28.2.2 应用举例——解直角三角形（俯角和仰角） 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 28.2.2 应用举例 第二十八章 锐角三角函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 第2课时 第二十八章 锐角三角函数 利用俯角和仰角解直角三角形 第2课时 第二十八章 锐角三角函数 新知导入 果果暑期和家人去旅游，当他们到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3500 m的山峰顶点B处的水平距离. ． A B ． ． 思考：你能想出个可行的办法吗？ 第二十八章 锐角三角函数 1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题. 2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路. 3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 俯角、仰角问题 知识点 1 知识探究 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 第二十八章 锐角三角函数 一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 素养考点 1 知识探究 例1 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1. 20米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC的高.（tan 52°≈1.28,精确到0. 1米） 解： 在 Rt△CDE中， ∵ CE = DE × tan α = AB × tan α = 10× tan 52° ≈12.80, ∴BC = BE + CE=DA + CE ≈1. 20 + 12. 80 = 14.0(米). 答：旗杆BC的高度约为14. 0米.  第二十八章 锐角三角函数 知识探究 例2 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度往前救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°=0.8，cos53°=0.6） C(游船) A(港口) B(海景船) 60° 37° 你能画出图形吗？ 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 例2 解：过C点作CD⊥AB交AB延长线于D. 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90 ∠CAD=30,AC=80（海里） ∴CD=（海里） 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90 ∠CBD=90-30， ∴BC=（海里） ∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为 （小时）. C(游船) A(港口) B(海景船) 60° 37° 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 解答含有仰角、俯角问题的方法 1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题． 2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度． 3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解． 第二十八章 锐角三角函数 1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示). 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点 处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6， tan 37°≈0.75） A B 37° 45° 400米 P 素养考点 2 两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 A B O 37° 45° 400米 P 设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∠PAB=37°， OB=PO= x米. 解得x=1200. 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. 即 故飞机的高度为1200米. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择 一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m． (1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m. E 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 (2) 求塔高CD（结果用根号表示）． 解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m， 则 (m)， 在Rt△ADC中，∠A=30°， 答：塔高CD为 m. ∴ (m). E 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 巩固练习 仰角、俯角问题的常见基本模型 模型一 A D B E C 模型二 A B D C α β 模型三 α β B C D A 模型四 α β 第二十八章 锐角三角函数 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘 小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30° 60° 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处， 测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则 树高 (精确到0.1米）. A D B E C 20.9 米 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 18 4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m. ∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°， ∴x·tan60°-x·tan30°=50， D′ A B′ B D C′ C ∵ ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°， 设AB′=x m. ∴ ∴ 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 5 解：(1)如图，过点M作MD⊥l于点D，设DM＝x米， ∵在Rt△CDM中，CD＝DM·tan∠CMD＝x·tan22°. ∵在Rt△ADM中，∠MAD＝45°，∴AD＝DM＝x米． 如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上．同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上． 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 例5 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 6 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm.使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的值．(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)． 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 例6 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 课堂小结 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 概念 求解 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 第二十八章 锐角三角函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十八章 锐角三角函数 答图 ∵AD＝AC＋CD＝100＋x·tan22°， ∴100＋x·tan22°＝x， ∴x＝eq \f(100,1－tan22°)≈eq \f(100,1－0.404)≈167.79(米)． 答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米． (2)如图，作∠DMF＝30°，交l于点F. ∵在Rt△DMF中， DF＝DM·tan∠FMD＝DM·tan30° ＝eq \f(\r(3),3)DM＝eq \f(\r(3),3)×167.79≈96.87(米)， ∴AF＝AC＋CD＋DF＝DM＋DF ＝167.79＋96.87＝264.66＜300， 答：该轮船能行至码头AB靠岸． 答图 INCLUDEPICTURE"TH9.tif" 　　　 解：过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，如图． ∵在Rt△CBF中，BC＝30 cm，∠CBF＝25°， ∴sin25°＝eq \f(CF,BC)＝eq \f(CF,30)， ∴CF≈30×0.42＝12.6(cm)， ∴CD＝CF＋FE＋DE＝CF＋AB＋2 ＝12．6＋40＋2＝54.6(cm)． 答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的 高度CD的值约为54.6 cm. $$