专题1 对顶角与邻补角 2024-2025学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线 专题1 对顶角与邻补角 一.对顶角、邻补角的概念： (1)相交线定义：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，称这两条直线为相交线。 (2)邻补角：有一条 ，而且另一边互为 的两个角. 注意：①邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． ②邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． ③互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． ④邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. (3)对顶角：两个角有一个 ，而且一个角的两边分别是另一角的两边的 的两个角. 注意：①对顶角须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延第线； ②对顶角是成对存在，单独一个角不能说是对顶角。 二.对顶角、邻补角的性质： 根据观察和度量完成下表： 两条直 线相交 所成角 分类 位置 关系 数量 关系 ∠1，∠2，∠3，∠4 ∠2与∠1， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠4与∠1 相邻 互补 ∠1与∠3 ∠2与∠4 对顶 相等 由上表得出结论： (1)对顶角 . (2)邻补角 . 注意：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角； 概念辨析： (1)相等且有公共顶点的两个角是对顶角. ( ) (2)一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是邻补角. ( ) 邻补角与对顶角对比： 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等. ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补角互补. 【注意】邻补角、对顶角的识别方法 1.找一个角的邻补角时，可以先固定一边，将另一边反向延长，这样由固定边和反向延长线所组成的角就是原角的邻补角. 2.判定两个角是否互为对顶角，要抓住对顶角的特征： ①要有公共顶点.②两个角的两边互为反向延长线. 3.在判断时要注意两类角的区别，要抓住对顶角、邻补角的特征，前提条件是两条直线相交，对顶角无公共边，邻补角有公共边. 【注意】对顶角、邻补角性质的两类应用 (1)利用对顶角、邻补角的性质，可以解决与相交线有关的角度计算问题.正确辨析对顶角、邻补角，掌握它们的性质是应用的前提. (2)解决这类问题要善于寻找对顶角和邻补角，利用它们把所求的角与已知角联系起来. 三.互为补角 (1)概念：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补。 (2)性质：同角的补角相等；若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3； 等角的补角相等；若∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4 (3)注意区分“互为补角”与“邻补角”两个概念 四.互为余角 (1)概念：如果两个角的和是90º，那么这两个角互为余角，简称互余； (2)性质：同角的余角相等；若∠1+∠2＝90º，∠1+∠3＝90º，则∠2＝∠3； 等角的余角相等；若∠1+∠2＝90º，∠3+∠4＝90º，∠1＝∠3，则∠2＝∠4； (3)注意：互余、互补是针对两个角而言，单独一个角不能称为余角或补角； 互余、互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关（邻补角除外） 只有锐角才有余角，只有小于平角的角才有补角；一个角的补角比这个角的余角大90º 例题1：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（    ） A．B．C． D． 【变式训练】 1.按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A．B．C．D． 例题2：下列四个图形中，和是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 例题3：下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个图中，与互为邻补角的是（　　　） A． B．C． D． 4．下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 例题4：如图，直线，相交于，是的角平分线． (1)的对顶角是 ___________； (2)若，求、的度数． 【变式训练】 1．如图，直线，相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系，并进行证明． (2)若，求的度数． 2．如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分． (1)若平分，求的度数； (2)若，，求的度数． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． (1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 4.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求． 5.已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数． 例题5：（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？ （2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？ 【变式训练】 1.探索研究： A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图a,图中共有 对不同对顶角； （2）如图b,图中共有 对不同的对顶角； （3）如图c,图中共有 对不同的对顶角． （4）研究（1）-（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形 成 对对顶角 （5）计算2013条直线相交于一点，则可形成 对对顶角 B：（1）3条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （2）4条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （3）n条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （4）计算2013条直线最多有 个交点，则可形成 对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成 对不同的对顶角． 例题6：若的补角与的余角相等，则等于（    ） A．90° B．60° C．180° D．270° 【变式训练】 1．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正确的有______．（多选） A.①      B.②      C.③      D. ④ 2．如图，直线、相交于点O，和互余，若，则的度数是____________． 3．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，射线OD是OB的反向延长线．若OA平分∠BOC，OE平分∠COD，∠COE的度数是_______． 4．一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是_______． 5．已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____． 6．一个角的补角比这个角的余角大___________度． 7．若一个角的补角比它的余角的6倍还多，求这个角． 8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3． (1)求∠BOE的度数． (2)过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数． 第1讲 对顶角与邻补角 参考答案 例1．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意； B．点M不在直线上，故本选项不合题意；C．点M不在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题主要考查相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线． 变式1.按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上； C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A． 【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键． 例题2：下列四个图形中，和是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断． 【详解】解： A、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意； B、两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意； C、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意； D、两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，熟练掌握对顶角的概念是解决本题的关键． 例题3：下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角的定义进行求解是解决本题的关键． 【变式训练】 1．下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的的两边的反向延长线）是解题的关键． 2．下列各图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答． 【详解】解：根据对顶角的定义： A．和顶点不在同一位置，不是对顶角； B．和角度不同，不是对顶角； C．和顶点不在同一位置，不是对顶角； D．和是对顶角； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 3．下列四个图中，与互为邻补角的是（　　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义作出判断即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是． 故选：D． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 4．下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义进行解答即可． 【详解】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意； B．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故B不符合题意； C．不是两条直线相交组成的角，故C不符合题意； D．是邻补角，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 例题4：如图，直线，相交于，是的角平分线． (1)的对顶角是 ___________； (2)若，求、的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据对顶角定义直接解答即可； （2）由邻补角定义求出的度数，再根据角平分线定义求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：由对顶角的定义可知，的对顶角是， 故答案为：； （2），， ， 又是的角平分线． ， ， 答：的度数为． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角定义，对顶角定义，正确理解各定义并理解图形中各角的位置关系及数量关系是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，直线，相交于点O，平分，平分． (1)判断与的位置关系，并进行证明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出； （2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数． 【详解】（1）． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分． (1)若平分，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得，，再根据邻补角的定义，就可求出的度数． （2）根据已知及角平分线的定义，用含的代数式表示出，再根据，建立关于的方程，求解即可． （1） 解：∵平分，OE平分∠BOC， ∴，， ∵ ∴ 答：的度数为． （2） 解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 解之： 答：的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线定义、平角以及角的计算等知识，熟练掌握角平分线定义是解题的关键． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． (1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析； (2)∠EOF＝60° 【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案； （2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数． （1） 解：OF⊥OD， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°， ∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD； （2） ∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC＝×180°＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝∠AOE＝60°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键． 4.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求． 【答案与解析】 解：设∠1＝x，则∠2＝4x． ∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x． ∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°． ∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°． 又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°． ∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°． 【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法． 5.已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数． 【答案】 解法1：∵ α的补角是一个锐角， ∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°， ∴ ． 由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°， 可知． ∴ ． 解法2：由题意可知是一个钝角，即． 如果，那么，不满足； 如果，那么，不满足； 如果，那么，满足， 所以此人计算的答案正确．所以． 【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确． 例题5.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？ （2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？ 【答案与解析】 解：（1）2对对顶角，4对邻补角。 （2）将图（2）拆分为下图： 通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角， 对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对) 答：图中共有12对对顶角，24对邻补角 【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。 【变式训练】 1.探索研究： A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图a,图中共有 对不同对顶角； （2）如图b,图中共有 对不同的对顶角； （3）如图c,图中共有 对不同的对顶角． （4）研究（1）-（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形 成 对对顶角 （5）计算2013条直线相交于一点，则可形成 对对顶角 B：（1）3条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （2）4条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （3）n条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角 （4）计算2013条直线最多有 个交点，则可形成 对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成 对不同的对顶角． 【分析】A．（1）（2）（3）分别根据对顶角的定义计算即可得解；（4）根据对顶角的对数和直线的条数的规律写出即可；（5）把n=2013代入（4）的公式计算即可得解．B．（1）、（2）可通过画图得出交点个数，（3）通过以上两题找出规律解答； 【解答】A．解：（1）有2对对顶角； （2）有6对对顶角； （3）有12对对顶角； （4）有n条直线时，有n（n-1）对对顶角； （5）n=2013时，可形成2013×2012=4050156对顶角． 故答案为：2，6，12，n（n-1），4050156． B解：（1）如图（1），可得三条直线两两相交，最多有3个交点；有6对对顶角． （2）如图（2），可得四条直线两两相交，最多有6个交点；又12对对顶角． （3）由（1）得，，由（2）得，； ∴可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）．有n（n-1）对对顶角． （4）当n=2013时，有2025078个交点，有4050156对对顶角． 故答案为3，6；6，12；，n（n-1）；2025078，4050156，4050156． 例题6．若的补角与的余角相等，则等于（    ） A．90° B．60° C．180° D．270° 【答案】A 【详解】解：由题意得：180°-∠α=90°-∠β， ∴∠α-∠β=180°-90°=90°， 故选：A． 1．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正确的有______．（多选） A.①      B.②      C.③      D. ④ 【答案】ABD 【详解】解：∵和互补，且， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故①正确； 的余角是， 故②正确； ∵，∴不是的余角， 故③错误； ∵，∴是的余角， 故④正确； 综上，正确的有：①②④， 故答案为：ABD． 2．如图，直线、相交于点O，和互余，若，则的度数是____________． 【答案】 【详解】解：∵和互余，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，射线OD是OB的反向延长线．若OA平分∠BOC，OE平分∠COD，∠COE的度数是_______． 【答案】35°度 【详解】解：∵射线OE平分∠COD， ∴∠COE=∠EOD， 又∵∠AOB=∠AOC=40°+15°=55°， ∴∠AOC+∠COE=∠BOA+∠DOE=×180°=90°， ∴∠COE=90°-∠COE=35°， 故答案为：35°． 4．一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是_______． 【答案】70° 【详解】解：设这个角的度数为x, 根据题意得：90°-x=（180°-x）-2°， 解得：x=70°． 所以这个角的度数为70°． 故答案为：70° 5．已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____． 【答案】80 【详解】设∠α为x，则∠β＝180°−x．∴180°−x-x＝20°，解得：x＝80°， ∴∠α的度数是80°，故答案为：80 6．一个角的补角比这个角的余角大___________度． 【答案】90 【详解】解：设这个角为x，则这个角的余角为，补角为． ∵， ∴一个角的补角比这个角的余角大． 故答案为：90． 7．若一个角的补角比它的余角的6倍还多，求这个角． 【答案】 【详解】解：设这个角是x度， 解得：， 答：这个角是． 8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3． (1)求∠BOE的度数． (2)过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数． 【答案】(1)24° (2)54°或126° 【解析】（1） 解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOD＝∠AOC＝60°， ∵∠BOD＝∠BOE+∠DOE， ∴2x+3x＝60°， ∴x＝12°， ∴∠BOE＝2×12°＝24°． （2） 解：如图1， ∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∵∠DOE＝60°-24°=36°， ∴∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE＝90°﹣36°＝54°； 如图2， ∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∴∠DOF＝∠FOE+∠EOD＝90°+36°＝126°． ∴∠DOF的度数是54°或126°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$