专题16 两角和与差的余弦、正弦、正切5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题16 两角和与差的余弦、正弦、正切 5种常考压轴题归类 知识点一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. ③辅助角公式：，其中，， 知识点三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 压轴题型一：两角和与差的三角函数公式 满分技法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·上海长宁·一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 满分技法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 6．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一·全国·单元测试）的值等于（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23高三上·贵州·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，则（     ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 压轴题型三：给角求值 满分技法 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 15．（23-24高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 16．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 17．（20-21高一下·河北张家口·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 19．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 压轴题型四：给值求值 满分技法 ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 20．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 21．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（   ） A．-1 B． C． D． 23．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（2023·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知其中则（    ） A． B． C． D． 26．（2024高三·全国·专题练习）已知α∈(π，)，β∈(π，)，cos (α－)＝，sin (β－)＝，则sin (α＋β)的值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·山东日照·开学考试）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高三下·广东江门·开学考试）已知，且，则sinβ=（    ） A． B． C． D．或 29．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）已知、为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024高三上·山东济南·专题练习）锐角满足，若，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：给值求角 满分技法 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 31．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（2023高三·全国·专题练习）已知，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 34．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高三下·江西·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·全国·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 9．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知（为锐角），则等于（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D．都是锐角，，则 三、填空题 19．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知，，且，，则的值为 ． 20．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，且，则的值可以为 . 21．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）设、，、是一元二次方程的两个根，则 . 22．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ． 23．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，若，则角的取值范围是 . 24．（2025届河北省高三模拟预测数学试题）已知均为锐角，且，则 . 四、解答题 25．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量，其中，且． (1)求的值； (2)若，且，求角的值． 26．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 27．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 两角和与差的余弦、正弦、正切 5种常考压轴题归类 知识点一、两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,是任意角. ③辅助角公式：，其中，， 知识点三、两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,. ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 压轴题型一：两角和与差的三角函数公式 √满分技法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义及和角的余弦公式计算即得. 【详解】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为， 则，， 所以点的横坐标为. 故选：C 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先求出，然后利用诱导公式、两角和差的余弦公式运算即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故选：D. 3．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的概念、和角公式运算即可得解. 【详解】由题意，，解得：，则， ∴角的终边与单位圆交于点， ∴，， ∴. 故选：B． 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据终边上的点求三角函数，再利用诱导公式和两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】由题意角的终边上有一点，则， 故， 故 ， 故选：A 5．（2023·上海长宁·一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解. 【详解】由题可知，且， 因为，可知 则， 所以 . 故选：D. 压轴题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 √满分技法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 6．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案. 【详解】， ， 两式相加得， . 故选：D. 7．（22-23高一·全国·单元测试）的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解. 【详解】   故选：A. 8．（22-23高三上·贵州·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的两个等式两边分别平方相加，化简可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故选：B 9．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式逆用得解. 【详解】 ， 故选：A 10．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正、余弦公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 故选：D. 11．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 两式相加得，得， 故选：C 12．（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用平方关系消去，得，再应用诱导公式即可求解. 【详解】由，得，得①， 由，得，得②， ①②得：， 即， . 故选：B 13．（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式和诱导公式求解. 【详解】根据两角和的正切公式，， 可得，即； 根据诱导公式，， 故原式. 故选：A. 14．（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D. 压轴题型三：给角求值 √满分技法 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 15．（23-24高三上·北京·开学考试）（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将转化为，然后利用三角函数的两角和公式展开进行化简计算. 【详解】根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简, 将代入原式可得： . 因为，，所以. 则原式变为. 故选：C. 16．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 【详解】 ． 故选：B． 17．（20-21高一下·河北张家口·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可通过诱导公式以及两角和的余弦公式得出、，然后通过函数在区间上是减函数即可得出结果. 【详解】， ， 因为函数在区间上是减函数，， 所以，即， 故选：C. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式、正切函数的和差公式以及正弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，， 由，则 故原式，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故原式，D错误． 故选：B. 19．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 压轴题型四：给值求值 √满分技法 ①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 20．（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 21．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 又， 故． 故选：B 22．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解. 【详解】由题意得，则， 又因为，所以，同号， 又因为， 则，同正， 所以，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 23．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得. 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A 24．（2023·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，结合的范围得到的范围，然后根据缩小的范围，得到及的值，最后利用诱导公式及两角和的正弦公式即可得解． 【详解】令， 则，，且， 因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 故选：A． 25．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知其中则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两角和与差得正弦余弦公式构造并计算出，，再根据同角三角函数商数关系计算出，同理计算出，最后代入即可算出. 【详解】因为，，得，所以， 所以，，所以， 因为，，得，所以， ，，所以， 所以. 故选：C. 26．（2024高三·全国·专题练习）已知α∈(π，)，β∈(π，)，cos (α－)＝，sin (β－)＝，则sin (α＋β)的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 sin (α＋β)＝cos (α＋β－) ＝cos [(α－)＋(β－)] ＝cos (α－)cos (β－)－sin (α－)sin (β－)， 因为a∈(π，)，所以α－∈(，). 因为cos (α－)＝－，当α－在第二象限时， 由于cos ＝－， 又y＝cos x在[，π]上单调递减，且－＞－，不符合题意. 所以α－在第三象限，因为cos (α－)＝－， 所以sin (α－)＝－. 因为β∈(π，)，所以β－∈(，)，则cos (β－)＜0. 因为sin (β－)＝，所以cos (β－)＝－. 所以cos (α－)cos (β－)－sin (α－)sin (β－)＝－×(－)＋×＝， 即sin (α＋β)＝.故选C. 27．（23-24高二上·山东日照·开学考试）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据同角关系，结合三角函数的性质可得，，即可根据和差角公式求解. 【详解】 ， 因为，所以， 因为，当在第二象限时，由于， 又在上递减，且，不符合题意． 所以在第三象限，因为，所以． 因为，所以，则． 因为，所以． 所以， 即． 故选：C． 28．（22-23高三下·广东江门·开学考试）已知，且，则sinβ=（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，根据利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果. 【详解】因为且，所以， 所以， 又，所以，又， 所以. 当时， ， 因为，所以，所以不合题意，舍去； 当， ；符合题意. 综上所述：. 故选：B. 29．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）已知、为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为、为锐角，即，，所以，， 因为，， 所以，， ， 所以， . 故选：D. 30．（2024高三上·山东济南·专题练习）锐角满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，然后根据已知结合两角和的余弦公式求出，再根据已知条件即可得解. 【详解】由，可得，，而，故. 此即，故，所以，故. 故选：B. 压轴题型五：给值求角 √满分技法 解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 31．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 32．（2023高三·全国·专题练习）已知，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得，结合可得结果. 【详解】，，，， ， 又，. 故选：B. 33．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 34．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用同角公式及逆用差角的正弦求得，再与已知结合求出即可得解. 【详解】依题意，，，两式平方相加得， 即，由，得，则，即， 于是，，即， 两边平方整理得，又，解得， 所以. 故选：C 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】将题干条件等式左边进行展开，重新整理表达式，推出后进行判断即可. 【详解】， 整理可得，， 即， 对于，不可能恒成立， 故只有，则，， 结合选项，只有A符合. 故选：A 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【详解】，则， ， . 故选：D. 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用差角余弦公式得，再应用齐次式法并化弦为切得，结合求函数值. 【详解】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 5．（24-25高三下·江西·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式和和差角公式化简等式求得的值，从而知道的值，然后得到的值. 【详解】，， ，可得， ，． 故选：A． 6．（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解. 【详解】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 7．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用已知条件求出的值，然后将表示为，再运用两角和的余弦公式来求解的值. 【详解】已知，那么. 因为，根据， 可得：. 则. 把，，，代入上式可得： . 故选：B. 8．（24-25高三下·全国·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先由同角的三角函数结合两角和的余弦展开式解方程得到，，再由两角差的余弦展开式计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，， 所以 故选： 9．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 故. 故选：D. 10．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出，的值，再根据，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得， 又因为，所以，． 由，，得， 因为，所以，． 因为，所以， ， 所以， 故选：B． 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用同角三角函数关系求出则，再根据两角和差余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以. 故选：B. 12．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知（为锐角），则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得出，由，利用和角公式即可求. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 故选：C 13．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 二、多选题 14．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】整理可得，换元令，解得，即可得判断AB；可知为方程的两根，进而可得，即可判断CD. 【详解】因为， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去） 所以，，故A错误，B正确； 可知为方程的两根， 由解得， 可知或， 可得，故C正确； 或，故D错误； 故选：BC. 15．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，则，故D错误. 故选：AC. 16．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由两角和与差的余弦和正切以及同角的三角函数关系逐项判断即可. 【详解】由题意可得，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC 17．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦的和差角公式即可判断A，由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 18．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D．都是锐角，，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用商数关系和正弦的和差公式，即可求解；对于B和C，取特殊角，即可求解；对于D，根据条件，利用平方关系，求得，，再通过构角，利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，正确， 对于B，当时，，错误， 对于C，当时，，错误， 对于D，因为都是锐角，则，又，则，， 所以，正确， 故选：AD. 三、填空题 19．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知，可得，，，利用两角和与两角差的余弦公式作差可得，由两角差的正弦公式可得，则由即可求得答案． 【详解】由，知，，． 因为，则， 又，则，． 由两角和与两角差的余弦公式可得 ， ， 两式作差可得． 又由两角差的正弦公式得 ， 则， 因此． 故答案为：. 20．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，且，则的值可以为 . 【答案】或 【分析】利用三角函数的诱导公式求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以, 因为，所以, 又 所以， 所以. 当时，. , , 故答案为：或. 21．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）设、，、是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理求出，，即可得到、，则，再求出，即可得解. 【详解】因为、是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 所以，， 又、，所以、，所以， 所以， 所以. 故答案为： 22．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，判断所在象限，利用同角公式求出目标值. 【详解】由，得， 由为第一象限角，得， 由为第三象限角，得， 则，而， 于是，， 由，， 所以. 故答案为： 23．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，若，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知均为锐角，则分类讨论，若均为钝角，不妨设，则与矛盾，若均为锐角，则利用以及基本不等式可得. 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. 24．（2025届河北省高三模拟预测数学试题）已知均为锐角，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用两角和与差的正弦公式可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 即， 由题可知，且，即， 解得或（舍去），. 故答案为：. 四、解答题 25．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知向量，其中，且． (1)求的值； (2)若，且，求角的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，化简可求，再利用商数关系和平方关系，即可求解； （2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，得到，代入，得到， 又，所以. （2）由（1）得，， ， 因为，，所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 26．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据齐次式，结合弦切互化即可求解； （2）由同角三角函数的基本关系结合角的范围求解，，，利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以，又，， 所以，， 因为，，所以， 所以. 27．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用平方关系、和角的正弦公式求值. （2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值. 【详解】（1）由，得，而，则， 所以. （2）由，得，而，则， 所以 . 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式即可求解； （2）由同角三角商的关系及两角和的正切公式即可求解； 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以， 所以； （2）为第二象限角，， 所以， ， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$