专题10 三角函数的图象与性质8种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题10 三角函数的图象与性质 8种常考压轴题归类 知识点1正弦函数与余弦函数的图象 1．正弦曲线的定义 （1）正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右2π个单位长度平行移动. 2．余弦曲线的定义 （1）余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (2)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin. (3)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 3.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. 4.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 5.正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在(k∈Z)上单调递增 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增， 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 知识点2正弦函数与的图像性质关系 周期 定义域 R R 最大值 1，取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点3正切函数的性质与图象 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心k∈Z) 压轴题型一：三角函数周期问题 满分技法 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）下列函数是周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知的最小正周期为，且，，则与无关的是（   ） A． B． C． D．在上的零点个数 3．（22-23高一下·陕西安康·期中）把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 4．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 压轴题型二：三角函数单调性问题 满分技法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知，若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：三角函数奇偶性问题 满分技法 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 12．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）函数在区间的图象大致为（   ） A．B． C．D． 13．（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 压轴题型四：三角函数对称性问题 满分技法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 15．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为奇函数，且，则函数图象的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数满足，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 压轴题型五：三角函数值域（最值） 满分技法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 19．（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题为假命题，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题型六：三角函数零点问题 满分技法 考察类型： （1） 考察零点个数问题； （2） 考察零点代数和问题 方法：将函数进行换元转换： （1）令，从而转换为，进而转换为：，画出图象，找交点，交点的个数就是原函数零点的个数；交点横坐标就是原函数零点 23．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 压轴题型七：三角函数图象变换 满分技法 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 29．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为（   ） A． B． C． D． 30．（2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 压轴题型八：根据图象求解析式 满分技法 33．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 34．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 35．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 36．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 37．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 一、单选题 1．（2025·福建莆田·二模）已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.则下列叙述错误的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．的最小正周期为 D．的值域为 3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，若方程在上恰有6个实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·北京·开学考试）关于函数，有下列命题： ①若，则； ②的图象可由向左平移得到； ③若，且，则一定有； ④函数的图象关于直线对称. 其中正确命题的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·贵州铜仁·模拟预测）将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数在上的值域是 D．若，则曲线与轴围成的图形面积是 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（    ） A．的周期是 B．的一个对称中心可以是 C．的一个单调递增区间可以是 D．的一条对称轴可以是 11．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．的最小正周期是 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 12．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象可由向左平移得到 C．若的定义域为，则值域为 D．集合，若，且，则 13．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．在上的值域为 14．（2025·吉林长春·二模）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 15．（2025·山西·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．函数的最小正周期是2 B． C． D．函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 三、填空题 16．（24-25高一下·天津·阶段练习）若将函数的图像向右平移个单位 长度后所得图像关于y轴对称，则的最小值为 . 17．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，在区间上是单调函数，则的取值范围 ． 18．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 19．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 20．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为 . 四、解答题 21．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． (3)求的解集． 22．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求出，，的值； (2)求函数的单调递增区间和对称轴； (3)求在上的最小值，并求出取最小值时x的取值. 23．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间. 24．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角函数的图象与性质 8种常考压轴题归类 知识点1正弦函数与余弦函数的图象 1．正弦曲线的定义 （1）正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右2π个单位长度平行移动. 2．余弦曲线的定义 （1）余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (2)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin. (3)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 3.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. 4.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 5.正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在(k∈Z)上单调递增 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增， 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 知识点2正弦函数与的图像性质关系 周期 定义域 R R 最大值 1，取得 A，当取得 最小值 -1，当取得 -A，当取得 单调增区间 单调减区间 对称轴 对称中心 知识点3正切函数的性质与图象 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心k∈Z) 压轴题型一：三角函数周期问题 √满分技法 (1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期． (2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为． (3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为． 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）下列函数是周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误. 对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确. 对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误. 对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误. 满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B. 2．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知的最小正周期为，且，，则与无关的是（   ） A． B． C． D．在上的零点个数 【答案】B 【分析】根据三角函数的对称性可得，，或，，，即可求B，根据周期性即可求AD，求导即可求解C. 【详解】记，，其中，，，， 由可知，应在同一个单调区间内，即，，或，，， 故或， 由三角函数的对称性知，故B正确． A选项，故其会发生改变， C选项, ，则，故亦会发生变化， D选项会随着周期的变化而变化． 故选：B 3．（22-23高一下·陕西安康·期中）把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先利用三角函数图象变换规律求出，再求出其周期，然后利用周期可求得结果. 【详解】由题知函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，可得的图象， 再把图象向右平移2个单位长度，可得的图象， 即，其最小正周期， ， . 故选：C 4．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的值域，可得与的取值，利用三角函数周期与最值的关系，可得答案. 【详解】由题意可知函数的最小正周期， 由，且， 则与分别为函数的最大(小)，小(大)值，所以. 故选：A. 压轴题型二：三角函数单调性问题 √满分技法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数是增函数，要求函数的递增区间，则求内函数递增区间即可. 【详解】由题得由，得， 解得，即函数定义域为， 因为函数是增函数，故求函数的单调递增区间即求函数在上的单调递增区间， 令，则， 所以函数的递增区间为. 故选：D. 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值. 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解，利用整体法求解函数的单调区间，即可得解. 【详解】由题意可知，，由于， 所以，故，解得，故， 令，解得， 故单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为. 故选：B 8．（24-25高一下·四川自贡·阶段练习）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将、、进行化简，利用正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为， ， ， 且函数在上为增函数，且， 所以，，即. 故选：B. 9．（24-25高一下·山东德州·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数图象及性质，借助相位整体思想分析正弦函数的单调性与最大值，从而可得参数的范围. 【详解】因为，所以， 由于在递增， 所以， 又由可得：， 由在上恰好取得一次最大值， 则， 所以综合上述可得：， 故选：A. 10．（24-25高一下·江西·阶段练习）已知，若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质可判断在上单调递减，即可根据分段函数的性质求解. 【详解】当时，，若在上单调，则在上单调递减，故，得； 若函数在上单调递减，则，且， 得. 故选:C. 压轴题型三：三角函数奇偶性问题 √满分技法 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式易得． 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 12．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）函数在区间的图象大致为（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性定义判断出函数在区间上的奇偶性排除AC；再利用特殊值可得答案. 【详解】因为，， ， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC； ， 故选：B. 13．（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出的解析式，利用正弦型函数的奇偶性可求得的表达式，即可求得正数的最小值. 【详解】因为， 将该函数的图象向右平移个单位后，所得的函数为奇函数， 则，且有，则， 因为，故当时，取最小值. 故选：C. 14．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 压轴题型四：三角函数对称性问题 √满分技法 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 15．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数，由函数对称轴求出的值.由辅助角公式（余弦）化简函数，由的值求出函数的对称轴. 【详解】， 由题意可知是的解，即， ∴，当时，， ， ∴令，即，， ∴函数的对称轴为， 当时，. 故选：C. 16．（2025·山东潍坊·一模）已知函数，则图象的对称轴方程为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】找到函数的周期，利用函数的周期绘出图象，即可求解. 【详解】因为， ， 所以为函数的一个周期， 当时，， 此时，作出函数的图象如图， 由图象可得，函数图象的对称轴方程为，. 故选：C. 17．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知为奇函数，且，则函数图象的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数定义求出，由对称轴方程判断选项即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 所以，因为， 所以， 当时， ；当时， ， 因为两种情况下函数的对称轴相同，不妨设， 由，得，， 当时，. 故选：D 18．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数满足，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得关于对称，所以，再由，即可得出答案. 【详解】由可得关于对称， 所以，所以， 因为，所以a的最小值为. 故选：A. 压轴题型五：三角函数值域（最值） √满分技法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 19．（24-25高一下·山东·阶段练习）函数，取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时,，得，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】根据辅助角公式,其中， 可得,， 则， 所以， 当时，取得最大值， 此时,,移项可得， 由,,可得， 即， 根据诱导公式，可得， 故选：A. 20．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知命题为假命题，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出为真命题，求出为偶函数且为函数的一个周期，求出，，得到答案. 【详解】由题意得为真命题， 令，则定义域为R， ， 故为R上的偶函数， 又， 所以为的一个周期， 当时，， 因为，所以，所以， 故在R上的值域为， 所以a的取值范围为. 故选：C 21．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用平移可得的表达式，进而利用整体法即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，， 由于，所以， 要使在上的值域为，则且， 解得， 故选：B 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用二倍角公式、诱导公式和辅助角公式化简，继而求得，再将恒成立问题转化为最值问题即可. 【详解】令，则, 因为，所以， 所以，即， 因为恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故选：B 压轴题型六：三角函数零点问题 √满分技法 考察类型： （1） 考察零点个数问题； （2） 考察零点代数和问题 方法：将函数进行换元转换： （1）令，从而转换为，进而转换为：，画出图象，找交点，交点的个数就是原函数零点的个数；交点横坐标就是原函数零点 23．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得 ，由可求得，根据三角函数的图象及性质可求得，从而可求解. 【详解】因为 ， 所以，当 时， ，则 ． 令，可得 ， 要使得在区间[0,2]上恰有两个零点， 则，解得， 故的最小值为． 故选：B. 24．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，由可求出的取值范围，根据函数在上的零点个数，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，得，由于，所以. 又因为在上有且只有个零点，所以， 解得，因此，正实数的取值范围是. 故选：B. 25．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，再求的值. 【详解】当时，． 由在区间内无零点，得，解得． 由的图象关于直线对称，得，解得，， 所以当时，，满足，从而， 所以. 故选：C 26．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可解得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以. 又，所以，则函数，， 当时，， 因为在上恰有2个零点，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 27．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数图象，设，解得解得或，然后分，和讨论，结合条件根据图象求解即可. 【详解】令，得， 解得或， 作出函数的图象如图所示： （1）当时，有无数个解，不符合； （2）当时，则方程无解， 因为函数在有8个不同零点， 所以方程在有8个不同的实根， 即函数与的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， （3）当时，则方程无解， 则方程在有8个不同的实根， 即函数，的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 压轴题型七：三角函数图象变换 √满分技法 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用函数图象的平移变换及函数性质求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，， 当时，是奇函数，即. 若是奇函数，则，解得. 当时都在之间，，不一定必须， 所以不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 29．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象平移遵循“左加右减”原则，根据已知的平移后函数和移动单位，反推原函数. 【详解】根据“左加右减”原则，那么将的图象向左平移个单位就可得到的图象. 对于，向左平移个单位，即将变为. 所以. 故选：C. 30．（2024·湖北荆州·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得， 由面积为及对称性知，，进而， 代入结合，得. 故选：B 31．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对变形为，再由的图象的平移求得，两式对照可求出的所有可能值，再根据选项检验即得. 【详解】因， 将的图象向左平移个单位长度，得， 所以，即， 当时，，当时，，当时，， 结合题意和选项，可知只有D正确． 故选：D. 32．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量可得平移的方向，从而可求平移后图象对应的解析式. 【详解】若按向量平移，则向左平移个单位，向下平移1个单位， 平移后图象对应的解析式为， 即为：， 即 故选：A. 压轴题型八：根据图象求解析式 √满分技法 33．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的单调增区间为 C．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】D 【分析】先把化成的形式，根据图象求出函数的解析式，分析函数的性质，逐项判断即可. 【详解】. 根据图象可得：. 由，所以. 所以. 对A：因为，所以是函数的对称中心，故A正确； 对B：由，，.所以函数的单调增区间为，.故B正确； 对C：因为，当时，. 因为函数在上有两个零点，所以，故C正确； 对D：因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，故D错误. 故选：D. 34．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再利用的图象与性质，结合条件得到，即可求解. 【详解】因为，则是的一条对称轴，且由图象知， 又由的图象与性质知①，② ②①得到，解得，所以，故， 故选：D. 35．（2025·广东·一模）已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 36．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图象过原点得，结合对称轴及图象确定，再利用三角函数的零点计算即可. 【详解】将原点坐标代入得，又，所以， 故， 的中点横坐标为， 故， 又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以， 解得，解得， 所以， 令得， 则或， 解得或， 所以相邻两个零点的距离有两种，可能为， 在上，有2027个零点，要求的最大值， 则当为个和1014个时，取得最大值， 故最大值为. 故选：A 37．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据函数图象确定的值，再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标，进而确定，然后求出得到函数表达式，最后根据计算. 【详解】由正弦函数的图象可知，， 则. 已知，设，根据两点间距离公式，因为， 所以，即， 解得（由图象可知点纵坐标为负）. 因为在的图象上，所以， 即， 又因为，所以，则. 因为在的图象上，所以， 即，，，，. 由图象可知，（为函数周期），，又，所以，， 当时，满足条件，所以. 因为的最大值为，最小值为， 已知，所以，一个为，一个为. 不妨设，，则，，解得；，，解得. 所以. 将代入得： . 故选：C. 一、单选题 1．（2025·福建莆田·二模）已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值. 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.则下列叙述错误的是（   ） A． B．函数有3个零点 C．的最小正周期为 D．的值域为 【答案】B 【分析】根据“高斯函数”的定义，结合余弦函数的性质逐一分析即可判断. 【详解】对于：，故正确； 对于：当时，，此时， 即是函数函数的零点， 同理当时，，即， 即也是函数函数的零点， 所以函数有无数个零点，故错误； 对于：在上，， 易得的最小正周期为，故正确； 对于：由知的值域为，故正确. 故选：. 3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数. 【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 4．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的对称轴与单调区间求出函数的周期，进而得到的值，再结合对称轴求出的值，最后代入求出的值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴， 所以，所以，即，所以或. 又，所以或， 所以或，解得或， 所以或， 所以或. 故选：C. 5．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）已知函数，若方程在上恰有6个实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意知，作出函数与的图象，数形结合即可求解. 【详解】 由题意知， 令，得，当时，， 令，要想在上恰有6个实数解，则， 解得，即m的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的图形与性质可求得，进而根据对恒成立列不等式组，求解的范围，再逐项判断即可. 【详解】根据三角函数的性质可知，函数的最大值为3， 又因为的图象与直线相邻两个交点的距离为， 所以的最小正周期，则，解得， 所以. 由对恒成立，得对恒成立， 所以，， 解得. 结合选项可知，当时，，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高三下·北京·开学考试）关于函数，有下列命题： ①若，则； ②的图象可由向左平移得到； ③若，且，则一定有； ④函数的图象关于直线对称. 其中正确命题的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的性质及图象平移依次判断各项的正误即可. 【详解】令，则，可得， 所以，则有，①对； ，②对； 当，则，显然在上单调递增， 所以若，且，则一定有，③对； ，即函数的图象关于直线对称，④对. 故选：D 8．（2025·贵州铜仁·模拟预测）将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数在上的值域是 D．若，则曲线与轴围成的图形面积是 【答案】C 【分析】根据题意变换函数图像，得到，利用正弦型函数的对称性、单调性、值域可别求值判断A、B、C；对于D，利用定积分求出图形面积，即可判断. 【详解】由题意，将函数图像上各点的横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位长度，得到. 对于A，时，不是正弦函数的对称轴，故A错误； 对于B，，则，函数单调递增，故B错误； 对于C，，则，函数的值域是，故C正确； 对于D，，则，所以曲线与轴围成的图形面积为，故D错误. 故选：C. 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，结合选项可得答案. 【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象， 如图所示：    分析选项可得函数函数在区间上是严格减函数. 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）设，则关于函数的性质中，下列说法正确的是（    ） A．的周期是 B．的一个对称中心可以是 C．的一个单调递增区间可以是 D．的一条对称轴可以是 【答案】ABD 【分析】利用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式化简函数，再结合周期计算、对称轴与对称中心的判断以及单调性的分析判断各选项. 【详解】， 对于A，最小正周期为，A正确； 对于BD，，BD正确； 对于C，，，函数在上单调递减， 因此的一个单调递减区间可以是，C错误. 故选：ABD 11．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．的最小正周期是 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】由三角恒等变换可得，根据余弦函数的性质即可求其最值、最小正周期，即可判断A、B的正误；通过代入验证法结合余弦函数的对称轴、单调减区间可判断C、D的正误. 【详解】， 因，故的最大值为，最小正周期为，故A，B正确； 当时，，故C不正确； 由得，又在区间上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象可由向左平移得到 C．若的定义域为，则值域为 D．集合，若，且，则 【答案】ACD 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合对称性、函数图象变换、最值及零点问题依次求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，的图象关于直线对称，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，由，得，则或， 因此，D正确. 故选：ACD 13．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．在上的值域为 【答案】BD 【分析】由三角函数的平移变换即可判断A，结合正弦型函数的性质，分别代入检验计算，即可判断BC，由正弦型函数的值域即可判断D. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到 ，显然不是奇函数，故A错误． 因为， 所以的图象关于对称，故B正确． 当时，，因为在上不单调，故C错误． 由，得，则，故D正确． 故选：BD 14．（2025·吉林长春·二模）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A 正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，， 由得，A正确； B.由A得，故， ∴不是函数图象的一条对称轴，B错误； C.令，当时，， 根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误. D.令，由得，， 由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点， 结合图象可得，故，即，D正确. 故选：AD. 15．（2025·山西·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．函数的最小正周期是2 B． C． D．函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】ACD 【分析】根据图象可得选项A正确；根据最小正周期可得选项B错误；将点代入函数解析式可得选项C正确；根据函数图象平移求出平移之后的函数解析式，结合偶函数的定义可得选项D正确. 【详解】A.由图可知，最小正周期，A正确. B.由，得，故，B错误. C.将点代入中，得， ∴，即， ∵，∴，C正确. D.由题意得，， 的图象向右平移个单位，所得函数解析式为， 由函数定义域为，得为偶函数，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 16．（24-25高一下·天津·阶段练习）若将函数的图像向右平移个单位 长度后所得图像关于y轴对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据平移规则得到平移后的函数解析式，再利用函数关于轴对称的性质列出等式，进而求出关于的表达式，最后结合的条件确定的最小值. 【详解】原函数向右平移后得到. 因为的图像关于轴对称，有. 得到. 已知，解得. 因为，所以能取到的最大整数为. 当时，，即. 故答案为：. 17．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，在区间上是单调函数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性可得三角不等式，结合解三角不等式，即得答案.. 【详解】因为函数，在区间上是单调函数， 函数对称轴为，所以，或者， 所以，或者，且， 则的取值范围为． 故答案为：. 18．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合条件代入计算，可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，由可得， 由可知，或，， 结合正弦函数的图像可知，， 即，∴． 所以，∴. 故答案为： 19．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 20．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据已知可得，结合图象平移及对称中心得，即可求参数最大值. 【详解】函数的最小正周期，则，得，则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于对称，则，所以， 又，当时，取得最大值，为. 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． (3)求的解集． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数图象可得范围，根据其对称性可得. （3）结合正弦函数图象可得范围，即可得解集. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 方程在上有两个不等实根， 则与在上有两个同的交点， 由，得，又， 结合图象可知，，则实数的取值范围为. 再根据图象的对称性可得，，则， 则. （3），则 结合图象可得 解得， 故的解集为 22．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求出，，的值； (2)求函数的单调递增区间和对称轴； (3)求在上的最小值，并求出取最小值时x的取值. 【答案】(1)，，； (2)单调递增区间（）；对称轴方程（）； (3)最小值为，此时. 【分析】（1）通过观察图象先求出和周期,进而求出，再代入特殊值求出即可； （2）利用整体代换的方法，结合正弦函数的单调递增区间及对称轴方程求解即可； （3）先由的范围，得到的范围，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】（1）由图可知，，，所以， 因为，所以， 由， 得（），得（）， 因为，所以， 所以，，； （2）由（1）可知. 令（）， 解得（）， 所以的单调递增区间为（）. 令（），得（）， 所以的对称轴方程为（）； （3）因为，所以， 所以当，即当时，取到最小值. 23．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知函数. (1)求函数在区间上的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先化简，再结合正弦函数的性质求解即可； （2）根据函数的平移变换可得，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 由，得， 则，即， 则函数在区间上的取值范围为. （2）由（1）知，， 则函数的图象向左平移个单位，得到， 再得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 24．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出周期及单调递增区间. （2）求出函数在上的值域即可. 【详解】（1）依题意，， 所以函数最小正周期； 由，解得 所以的单调递增区间为. （2）当时，，则， 函数的值域为，方程，， 由方程在上有解，得， 所以实数的取值范围是. 25．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【详解】（1） ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； （2）对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$