专题11 三角函数中的参数问题8种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题11 三角函数中的参数问题 8种常考压轴题归类 函数的性质： （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数； （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为； （3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间； （2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴． 压轴题型一：根据周期性求参数 √满分技法 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心 C．是的一个对称轴 D．的值域为 【答案】D 【分析】先根据最小正周期为，求出，确定的解析式，画出函数图象，判断函数的奇偶性，对称性，求出一个周期内函数值的范围，然后对选项中的结论逐一分析即可得结论. 【详解】函数的最小正周期为，所以， 从而 即，其图象如图所示， 由图象知先减后增，故A错误； ， 不是的一个对称中心，，故B错误； ， 不是的一条对称轴，因此答案C错误； 时，此时， 因为是偶函数，所以时， 又因为函数的最小正周期为，所以的值域为，D正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知，若，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，，两式作差即可求出结果. 【详解】不妨设， 因为函数，满足， 不妨令，， 两式相减得：，故， 又，则 故选：A 3．（24-25高三上·河北·期末）设函数，已知，，且的最小值为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由已知，正弦函数中，，，由正弦函数的图象和性质可得的最小值为，这个最小值就是函数周期的，进而可得中的最小值为，是函数周期的，则可求出. 【详解】根据题意，在正弦函数中，，， 则的最小值为，又， 因为函数，已知，， 且的最小值为，所以， 所以函数的最小正周期为，所以，解得. 故选：C． 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 5．（24-25高三上·北京通州·期中）设函数，已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用的性质，得到和，从而得到，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，得到① 又，则，得到②， 由①②得到，，即，又，所以的最小值为， 故选：B. 压轴题型二：根据奇偶性求参数 √满分技法 时，函数为奇函数；时，函数为偶函数； 6．（24-25高二上·上海·期末）已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（   ） A． B． C．62 D．66 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合图象变换可得，根据偶函数可得，，进而分析求解即可. 【详解】因为， 把函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 因为关于y轴对称，即为偶函数， 则，，解得，. 令，得. 所以. 故选：D. 7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质可得，进而利用整体法求解函数的单调增区间，根据关于原点对称，即可求解. 【详解】为偶函数， 故，故， 由于，故，则， 令, 解得， 故的一个单调递增区间为， 由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故， 故选：A 8．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【详解】因为函数为奇函数，即， 且函数的定义域为，所以，， 可得，解得， 所以，， 则为奇函数，合乎题意. 因此，. 故选：A. 9．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，可得，并代入求定义域检验即可. 【详解】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意. 故选：A. 10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由，列出方程，求出的值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为， 所以， 因为函数为奇函数， 所以， 所以， 所以， 所以. 经验证符合条件. 故选：A. 11．（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式变形后得到，再由奇函数的性质结合正弦函数的诱导公式求出即可. 【详解】因为， 则， 因为为奇函数，所以， 所以， 即， 所以，， 所以， 所以最小值为， 故选：D 压轴题型三：根据对称性求参数 √满分技法 形如型， ①若题意给出对称轴，则将其代入可得，即， ②若题意给出对称中心，则将其代入可得，即， 结合题意求出参数； 12．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的图象性质，通过图象中两个特殊点的距离与周期的关系求出周期，再结合周期公式求出，最后代入特殊点求出，进而求得的值. 【详解】由三角函数的图象与性质可得，，解得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时，解得， 此时，代入，可得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时.故. 故选：C. 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系 ，得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得，故， 所以对任意都成立，且， 所以，因为，所以． 由的图象关于点对称，得， 令得，所以， 因为，所以， 又，得，， 解得， 当时，，在上是减函数； 当时，在上是减函数； 当时，在上不是单调函数． 综上可得，或． 故选：C． 14．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案. 【详解】 ，， 则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：D． 15．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若，恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而得到，即可求解. 【详解】由题意知为图象的一条对称轴，为的零点， 所以，，又，得到， 所以当时，的最小值为2， 故选：B. 16．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（   ） A．6 B． C． D．16 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值. 【详解】函数，其最小正周期， 由函数在区间上恰有两个对称中心，得， 即，解得，又， 则当是函数图象对称轴时，，解得， 此时或，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意， 所以的所有可能取值之和是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由在区间上的对称中心个数得求出范围，再结合函数值相等分类求解是关键. 压轴题型四：根据值域（最值）求参数 √满分技法 首先要将给定函数化简为标准形式，然后，依据三角函数的性质，明确函数的最值与周期。根据题目给出的值域或最值条件，列出关于参数的等式或不等式。同时，结合函数定义域对参数取值范围的影响，求解出参数的具体值或取值区间。解题时务必留意函数的单调性、对称性等性质对结果的影响 。 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的图象和性质，利用整体代换计算即可. 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰有两个最大值点， 所以，解得， 故选：D 18．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 19．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数在区间上的最小值为则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用畏助角公式化简，根据题意可得的取值范围，进而可求最大值. 【详解】函数 ， 由于在区间上的最小值为因此， 为了使在区间上的最小值不小于的最大值为 解得t的最大值为. 故选：D. 20．（24-25高一上·海南·期末）已知函数在区间上的值域为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数解析式求出函数的单调区间，分类讨论取不同值时，三角函数在上的值域，即表示出的值，通过排除或者求得到与有关等式，在由同角三角函数的关系求出. 【详解】令，则， ∴函数在区间上单调递增；区间，上单调递减. ， ①当时，则，此时，，不合题意. ②当时，即， 则函数在区间，上单调递增；区间，上单调递减， 此时，∵，∴，即，∴， 又∵，即，∴， ③当时，即时，，，则此时，不合题意. ∴ 故选：A 21．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图像与轴交点求出，由函数在区间上有最大值，求出的取值范围，从而知道函数在区间上无最大值时的取值范围. 【详解】由条件得，又，得，所以. 由，解得. 若在区间上存在最大值，则，解得， 则，所以若在上无最大值，的取值范围为， 故选：D. 22．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围. 【详解】因为， 当时，，故． 因为，在上的值域均为， 故区间长度必须大于一个周期， 即，解得． 故选：A. 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解. 【详解】因为函数在区间上的最大值为， 所以，解得， 因为，所以， 当，即时，， 令，在同一坐标系中作出图象： 令， 因为，， 所以存在唯一，使得； 当，即时，，即，解得 . 所以实数的取值个数最多为2. 故选：B. 压轴题型五：根据单调性求参数 √满分技法 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 24．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可. 【详解】画出函数的部分图象如图所示， 因为，所以 因为在区间上不单调， 所以解得 故选：B. 25．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）函数，若在区间上是单调函数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得函数的最小正周期，求得，再由，按讨论得解. 【详解】由函数在上是单调函数，得函数的最小正周期，则， 又，因此，由，得或， 当时，，，， 由，得，则，而， 于是与矛盾，； 当时，，， ，满足要求，可取符合题意，因此. 故选：A 26．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围. 【详解】由已知在处取得最小值， ，，解得， ∵函数在上单调递减， ，即，， 当时，，，符合条件， . 由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， 的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即， 故选：B. 27．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，取的值得到结果. 【详解】当时，， 则， 即，解得， 当时，，又∵，则， 当时，， 当时，∵，此时无解， ∴. 故选：D. 28．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上，方程恰好有两个不同的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角恒等变换公式可得，再结合正弦函数的单调性与最大、最小值计算即可得解. 【详解】 ， 由在区间上是增函数， 则，，即，，即， 由在区间上，方程恰好有两个不同的解， 且在区间上是增函数，故当时，无解， 则有，，解得，， 又，故. 故选：C. 29．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 30．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可. 【详解】由已知可知， 由，解得， 因为在上单调递增，所以， 即，解得①， 此时，解得； 又因为在上，恒成立，所以， 解得，由于， 所以，解得②， 此时，解得，又因为，所以 当时，由①②可知，解得； 当时，由①②可知解得， 所以的取值范围为. 故选:B. 压轴题型六：根据零点求参数 √满分技法 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 31．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 . ，由于在区间上有且只有一个零点， 所以， 而， 其中，而， 在区间上单调递增， 所以，解得， 则. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围. 32．（2024·浙江宁波·一模）设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质可得的零点为，根据，解得或，即可分三种情况讨论求解. 【详解】在区间内恰有6个零点， 又最多有两个零点， 当时，至少有四个根， ， 令，即，，， 又，，即， 令，解得或， ①若且，解得， 此时在有2个零点， 只需要在有4个零点， 这4个零点分别为 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ②当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ③当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得不存在， 综上可得或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三种情况讨论求解. 33．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的伸缩可得函数解析式，再利用整体法判断零点及单调性情况，可得不等式，解不等式即可得解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 设， 当时，， 由函数在上恰有两个零点， 则，解得， 又当，， 则，， 函数在上单调递增， 所以，解得， 综上所述， 故选：C. 34．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，再求的值. 【详解】当时，． 由在区间内无零点，得，解得． 由的图象关于直线对称，得，解得，， 所以当时，，满足，从而， 所以. 故选：C 35．（2024·江西·一模）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以，即， 与联立得，因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故在上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5． 故选：B． 36．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】应用辅助角公式可得，结合正弦型函数的对称性及已知有求，最后由区间零点个数有，即可确定参数值. 【详解】由题设，函数 其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是， 所以，即，所以，． 因为函数在内仅有3个零点，所以，解得， 所以. 故选：B 37．（2024高二上·贵州·学业考试）若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出在上由小到大的第5与第6个零点，列不等式组可解得的范围. 【详解】由，，得，， 所以函数在上由小到大的第5个零点为， 第6个零点为， 由题知，，解得， 故选：D 压轴题型七：根据图像变化求参数 √满分技法 解答根据三角函数图像变化求参数的题，第一步要熟知三角函数解析式中各个参数的作用。第二步结合图像的平移、伸缩变换，找到变换前后的对应关系，列出含参数的等式。最后依据题设条件和三角函数特性，求出参数的具体值或取值范围。 38．（24-25高一下·重庆·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用函数图象的平移变换及函数性质求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，， 当时，是奇函数，即. 若是奇函数，则，解得. 当时都在之间，，不一定必须， 所以不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 39．（2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得， 由面积为及对称性知，，进而， 代入结合，得. 故选：B 40．（2025·河北沧州·一模）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数周期性将函数化简，再结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得的最小值. 【详解】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3. 若，则，且，又，则无解； 若，则，且，又，则； 若，则，且，又，则无解. 综上，. 所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为， 因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为. 故选：D. 41．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用平移可得的表达式，进而利用整体法即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，， 由于，所以， 要使在上的值域为，则且， 解得， 故选：B 42．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知函数，则（   ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，的图象关于点对称 C．若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为 D．若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为 【答案】D 【分析】把代入，利用余弦函数的性质求解判断AB；利用图象变换网络零售一图象特征列式求解判断C；求出相位的范围，由已知列出不等式求解判断D. 【详解】对于AB，当时，，当时，， 函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度，得， 由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误； 对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点， 得，解得，因此实数的最大值为，D正确. 故选：D 压轴题型八：根据不等式恒成立求参数 √满分技法 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合(图像在上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 43．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有3条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 44．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换的知识化简，然后利用换元法，结合二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意， 恒成立， 即 令，设， 则恒成立，所以， 解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 45．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由最大值求得的表达式，再由周期确定范围，从而可得结论． 【详解】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 46．（23-24高二下·海南·期末）若当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于不等式左侧结合二倍角公式、两角差的正弦公式和辅助角公式进行化简，再根据求出，从而得到的取值范围； 【详解】 因为所以，则， 又因为不等式恒成立， 所以的取值范围为， 故选：B. 47．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知函数满足下列条件：①对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图象都有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知函数周期是，由①得函数的一条对称轴是，结合②可得或，由③可得，结合可求得结果. 【详解】由函数可知函数周期是， 因为对任意恒成立，所以函数的一条对称轴是， 又因为在区间上是单调函数，所以，， 解得， 又，所以，解得， 所以为0或1. 当时，；当时，， 由已知得， 因为经过点的任意一条直线与函数图象都有交点， 所以，所以， 因为对任意恒成立， 所以， 所以， 由或，得或， 所以或. 故选：A. 48．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数，其中，为实数，若相邻两条对称轴之间的距离为，且对恒成立，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得到周期和对称轴，结合可得函数的解析式，代入可求. 【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为得， 解得， 由对恒成立可得为对称轴，， 所以， 所以，得， ，， 又， 所以， 当为偶数时，，该式不成立， 当为奇数时，，该式成立， 所以， 所以. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的图象与性质，即可求解. 【详解】对于函数，易知的图象关于点对称， 设为的最小正周期，则，又，得， 当时，，，得到，， 又，可得， 故选：C. 2．（22-23高一下·湖北·期末）已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简计算得函数，利用整体法，代入对称轴计算得的值，然后利用整体法分析函数的值域，列关于的不等式计算即可得答案. 【详解】， ， ， ，因为函数的一条对称轴为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 当时，， 因为函数在区间上值域为， 所以，解得， 所以实数的最大值为. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式、倍角公式及辅助角公式可得，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则原函数的图象关于直线对称，利用余弦函数的对称性即可求解. 【详解】， 由题意可知，函数的图象关于直线对称， 所以，， 即，又，故． 故选：. 4．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 5．（2025·陕西·一模）已知函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数周期及，可得，然后分别验证 和可得答案. 【详解】由已知得的最小正周期：，因为，， 而，所以的图象关于坐标原点对称，所以， 所以．不妨令， 若，则，符合题意， 若，则，不符合题意， 故． 故选：C 6．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2 【答案】B 【分析】由一个周期内有两个解可知，，据此可得答案. 【详解】由题可知，，则， 所以，，即，又，所以，解得，， 结合，可知k可取2，3. 故选：B. 7．（19-20高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合函数最大值及相邻两个最高点的距离得到函数周期，求出，再由化为，恒成立，求出的大致区间，最后结合余弦函数的图象，即求得的取值范围. 【详解】函数的最大值为3，所以图象与直线相邻两个交点的距离为一个周期，即周期，， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 当时，， 则， 结合余弦函数的图象特征可知，，解得. 故选:B. 【点睛】思路点睛： 研究型三角函数的性质，通常利用整体转换思想，将看成整体，将问题化归为研究熟悉的余弦函数的性质来解决. 8．（22-23高三上·宁夏·期中）已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，代入验证知不可能为偶函数，①错误，由函数的对称性可判断②，得到答案. 【详解】∵，， ∴，， 故，，， 由，则， 故，，， 当时，，， ∵在区间上单调， 故，故，即， ，故，故， 综上所述：或，故③④正确； 或，故或，，不可能为偶函数，①错误；由题可知是函数的一条对称轴，故成立，②正确. 故选：C. 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论. 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称，则①． 由知的图象关于点对称，则②． ②①得，令，则， 结合可得或9． 当时，代入①得，又，所以， 此时，因为，故在上单调递增，符合题意； 当时，代入①得，，又，所以， 此时，因为， 故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去． 综上，的值为3． 故选：A. 10．（2024·河北·二模）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据在上单调递减列不等式组求解即可. 【详解】当时，由得， 所以在上单调递减， 即在上单调递减， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得. 故选：D. 11．（24-25高一下·湖北·开学考试）不等式，且对恒成立，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，当时，需函数的图像要恒在图像的上方，据此可求 【详解】当时，函数的图像要恒在图像的上方 如图所示： 当的图像过点时，可得， 然后它只能向右旋转，此时a在增大，但是不能大于1， 所以a的范围为. 故选：B. 12．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得，再设，结合基本不等式求解的最小值即可. 【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须. 设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是. 故选：A 13．（22-23高一·全国·课堂例题），对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数最值的定义，结合余弦函数的最值进行求解即可. 【详解】因为对任意的实数x都成立， 所以说明当时，函数有最大值， 所以有，， ∴，， ∵，∴当时，有最小值，为． 故选：D. 14．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，从而求出，则当时，，根据正弦函数的图象和性质，求得的取值范围． 【详解】函数，令，可得， 由于的图象与直线相邻两个交点的距离为， ，，． 若对任意恒成立，则当时，， 因此，，解得，， 因为，所以，即． 故选：C. 15．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分析可得，可得出，再结合题意可得出关于的不等式，结合的取值可求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，则， 所以，，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 假设不存在，则或，解得或， 因为存在，则，因为，则. 所以，，可得， 故选：A. 二、多选题 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的对称性判断A；求解在区间上的零点可判断B；求出的解析式，根据正弦函数的性质判断C；根据角的范围及余弦函数的单调性判断D. 【详解】对于A，函数的图象关于直线对称， 则，即 因为，所以取，则，故A正确； 对于B，， 令，得，所以， 当时，；当时，；当时，， 所以在区间上只有一个零点，故B错误； 对于C，因为， 所以为奇函数，故C正确； 对于D，当时，， 因为在上单调递减，所以在区间上单调递减，故D正确． 故选：ACD． 17．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数满足，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下面说法正确的是（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数在上单调递减 D．函数在上有两个极值点 【答案】AD 【分析】根据函数对称性结合得判断A，先利用变换法则求出，进而利用奇函数定义判断B，根据正弦函数性质判断单调性判断C，结合极值点的概念利用余弦函数性质判断D. 【详解】根据题意，函数关于直线轴对称，所以， 所以，即， 又因为，可得，故A正确； 函数，显然，故B错误； 当时，，所以函数在上单调递增，故C错误； 因为函数，令，则， 根据余弦函数图象可知，D正确. 故选：AD. 18．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象 C．若，则是的整数倍 D．若在上单调递增，则 【答案】BCD 【分析】根据正切函数的图象和性质对各选项逐一判断即可. 【详解】当时，，， 因为，在上单调递增， 所以，所以，A错误； 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，B正确； 若，则是最小正周期的整数倍，又的最小正周期，C正确； 当时，， 所以当，即时，在上单调递增，D正确， 故选：BCD 19．（2023高一下·四川成都·期中）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由的范围，求出的范围，由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 函数，若在区间内单调递增， 所以，所以. 故选：BC. 20．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C．2 D． 【答案】BD 【分析】利用绝对值定义去掉绝对值符号，根据正切函数的单调性，求解的取值范围即可. 【详解】∵， ∴ 当时，， 当时， ∵当时，函数不单调， ∴， ， 故选：BD 三、填空题 21．（24-25高二上·浙江·期中）若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 【答案】 【分析】求出平移后解析式，再由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】函数 的图象向右平移 个单位后， 得到， 当时，， 在上单调递减， ， ， 又， 故答案为： 22．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而有，利用的性质，求出的单调区间，结合条件，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，则，得到， 又，则，所以，得到， 因为，由，得到， 因为函数在上是减函数，令，得到， 由，得到，所以的取值范围是， 故答案为：. 23．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用整体法即可结合余弦函数的单调性得求解. 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 24．（2025高三下·全国·专题练习）在上是增函数，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】先应用辅助角公式化简，再求出增区间，结合单调区间列不等式计算求解. 【详解】，由，即的增区间为， 依题意，由于且求最小值，故当时上述关系才能或立． 即， 即，故正数a的最小值为． 故答案为：. 25．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图象关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据周期求，根据对称轴求，然后利用正弦函数的性质求解可得. 【详解】由题知，，所以， 又函数的图象关于直线对称，所以， 所以，即， 因为，所以，则， 当时，， 因为函数在上既存在最大值也存在最小值， 所以或，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 26．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，函数，，若函数与 的图像有且仅有一个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数图形交点问题转化为方程解的问题，由余弦函数图像的性质即可得到参数的取值范围. 【详解】由题意得由且只有一个解， 则，又∵， ∴有一个解， ∵ ∵，∴ ∴ 故答案为： 27．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据可得，故可求的最小值. 【详解】因为，故， 所以， 故或， 所以或，而，故， 故答案为： 四、解答题 28．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是. (1)求的解析式. (2)若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式； （2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果. 【详解】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，则，， ， 函数的图像关于原点对称，，所以 （2）令，则所以 若有两解，即在上有两解， 由的图象可得，，即 ， 的取值范围是. 在上有两个不等的解，， 则，所以. 29．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)用五点法画出在一个周期上的图象； (3)若在区间上恰有4个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据的图象，求得的解析式，根据三角函数图象变换求得的解析式； （2）根据五点法画出在一个周期上的图象. （3）根据在区间上零点的个数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由函数的图象可知，函数的最大值为，最小值为，因为，所以. 函数的周期满足，则. 所以. 已知，将点代入可得， 即（）. 又因为，所以时，，那么. 将图象上所有点纵坐标不变，横坐标扩大到原来的两倍， 可得. （2）列表如下： 由此画出的图象如下图所示： （3）令，则（）， 解得（），则相邻两个零点之间的距离为. 在区间上恰有个零点，那么至少包含个完整的相邻零点间隔， 且小于个完整的相邻零点间隔，所以. 所以的取值范围是. 30．（2023·河北承德·模拟预测）已知，函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在区间上单调，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令求的范围，即可得增区间； （2）由题意在上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围. 【详解】（1）由题设，令， 所以，故的单调递增区间为. （2）由，则， 所以在上单调，又， 若，，则，， 所以，，故时，满足题设； 若，，则，， 所以，，此时没有满足题设的k值； 综上，. 31．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为. (1)若在为增函数，求的取值范围. (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过求出，再根据相邻两个交点的距离为可求出，再根据求出的范围，大概估计增区间所在位置然后列不等式求解； （2）根据求出的范围，确定单调性，进而得到最小值的位置，列不等式求解即可. 【详解】（1）令，解得， 则由已知，解得， 所以， 因为，所以， 又，得， 因为， 所以，即，又 解得； （2）当时，， 因为， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若对恒成立， 则，即， 即，又， 解得. 32．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数． (1)求函数，的值域； (2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由奇函数解得，再将看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可； （2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围. 【详解】（1）因为， 由是奇函数， 所以，则， 解得， 又，则. 验证：当时，， 由，得是奇函数. 因为函数 ， 由，则， 所以， 故当时，； 当或时，. 故所求函数的值域为； （2）因函数在区间和上均单调递增， 令，则在区间和单调递增， 故，且， 解得， 则实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 三角函数中的参数问题 8种常考压轴题归类 函数的性质： （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数； （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为； （3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间； （2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴． 压轴题型一：根据周期性求参数 满分技法 ①对形如或的周期为，对形如的周期为； ②对形如或的周期为，对形如的周期为； 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心 C．是的一个对称轴 D．的值域为 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知，若，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高三上·河北·期末）设函数，已知，，且的最小值为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 5．（24-25高三上·北京通州·期中）设函数，已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：根据奇偶性求参数 满分技法 时，函数为奇函数；时，函数为偶函数； 6．（24-25高二上·上海·期末）已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（   ） A． B． C．62 D．66 7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 11．（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：根据对称性求参数 满分技法 形如型， ①若题意给出对称轴，则将其代入可得，即， ②若题意给出对称中心，则将其代入可得，即， 结合题意求出参数； 12．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若，恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（   ） A．6 B． C． D．16 压轴题型四：根据值域（最值）求参数 满分技法 首先要将给定函数化简为标准形式，然后，依据三角函数的性质，明确函数的最值与周期。根据题目给出的值域或最值条件，列出关于参数的等式或不等式。同时，结合函数定义域对参数取值范围的影响，求解出参数的具体值或取值区间。解题时务必留意函数的单调性、对称性等性质对结果的影响 。 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 19．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数在区间上的最小值为则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·海南·期末）已知函数在区间上的值域为，且，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题型五：根据单调性求参数 满分技法 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． 24．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）函数，若在区间上是单调函数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上，方程恰好有两个不同的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：根据零点求参数 满分技法 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 31．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·浙江宁波·一模）设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 34．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 35．（2024·江西·一模）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 37．（2024高二上·贵州·学业考试）若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 压轴题型七：根据图像变化求参数 满分技法 解答根据三角函数图像变化求参数的题，第一步要熟知三角函数解析式中各个参数的作用。第二步结合图像的平移、伸缩变换，找到变换前后的对应关系，列出含参数的等式。最后依据题设条件和三角函数特性，求出参数的具体值或取值范围。 38．（24-25高一下·重庆·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 39．（2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ） A． B． C． D． 40．（2025·河北沧州·一模）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 41．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知函数，则（   ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，的图象关于点对称 C．若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为 D．若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为 压轴题型八：根据不等式恒成立求参数 满分技法 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合(图像在上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 43．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）函数，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 44．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 46．（23-24高二下·海南·期末）若当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知函数满足下列条件：①对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图象都有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数，其中，为实数，若相邻两条对称轴之间的距离为，且对恒成立，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·湖北·期末）已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 5．（2025·陕西·一模）已知函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2 7．（19-20高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·宁夏·期中）已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，给出下列命题①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3；其中正确的命题有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 10．（2024·河北·二模）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·湖北·开学考试）不等式，且对恒成立，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一·全国·课堂例题），对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 14．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．在区间上单调递减 17．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数满足，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下面说法正确的是（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数在上单调递减 D．函数在上有两个极值点 18．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象 C．若，则是的整数倍 D．若在上单调递增，则 19．（2023高一下·四川成都·期中）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C．2 D． 三、填空题 21．（24-25高二上·浙江·期中）若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 22．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 23．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 24．（2025高三下·全国·专题练习）在上是增函数，则实数a的最小值为 ． 25．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图象关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数m的取值范围为 ． 26．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，函数，，若函数与 的图像有且仅有一个公共点，则的取值范围是 . 27．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，且，则的最小值为 ． 四、解答题 28．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是. (1)求的解析式. (2)若在上有两个不等的解，，求实数的取值范围及的值. 29．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)用五点法画出在一个周期上的图象； (3)若在区间上恰有4个零点，求的取值范围. 30．（2023·河北承德·模拟预测）已知，函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在区间上单调，求的取值范围. 31．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为. (1)若在为增函数，求的取值范围. (2)若对恒成立，求的取值范围. 32．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数． (1)求函数，的值域； (2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$