2.4平面向量的基本定理及坐标表示（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

2.4平面向量的基本定理及坐标表示 题型一 基底的概念 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和    ②和 ③和        ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（20-21高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）(多选)若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·陕西榆林·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 题型二 平面向量的基本定理及应用 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在等腰梯形中， 为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.    (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 4．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 5．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 题型三 平面向量的坐标表示 1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一下·四川绵阳·期中）(多选)点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为 . 4．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 题型四 平面向量的坐标运算 1．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）已知点，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，若的坐标为 ． 5．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，的最小值为 . 题型五 向量共线求参数 1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知向量，若，则等于（   ） A．4 B． C． D． 2．（21-22高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3.（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知O为坐标原点，向量，，，若A、B、C三点共线，且，求实数的值． 题型六 向量坐标与基底 1．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西·阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）（多选）下列各组向量中，不可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 2．（23-24高一下·浙江金华·期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 . 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 5．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4平面向量的基本定理及坐标表示 题型一 基底的概念 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和    ②和 ③和        ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】可根据向量共线定理，判断两个向量是否共线，即可. 【详解】由题意可得，是平面内一组基底向量. ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故①错误； 假设与是一组共线向量，由平面向量基本定理可得存在非零常数k使得，易知k不存在，矛盾，故与不是共线向量，可以作为一组基底向量，故②正确； 同理可得和也不是共线向量，可以作为一组基底向量，故③正确； ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故④错误， 故满足题意的为②③. 故选：B． 2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 3．（20-21高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）(多选)若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线， 可以作为平面的基底，故A错误； 对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确. 故选：BCD. 5．（22-23高一下·陕西榆林·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 【答案】-8 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【详解】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 题型二 平面向量的基本定理及应用 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在等腰梯形中， 为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.    (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. （2）设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. （3）由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 4．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 5．（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型三 平面向量的坐标表示 1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题设有，设并应用线性关系的坐标表示列方程求点坐标. 【详解】令，由点在直线上，，则， 所以，则，可得， ，则，可得， 所以点的坐标为或. 故选：D 2．（23-24高一下·四川绵阳·期中）(多选)点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 3．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为 . 【答案】或. 【分析】根据题设有，设并应用线性关系的坐标表示列方程求点坐标. 【详解】令，由点在直线上，，则， 所以，则，可得， 或，则，可得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 4．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先求，再根据向量，列式求解； （2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据，列式求解. 【详解】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为，∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算和线性运算分别求解即可. 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以， 所以点的坐标为； （2）由，得， 则， 所以点的坐标为； （3）设，则， 因为，即， 又由题意易知， 所以，解得， 所以点的坐标为. 题型四 平面向量的坐标运算 1．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 【答案】2 【分析】利用给定条件得到平行，找到角之间的关系，代入后化简求值即可. 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以， 故，解得， 所以. 故答案为：2 4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，若的坐标为 ． 【答案】 【分析】 根据平面向量线性运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】因为， 所以, 则, 又, 则, 故答案为：. 5．（22-23高一下·江苏·阶段练习）已知，，，，的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由得到关于，，的方程组，利用表示，，再根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】 ， ， 即，解得， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 题型五 向量共线求参数 1．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知向量，若，则等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量加法的坐标运算求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，，可得. 因为，且，可知，.解得. 故选：C 2．（21-22高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B 3.（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】. 【分析】本题根据向量夹角的计算公式结合夹角为钝角可得，再由与不平行可得，综合可得出结果. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，由题意可知与不平行， 所以且， 解得或. 所以的取值范围为. 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知O为坐标原点，向量，，，若A、B、C三点共线，且，求实数的值． 【答案】或． 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，，所以，， 因为A，B，C三点共线，所以，平行， 所以，即， 将代入中，得或． 题型六 向量坐标与基底 1．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基底的概念逐项判断即可； 【详解】要使平面中两个向量作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A错误； 对于B，由，B错误； 对于D，由，D错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西·阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个判断向量是否共线可得. 【详解】对于A，，两向量共线，故A错误； 对于B，，两向量共线，故B错误； 对于C，，两向量共线，故C错误； 对于D，设，即，方程组无解，即两向量不共线，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合基底的定义，即可求解． 【详解】对于A，因为零向量与任何向量是共线向量，不能作为基底，故A错误； 对于B，，故两个向量是共线向量，故不能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以两个向量不共线，可以作为基底，故C正确； 对于D，，故两个向量共线，不能作为基底，故D错误． 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）（多选）下列各组向量中，不可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底； 对于B：因为，故B中两个向量不共线，可以作为基底； 对于C：因为，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底； 对于D：因为，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底. 故选：ACD. 5．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底可知不共线，通过求共线时的值即可得到不共线时的范围. 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 2．（23-24高一下·浙江金华·期末）在中，，，，在边上，延长到，使.若，则 . 【答案】4 【分析】建系标点，设，根据向量的坐标运算解得，进而可得，结合图形即可得结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，    则，可知， 设， 可得， 因为， 则，解得， 且，可得，， 所以. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：建系，根据可设，进而结合题意运算. 3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题中定义，结合特殊角的正余弦值、向量的坐标表示公式和向量加法的坐标运算法则进行求解即可. 【详解】因为点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 所以点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， 由题设，设，则有 ， 因为点，点， 所以，因此有 ，且， 解得，即，而， 于是有，所以点的坐标为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，转化为点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，这样应用题中定义进行求解. 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可． 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，    ∵， ∴有， ∴， 设， 因此有， ∵， ∴有，而， ∴， 当时，有最大值，当有最小值0， ∴的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 【答案】(1)①1； ②0 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值； （2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明； （3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解. 【详解】（1）①由题意可得：； ②由题意可得：. （2）若向量与向量共线，则： 当时，有，即， 当时，有，即，所以必要性得证. 反之，若，即， 当c，d不全为0时，即时， 不妨设，则，可得， 因为，则， 可得，则与共线， 当且时，，则与共线，充分性得证； 综上所述：向量与向量共线的充要条件是. （3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得： ，③ 同理，消去x，得：，④ 当时，即时，由③④得： ，， 所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$