专题18 三角恒等变换的应用5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题18 三角恒等变换的应用5种常考压轴题归类 知识点01 半角公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。 知识点02 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 知识点03 万能公式 1、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 2、万能公式的推导 或 压轴题型一：利用半角公式、万能公式求值 满分技法 解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求得，，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。 特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号。 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 压轴题型二：积化和差与和差化积公式应用 满分技法 利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆。 9．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：三角恒等变换的化简问题 满分技法 解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简。 18．（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 20．（2019·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 22．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：三角变换中的求值问题 满分技法 在三角变换求值问题中，解题时，首先梳理已知与所求角的和差、倍数等关系，据此选择两角和差、二倍角等公式，对已知条件和所求式子合理转化。化简后，代入已知三角函数值算出结果。过程中，要依据角的范围判断三角函数值正负，确保公式使用条件适配，并验证结果是否符合题目要求与实际情况。 23．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 27．（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 28．（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：三角形中的恒等变换 满分技法 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断。条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论。 29．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 30．（15-16高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 31．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 32．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 33．（21-22高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 34．（21-22高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 6．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 9．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，设都是锐角，的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则（    ） A． B．的图象的一个对称中心为 C．的单调递增区间是， D．当在上的最大值为1时，正实数的最小值为1 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为π B．当时，的值域为 C．在，上单调递增 D．若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 三、填空题 18．（20-21高一·上海·假期作业）中，，则的形状为 . 19．（20-21高一·上海·假期作业）在中，若，那么三角形的形状为 . 20．（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ． 21．（21-22高一下·浙江金华·阶段练习）在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 四、解答题 22．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 23．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值. 24．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知向量，，函数，其中． (1)若，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 25．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 26．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)求方程在上的解集； (2)设函数． ①求在区间上的零点个数； ②记函数的零点为，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 三角恒等变换的应用5种常考压轴题归类 知识点01 半角公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。 知识点02 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 知识点03 万能公式 1、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 2、万能公式的推导 或 压轴题型一：利用半角公式、万能公式求值 √满分技法 解题的突破口在于观察和分析问题中角与角之间的关系，根据角之间的关系选择相应的公式。可由题目求得，，再利用半角正切的有理化公式求解；也可直接利用万能公式求解。 特别注意要根据角的范围去确定半角三角函数值的符号。 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可. 【详解】由可得， 得，则， ， 故． 故选：C. 7．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案. 【详解】，即； 即，故 令，则（当且仅当时等号成立） 故选：B． 8．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 压轴题型二：积化和差与和差化积公式应用 √满分技法 利用和差化积与积化和差公式化简三角函数的关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当的组合。组合时遵循的原则：①应尽量使两角的和（或差）出特殊角；②对于特殊角的三角函数式应当求出其值。和差化积公式与积化和差公式比较复杂，且有时在同一个题目中可能反复使用，要仔细揣摩记忆方法，不要混淆。 9．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 10．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 12．（2024·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果. 【详解】因为， 得到，又，所以， 所以， 故选：B. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用和差化积公式化简，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解. 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 15．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． 16．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 17．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 压轴题型三：三角恒等变换的化简问题 √满分技法 解决三角恒等变化问题要注意观察目标式的结构特点，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升降幂、你用公式等手段将其变形、化简。 18．（24-25高二下·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域. 【详解】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 19．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值，缩小所给角的范围，再根据三角函数的基本关系求得，再根据倍角公式及辅助角公式化简所求式子，即可求得. 【详解】因为，且，则， 则 ，  则 ， 则， 两边平方可得：，解得：， 则 . 故答案为：. 20．（2019·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以， 即，其余选项无法确定， 故选：B. 21．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简，即可得到最大值. 【详解】由题意得，， ∴的最大值为1. 故选：A. 22．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域. 【详解】， 图象向左平移个单位长度，得到， 上，， 则在上的值域为. 故选：C. 压轴题型四：三角变换中的求值问题 √满分技法 在三角变换求值问题中，解题时，首先梳理已知与所求角的和差、倍数等关系，据此选择两角和差、二倍角等公式，对已知条件和所求式子合理转化。化简后，代入已知三角函数值算出结果。过程中，要依据角的范围判断三角函数值正负，确保公式使用条件适配，并验证结果是否符合题目要求与实际情况。 23．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C 另解：， 所以. 故选：C 25．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 又， 故． 故选：B 26．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换得到，两边平方求出. 【详解】， 即，， 两边平方得，即， 解得. 故选：B 27．（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两角和的余弦公式求出，再将平方结合平方关系化简即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 即， 即， 即， 所以. 故选：C. 28．（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可. 【详解】由于，可得：，即， 又由于， . 故选：B. 压轴题型五：三角形中的恒等变换 √满分技法 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断。条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论。 29．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 30．（15-16高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 31．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 32．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 33．（21-22高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【详解】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 34．（21-22高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 一、单选题 1．（22-23高一下·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案. 【详解】因为 ，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 6．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解. 【详解】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 8．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【详解】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 9．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，然后得到函数的零点，由题意得到不等关系，用整数表示出并求出整数的取值范围，从而得到结果. 【详解】 ， 令，则，由题意可知， 故存在整数，使得， 即，因为，解得， 又∵，∴， ∴时，，当时，， 又∵，∴. 故选：D. 10．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解. 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：D. 11．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，设都是锐角，的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知有，应用倍半角公式化简可得，即，再由，即可求最大值. 【详解】由题设， 而， ， 所以，又， 所以，则， 所以，当且仅当时取等号， 由， ， 由. 故选：D 【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，得到为关键. 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可. 【详解】法一：不妨设，则， 整理得到: , 当时，；当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故的最大值为. 法二：由万能公式得，， 代入原式并化简得， 令，因为题设中欲求最大值，故可设, 故原式转化为， 当且仅当时取等，显然最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算. 二、多选题 13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】三角展开求出和，然后代入验证CD即可. 【详解】由， 由， 由上两式解得，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确， 故选：ABD 14．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 15．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 16．（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则（    ） A． B．的图象的一个对称中心为 C．的单调递增区间是， D．当在上的最大值为1时，正实数的最小值为1 【答案】AD 【分析】先由三角恒等变换化简函数解析式得，再由三角函数的图像与性质逐一判断各选项即可． 【详解】因为 ， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，解得， 所以的单调递增区间是，故C错误； 对于D，当时，， 因为在上的最大值为1，所以，解得，所以正实数的最小值为1，故D正确． 故选：AD． 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为π B．当时，的值域为 C．在，上单调递增 D．若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 【答案】ACD 【分析】利用三角恒等变形化简得，然后利用三角函数的性质求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数的值域，进而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可得 ． 易得的最小正周期为，故A正确. 当时，，其值域为，故B错误. 当时，单调递增， 故在上单调递增，故C正确. 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故且. 当时，，此时； 当时，，此时. 故． 综上所述，，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 18．（20-21高一·上海·假期作业）中，，则的形状为 . 【答案】锐角三角形 【分析】由已知不等式条件知且，即可判断的形状. 【详解】由，知：， ∴，即， 由题设不等式，得，即都为锐角. ∴为锐角三角形. 故答案为：锐角三角形. 19．（20-21高一·上海·假期作业）在中，若，那么三角形的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【分析】逆用两角和的正弦公式、两角差的余弦公式可， 则，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 即， 所以 所以是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形. 20．（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ． 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式变形得恒等公式：，将题中已知条件代入恒等公式并化简即可得，求得值，结合在 中，角的正切的范围即可从而得出结论. 【详解】解：由两角和的正切公式变形得： ， ∴ 将 代入恒等公式并化简：   解得 ，或 因为在中，故角的正切不为0，舍去； 有正切的负值最多有一个，否则角度和超过π，舍去．故 故答案为：2 21．（21-22高一下·浙江金华·阶段练习）在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】举例说明判断①，利用正弦、余弦函数的性质判断②③，和角的正弦公式及正弦函数的性质判断④作答. 【详解】在中，当时，，显然不是等腰三角形，①不正确； 在中，，则A为锐角，由得：B为锐角，且， 因此有，即，则有是直角三角形，②正确； 在中，，则， 因，则有， 于是得，是等边三角形，③正确； 在中，，则， 即，而，则有，是等腰三角形，④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题 22．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式得出齐次式，求解即可； （2）由两角差的正切公式求得，再根据两角和与差的正弦余弦公式将化为齐次式，代入求解即可． 【详解】（1） ，． （2）因为， 所以． 23．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式可得出，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为， 所以，， 故. （2）. 24．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知向量，，函数，其中． (1)若，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）把函数化成的形式，再根据函数的周期确定函数的解析式，再求函数的对称中心. （2）先确定的解析式，结合的图象，可求的最小值. （3）把问题转化为两个函数的值域的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）因为. 由恒成立，可知：函数的周期满足：， 所以，由. 所以. 由，，，所以函数的对称中心为，. （2）因为. 由 所以或，. 所以或，. 又，所以. 所以.所以. 函数的草图如下： 由函数在（且），上恰好有个零点， 所以. 即的最小值：. （3）问题转化为，当时，函数的值域是的值域的子集. 对：因为，所以，所以，又，所以； 对：因为，所以，所以，所以. 由，. 即的取值范围是： 25．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，  对称轴; (2); (3). 【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴； （2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围； （3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围. 【详解】（1）函数 , 所以函数的最小正周期， 由，所以函数图象的对称轴为； （2）由， 可得函数在区间上单调递增， 由于区间里面一定有，而， 所以函数在上不单调的等价条件是， 即满足或，解得：， 故的取值范围； （3）当时，，则， 所以函数的值域为， 再由，，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围． 26．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)求方程在上的解集； (2)设函数． ①求在区间上的零点个数； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)①1个零点，理由见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简方程，借助于辅助角公式和三角函数的图象性质即可求得； （2）①借助于三角函数的单调性和零点存在定理即可判断；②利用二倍角公式化简得，再换元，利用三角函数与二次函数的图象性质即可证得. 【详解】（1）由结合题意，， 即，则或. 当时，显然，可得，因，故或； 当时，，由，可得， 则或，解得或. 综上，方程在上的解集为. （2）①由， 当时，，此时在上单调递增， 在上单调递增，故在上单调递增， 又，故在区间上有且只有1个零点； ②由题意，，且，则， 则， 设，因，则，故， 又，故， 故， 因，此时是增函数，故可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$