x-40=180，所以x=55，3×55°-40°=125° 故∠A的度数为：20°或125°．故选：C． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则等于_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵OE 平分∠BOC， ∴． ∵OF⊥OE，∴，∴． 故答案为：． 3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． (1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数； (2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数． 【答案】(1)∠DOF=108°； (2)∠DOF=112.5°． 【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由∠DOF=180°-∠COF即可求解； （2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可． （1） 解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°； ∵∠COE=54°， ∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°， ∵OF平分∠AOC， ∴∠COF=∠AOC=72°， ∴∠DOF=180°-∠COF=108°； （2） 解：设∠EOF=x°，则∠COE=2x°， ∴∠COF=3x°， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOF=∠COF=3x°， ∴∠AOE=4x°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∴4x=90，解得x=22.5， ∴∠COF=3x°=67.5°， ∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°． 【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中． 4．如图：已知，，，，在同一条直线上. (1)的余角是_________，的补角是_________. (2)如果，求的度数. (3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)，理由见（1）详解 【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角或等角的余角相等得到，最后根据补角和余角的定义求解即可； （2）根据补角的定义进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的余角是，的补角是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， （3）解：由（1）得． 【点睛】本题主要考查了与余角补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键． 5．如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数. 【答案】 【详解】解：∵， ∴. ∵. ∴. ∵平分. ∴. ∴. ∵ ∴． 例题3：如图，点，，是直线上的三点，点在直线外，，垂足为，，，，则点到直线的距离是______． 【答案】 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 又∵，垂足为，， ∴点到直线的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质．理解和掌握该性质是解题的关键． 【变式训练】 1．为了丰富学生的课余生活，进一步增强学生的身体素质，某校决定召开春季运动会．各班积极准备，选拔优秀队员参加比赛．如图，是该校七年级1班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.55米，PB＝5.42米，MA＝5.63米，那么他的跳远成绩应该为______米． 【答案】5.42 【分析】先找到脚后跟的位置，脚后跟的位置到起跳线的距离即为跳远成绩． 【详解】， 故PA、PB为跳远距离， 又 故跳远距离为PB＝5.42米． 故答案为：5.42． 【点睛】本题考查点到直线的距离的实际应用，解决本题的关键是将实际问题抽象为数学问题解决． 2．如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是 _____，点A、B两点的距离是 _____，点C到AB的距离是 _____． 【答案】     8cm##8厘米     10cm##10厘米     4.8cm 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离， ∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm， ∴BC•AC=AB•CD， ∴CD=6×8÷10=4.8（cm）， ∴点B到AC的距离是BC的长8cm． 点A、B两点的距离是AB的长10cm， 点C到AB的距离是CD的长4.8cm． 故答案为：8cm，10cm，4.8cm． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 3.如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：C． 【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 4.如图，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则表示点A到直线CD距离的是（　　） A．线段CD的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 D．线段BC的长度 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可． 【详解】解：点A到CD的距离是线段AD的长度．故选C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念． 5.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．故选D． 【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 6.如图，，点B到线段的距离指的是下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据定义直接可得答案． 【详解】解：∵ ∴，点B到线段的距离指线段的长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念．点到直线的距离是是垂线段的长度，而不是垂线段． 例4．如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；(2)过C点画OA的垂线段，垂足为E； (3)比较线段CE，CO，CD的大小，并说明理由； 【答案】(1)图见详解(2)图见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）过点画即可；（2）过点画即可； （3）根据点到直线的距离可得，线段、、这三条线段大小关系． （1）解：如图所示：为所求；（2）解：如图所示：为所求； （3）解： 理由：从直线外一点到这条直线上的点的所有连线中，垂线段最短． 【点睛】本题主要考查了基本作图作已知直线的垂线，垂线段的性质，掌握垂线段最短是关键． 【变式训练】 1.如图，已知点A、B、C，按下列要求画出图形． (1)作射线BA，直线AC；(2)过点B画直线AC的垂线段BH． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据射线、直线的概念作图即可；（2）根据垂线段的概念作图即可． （1）解：如下图，射线BA、直线AC即为所求． （2）解：如下图，线段BH即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图的知识，理解并掌握射线、直线和垂线段的概念是解题关键． 2.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄． (1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)． (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明) 【答案与解析】 解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示． (2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近． 【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法． 3.如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点． 【答案】 解：如图所示 1 学科网（北京）股份有限公司 $$