专题18 等积法、割补法与距离问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题18 等积法、割补法与距离问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、等积法、割补法 1 题型二、点到面的距离 4 题型三、线到面、面到面的距离 5 压轴能力测评（15题） 6 一、等积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积. 二、距离问题 1、过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 2、一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 3、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离 【题型一 等积法、割补法】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）正三棱柱各棱长均为，为的中点，那么四面体 的体积（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期末）在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）如图，正三棱锥 ，其体积为 分别是棱 的中点，设三棱锥 的体积为 ，则 （     ） A． B． C． D． 6．（2025·广东江门·一模）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积 8．（2024高一上·上海·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 9．（23-24高一下·辽宁阜新·期末）如图所示，在直三棱柱中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若D是的中点，求三棱锥的体积. 10．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【题型二 点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·浙江·开学考试）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川雅安·开学考试）在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（   ） A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于 【题型三 线到面、面到面的距离】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    5．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 3．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆北碚·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高一上·北京通州·期中）在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为 7．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 8．（23-24高一下·江西抚州·期末）四面体中，，，，则该四面体的体积 ． 9．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为 ． 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 11．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为 . 三、解答题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求三棱锥的体积． 13．（2024高一·全国·专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 14．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 15．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.      (1)当时，求三棱锥的体积； (2)求的最小值，并求取最小值时的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 等积法、割补法与距离问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、等积法、割补法 1 题型二、点到面的距离 10 题型三、线到面、面到面的距离 15 压轴能力测评（12题） 20 一、等积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积. 二、距离问题 1、过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 2、一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 3、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离 【题型一 等积法、割补法】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）正三棱柱各棱长均为，为的中点，那么四面体 的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图，然后表示出四面体的体积，再计算即可求得. 【详解】如图所示，   为正三棱柱，且棱长均为 底面为正三角形，侧面为正方形，则 故选：D. 2．（23-24高一下·山西大同·期末）在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】记，连接， 则即为棱锥的高， 又，， 所以，， 因为点是棱的中点， 所以 ． 故选：D． 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的三棱锥的底面为三角形，高为正四棱台的高，从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到题目中几何体的体积. 【详解】 因为，，根据正四棱台性质，其高为， 则该正四棱台的体积为. 又由图可知截去三棱锥底面积为， 所以三棱锥体积为， 即所求几何体体积为. 故选：A 4．（2024高一·全国·专题练习）艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，观察得到公共部分形成的几何体是由正方体截去以其八个顶点为三棱锥的顶点构成的八个相同的三棱锥得到，计算得解． 【详解】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以， 所以，则该正方体的棱长为． 易知三棱锥为正三棱锥，则． 易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为． 故选：B. 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）如图，正三棱锥 ，其体积为 分别是棱 的中点，设三棱锥 的体积为 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设到平面的距离为，到平面的距离为，根据棱锥的体积公式和等体积法计算可得，作商即可. 【详解】如图，设到平面的距离为，到平面的距离为， 因为，， 所以. 又，且到的距离为， 所以， 由为的中点，得到平面的距离为， 所以， 即，所以. 故选：B 6．（2025·广东江门·一模）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形得到当，且时，点P到平面的高最大，再利用等体积转化法即可求得结果. 【详解】 由题意知，，三角形的面积为 设点P到平面的高为h， 又， 要使三棱锥体积的最大，则需h最大，根据图形可得， 当，且时，h最大，最大为1， . 故选：B 二、解答题 7．（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积 【答案】1 【分析】根据等体积法，即可根据锥体体积公式求解. 【详解】如图，由正方体棱长为2及分别为棱的中点，得， 又易知为三棱锥的高，且， ∴ 8．（2024高一上·上海·专题练习）如图，已知在直三棱柱中，，，，点D是AB的中点，求三棱锥的体积． 【答案】8 【分析】利用割补法或直接法求棱锥体积. 【详解】因为，，，所以； 方法1、由题意可知. 又. . ， 所以，. 方法2、在中，过C作，垂足为F， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又. 在中，. ∴. 9．（23-24高一下·辽宁阜新·期末）如图所示，在直三棱柱中，，且. (1)求证：平面平面； (2)若D是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直即可证面面垂直； （2）结合第一问用等体积法即可求解. 【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面ABC. 因为平面ABC， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面， 所以是三棱锥的底面上的高. 因为， 所以. 因为D是的中点， 所以. 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 10．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点可得，求出侧面积、底面积可得答案； （2）根据可得答案. 【详解】（1）取的中点，连接，， 所以，， 因为，所以， 所以， ， 所以四棱锥的表面积为； （2）因为，， 所以， 又M为PD上靠近P的三等分点，所以， 则.    【题型二 点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用体积法求点到平面的距离. 【详解】如图：    因为. 在中，,. 所以边上的高为：， 所以. 设点到平面的距离为，由. 故选：A 2．（24-25高一下·浙江·开学考试）在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三棱锥得体积，直接使用等体积法得到答案. 【详解】由条件可得是等腰直角三角形，且， 故， 所以, , 设P到直线的距离为h， 则由, 可知, 设所求距离为d， 因， 则， 解得：. 故选：D. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【详解】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B 4．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱的体积为8，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得，再根据直三棱柱的体积求出，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】取的中点，连接， ，，则二面角的平面角为， 二面角的大小为，则， 所以，， 又直三棱柱的体积为8，， 则，， 又平面平面，平面平面， 且平面，平面， 设点到平面的距离为，又， ，解得， 故选：A. 5．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，则，从而，由此能求出到平面的距离． 【详解】，为平面外一点，， 点到两边，的距离均为， 过点作，交于，作，交于， 过作平面，交平面于， 连接，，则，故 所以， 又 ， 到平面的距离为． 故选：B．    6．（24-25高一上·安徽·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于，连接，可证平面平面，是直线与平面所成的角，由已知可求得，求得，可求得点D到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 因为长方体中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以是直线与平面所成的角，所以， 又，所以，由，可得 所以点D到平面的距离为. 故选：A. 7．（24-25高一下·四川雅安·开学考试）在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（   ） A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关 C．和点P的位置有关 D．等于 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定性质、点到平面距离的定义推理计算即可. 【详解】在棱长为a的正方体中，由为上两个动点，得平面即平面， 由平面，平面，得平面， 而为AB上任意一点，则点到平面的距离即点到平面的距离， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以点到平面的距离为，ABC错误，D正确. 故选：D 【题型三 线到面、面到面的距离】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可. 【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以. 故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 则该小三棱锥几何体的体积为，    所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离. 易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离. 故选：C 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 二、解答题 4．（2024高一·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    【答案】 【分析】先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】因为平面，不在平面内，所以平面， 则到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，， 平面,，四边形为菱形， 所以，解得， 即到平面的距离为. 5．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直.    (1)证明：平面平面； (2)若为上一点，∥平面，，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：由已知得，再结面面垂直的性质可得平面，而，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；证法二：由已知面面垂直可证得平面，则，由题意可得，再利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得∥，∥平面，则将到平面的距离转化为点到平面的距离，可证得为等边三角形，则，由线面垂直的判定可得平面，从而可求得结果. 【详解】（1）证法一：因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，                                              因为平行四边形，所以∥， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 证法二：因为，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平行四边形，所以∥， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为∥平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离. 连接交于点，连接， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 因为为中点，所以为的中点， 因为，，所以， 在中，，，所以，且， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离，因为， 所以到平面的距离为.    一、单选题 1．（24-25高一下·天津·开学考试）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【详解】在平面中过作，垂足为，    因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 3．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点到平面的距离分别转化点到平面的距离求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，平面，平面， 则，由，得， 在中，，则，即点为中点， 又平面，平面，因此平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离 等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，    由，得，解得， 在中，，则， 所以点到平面的距离之和为. 故选：B 4．（23-24高一上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由可得直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 作可证明为点与平面BCF之间的距离，求解即可. 【详解】 取为中点，连接不妨令相交于， 由于点E为的中点，故， 即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即， 不妨设，故， 由平面，平面，故，点为中点， 故，又，故为等边三角形，即， 解得，即， 连接，作于， 由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF， 则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 由平面，平面，故，又平面BCF， 故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离， ， 故，即直线与平面BCF之间的距离为. 故选：C 5．（23-24高一下·重庆北碚·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得平面，取的中点，连接，证得平面，过点作，证得平面，从而得到平面，得到为点到平面的距离，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 取的中点，连接，因为为的中点，可得，所以平面， 过点作，因为四边形为矩形，可得， 因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 取的中点，连接，因为为的中点，所以，所以平面， 即为点到平面的距离， 在矩形中，因为，可得， 则，可得， 又由，可得，解得， 又由，即点到平面的距离为. 故答案为：.    二、填空题 6．（23-24高一上·北京通州·期中）在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为 【答案】 【分析】先作出直线上的点到平面的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可. 【详解】 在正三棱柱中，在底面内作， 因为平面底面，平面底面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 因为为等边三角形，且， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】由题意可知，再转化为，从而可求得结果. 【详解】因为三棱柱为正三棱柱，， 所以， 则 . 故答案为：. 8．（23-24高一下·江西抚州·期末）四面体中，，，，则该四面体的体积 ． 【答案】8 【分析】把四面体放置在一个长方体中，列方程组求得长方体的长、宽、高，进而求得四面体的体积. 【详解】如图所示，把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 设长方体的长、宽和高分别为， 可得，解得，所以长方体的体积为， 又由， 所以四面体的体积为. 故答案为：.    9．（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再求出，，再由利用等体积法计算可得. 【详解】因为平面，平面，所以，， 又，，， 所以， 所以，， 所以， ， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 即点到平面的距离为. 故答案为： 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】首先计算正四面体的体积，再利用等体积转化，利用面积和高的关系，即可求解. 【详解】如图，正四面体的棱长为2，点在平面内的射影为点，点是三角形的中心，点在上， ，则， 所以三棱锥的体积， ，，且， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 所以三棱锥的体积. 故答案为： 11．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为 . 【答案】 【分析】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、，即可得到为截面，再根据锥体的体积公式得到，从而得解. 【详解】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、， 因为为的中点，所以且，又， 所以，，所以、、、四点共面，即为截面， 又，其中， ， 所以， 即截面截得四棱锥上部分的体积为，则下部分的体积为， 所以平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为. 故答案为： 三、解答题 12．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)平面，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明出四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定即可说明； （2）由，根据三棱锥的体积公式即可计算求解． 【详解】（1）平面，理由如下： 连接，如图所示， 因为直三棱柱中，为的中点， 所以，且 因为，分别，的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 故平面． （2）因为直三棱柱，所以平面平面， 又平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，所以点到平面的距离为， 由（1）得，，则， 所以三棱锥的体积为：． 13．（2024高一·全国·专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多面体补全为直三棱柱，再用棱柱体积减去棱锥体积即得多面体体积； （2）将多面体补全为长方体，利用等体积法有求体积. 【详解】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①， 因为，即S为的中点，所以， 又，故多面体的体积为． （2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则， 易知，又点O到平面MDC的距离为， 所以． 14．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    15．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.      (1)当时，求三棱锥的体积； (2)求的最小值，并求取最小值时的值. 【答案】(1) (2)7， 【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可； （2）将矩形沿展开，使之与共面，利用余弦定理求，即得的最小值，利用正弦定理求，再求，由此的值. 【详解】（1）当时，得出为的中点，则 （2）将矩形沿展开，与共面， 如图所示，，    ∴， 故的最小值为7 中，由正弦定理得：， 因为， ∴， 所以 ∴， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$