信息必刷卷01（河北专用）（新中考题型） -2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：整体稳定，局部调整，在保持传统题型的同时，也加入了一些新的元素，以考察学生的综合能力。题目设计紧密联系生活实际，然后将现实问题转化为数学模型。如选择题第7题，是数学与物理知识的融合，学生需要在数学知识基础之上，对于相关的物理知识和原理要知晓，利用液体的密度和反比例函数知识。 中考·新考法：题型变化是2025年中考数学的显著特点之一，选择题由原来16道改为12道，填空题由原来的3道改为4道，解答题由原来的7道改为8道，总分值不变还是120分。增加有难度的题型，比如结合几何知识与代数表达式的解答过程，这类题目需要学生具备一定的逻辑推理能力和跨领域知识整合能力。另外增加有各学科之间的融合， 中考·新情境：针对优秀学生的选拔性题目可能会涉及复杂的情景设定和或者多步骤的推导过程。可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。如24题是综合与探究题目通过实践小组的同学们进行实验操作，观察，分析，推理，从而建立数学模型，涉及到三角形相似、面积的计算，正确作图和分类求解。 命题·大预测：选择题还是侧重基础知识的考查，包括简单的运算规则理解，图形的识别，代数式的变形等，这些题目旨在检查学生是否掌握了必要的数学概念和技能，综合题还是以二次函数、四边形、圆为基础题型。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个有小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：根据主视图和左视图可得： 这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2＝6个正方体，第二层有2×1＝2个正方体， 则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+2＝8（个）； 故选：D． 【点睛】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数． 2．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝5 【答案】A 【分析】常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：原方程移项得：x2﹣6x＝5， 则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14， 故选：A． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 3．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 【答案】B 【分析】过点O作OG∥AB，交AD于点G，利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质和三角形的中位线的性质得到∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°，利用全等三角形的判定与性质得到GE＝BF，则1+x＝y，结论可得． 【详解】解：过点O作OG∥AB，交AD于点G，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠DAB＝∠C＝60°， ∴△ABD和△CBD为等边三角形， ∵O是BD的中点，OG∥AB， ∴OGAB＝1，DG＝AGAD＝1，∠GOD＝∠ABD＝60°，∠OGD＝∠DAB＝60°， ∴∠GOB＝120°，OG＝OB＝1，∠OBF＝∠OGE＝120°， ∵∠EOF＝120°， ∴∠GOE＝∠BOF． 在△GOE和△BOF中， ， ∴△GOE≌△BOF（ASA）， ∴GE＝BF， ∴GA+AE＝BF， ∴1+y＝x， ∴x﹣y＝1． ∴x﹣y的值不变． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．点P1（﹣4，y1），P2（﹣3，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【答案】D 【分析】先将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向，对称轴为直线x＝﹣2，从而求得当x＜﹣2时，y随x增大而减小，再根据P3（1，y3）关于直线x＝﹣2的对称点为（﹣5，y3），然后由﹣5＜﹣4＜﹣3，根据抛物线的性质得出结果． 【详解】解：抛物线配方成顶点式为：y＝（x+2）2﹣4﹣m，则抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵P3（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3）， ∵﹣5＜﹣4＜﹣3，当x＜﹣2时，y随x增大而减小， ∴y3＞y1＞y2． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握利用抛物线的对称性比较函数值大小是解题的关键． 5．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点E， ∴点E为位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 6．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（　　） A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】根据统计图可知试验结果在0.33附近波动，则试验的概率约为0.33，据此利用概率计算公式求出四个选项中事件发生的概率即可得到答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，则试验的概率约为0.33； A、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃是0.25，本选项不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，本选项不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数0.33，本选项符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球是，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 7．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ为（　　） A．2.5g/cm3 B．1.2g/cm3 C．1g/cm3 D．0.8g/cm3 【答案】D 【分析】设h关于ρ的函数解析式为h，把ρ＝1，h＝20代入求出解析式，把h＝25代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为h， 把ρ＝1，h＝20代入解析式， 得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h， 把h＝25 代入h，得25， 解得：ρ＝0.8， 答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 8．有两个函数，对于任意的自变量x，记这两个函数对应的函数值为y1，y2，若点（x，y1）与点（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，例如，y1＝x+1和y2＝x﹣1为关于y＝x的对称函数．对于以下命题：①若a为常数，则和为关于y＝x的对称函数；②若函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝0，b＝﹣1；③若两个一次函数为关于y＝x的对称函数，则两一次函数图象关于直线y＝x对称；④如果和为关于y＝x的对称函数，且对于任意实数x，都有y1＜y2，那么实数m的取值范围.其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，根据这一规律逐一判断即可求解． 【详解】解：①∵x2≠x， ∴和不关于y＝x对称， 故①不正确，不符合题题意； ②∵函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数， ∴， ∴（2+k）x+（b+1）＝2x， ∴， 解得， 故②正确，符合题意； ③∵两个一次函数关于y＝x的对称函数， ∴这两个一次函数图象一定关于直线y＝x对称； 故③正确，符合题意； ④∵和为关于y＝x的对称函数， ∴， ∴（a+1）x2+bx+（c+m）＝2x， ∴， ∴， ∴，， ∵对于任意实数x，都有y1＜y2， ∴﹣x2+2x﹣m＜x2+m，即x2﹣x+m＞0，Δ＜0， ∴（﹣1）2﹣4m＜0， 解得， 故④正确，符合题意； 综上所述，②③④正确， 故选：C． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，对称的性质，恒等式的性质，平移的性质，根据定义列出式子进行计算是解本题的关键． 9．在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同．则参加交易会的公司有（　　） A．8家 B．9家 C．10家 D．11家 【答案】D 【分析】设参加交易会的公司有x家，则每个公司要签（x﹣1）份合同，签订合同共有x（x﹣1）份．根据所有公司共签订了55份合同，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设参加交易会的公司有x家， 根据题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 即参加交易会的公司有11家， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．△ABC的边上有D，E，F三点，各点位置如图所示．若∠BED＝∠AFC＝∠BAC，BE＝5，EF＝3，FC＝4，BD＝AC，则根据图中标示的各线段的长度，可求得阴影部分与空白部分的面积之比是（　　） A．2：1 B．3：1 C．1：1 D．1：2 【答案】A 【分析】证明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF•CB，推出AC，可得，推出S△ACF：S△ACB＝3：9，同法S△BDE：S△ABC＝3：9，由此可得结论． 【详解】解：∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B， ∴△CAF∽△CBA， ∴， ∴CA2＝CF•CB， ∴CA2＝4×12＝48， ∵AC＞0， ∴AC， ∴， ∴S△ACF：S△ACB＝3：9， 同法可证△BDE∽△BCA， ∵BD＝AC， ∴， ∴S△BDE：S△ABC＝3：9， ∴阴影部分与空白部分的面积之比是：（3+3）：（9﹣3﹣3）＝6：3＝2：1， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB＝∠CBD＝30°，∠ABD＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D′．分别连接AB'，DC′（如图2所示），下列有关四边形AB′C'D的说法正确的是（　　） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移2个单位长度后是菱形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移3个单位长度后是正方形 D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】B 【分析】根据各种特殊的平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′， ∴AB′2， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴AD＝2AB＝2×3＝6， ∴BD3， ∵△ABD≌△CDB， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝6， ∴B′C′＝6， ∴AB′≠B′C′， ∴四边形AB′C'D是平行四边形，但不是菱形，故A选项不符合题意； B．当BB′时， ∵tan∠AB′B， ∴∠AB′B＝60°， ∵∠CBD＝30°，BC∥B′C′， ∴∠C′B′D′＝30°， ∴∠AB′C′＝90°，四边形AB′C'D是平行四边形， ∴四边形AB′C'D是矩形， 当BB′＝3时，AB′6＝B′C′， ∴四边形AB′C'D是菱形，故B选项符合题意； C．由B可知先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形， 当BB′＝4时，AB′B′C′， ∴四边形AB′C'D不是正方形，故C选项不符合题意； D．由B知，Rt△BCD平移个单位长度后是矩形，移动的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，平移的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和直角三角形的性质． 12．如图，点A（a，b）是抛物线yx2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确． 【详解】解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC＝b，OC＝﹣a，OD＝c，BD＝d； （1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有： ，即， ∴ac＝﹣bd， 故②正确． （2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有： ba2…Ⅰ、dc2…Ⅱ； Ⅰ×Ⅱ，得：bda2c2，即﹣aca2c2，ac＝﹣4． 故①正确． （3）S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD （b+d）（c﹣a）（﹣a）bcd bcad（bc•）（bc） 由此可看出，△AOB的面积不为定值， 故③错误． （4）设直线AB的解析式为：y＝kx+h，代入A、B的坐标，得： ak+h＝b…Ⅲ、ck+h＝d…Ⅳ Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得： hac＝2； ∴直线AB与y轴的交点为（0，2）． 故④正确． 综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法，难点在于代数式的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．某数学探究学习小组利用线段中点和黄金分割点设计了一个掷飞镖的游戏，如图，在△ABC中，点M，N分别是线段BC的中点和黄金分割点，游戏规定：投掷的飞镖落在△AMN内（包括边界）即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在△ABC内，现小明随机向该△ABC投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 　 　． 【答案】． 【分析】先根据黄金分割的定义可得，，从而利用线段的和差关系可得，进而可得，然后根据小明获胜的概率，进行计算即可解答． 【详解】解：由条件可知，， ∴， ∴， ∴小明获胜的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，概率公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．如图，将AB沿矩形ABCD中过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点B'落在矩形的对角线BD上，AP与BD交于点O，连接PB'．若AB＝3，BC＝4，则BB'的长为 　 　． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到，继而得到∠BAP＝∠ADB得出，得到计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 由折叠的性质可知BB′⊥AP，BB′＝2OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BAP+∠ABD＝∠BDA+∠ABD． ∴∠BAP＝∠ADB， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点P，∠ABC＝∠ADB＝90°，AB＝BC，，BP＝5，则CD的长为 　 　． 【答案】2． 【分析】过C点作CE⊥BD于E点，如图，先证明△ABD≌△BCE得到AD＝BE，BD＝CE，再在Rt△ADP中利用正切的定义得到tan∠DAP，则可设DP＝x，AD＝2x，所以BE＝AD＝2x，PE＝5﹣2x，CE＝BP＝5+x，接着证明∠ECP＝∠CAD得到tan∠ECP＝tan∠CAD，然后在Rt△ECP中利用正切的定义得到，则可求出 解得x＝1，然后在Rt△ECD中利用勾股定理可计算出CD． 【详解】解：过C点作CE⊥BD于E点，如图， ∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE，BD＝CE， 在Rt△ADP中，∵tan∠DAP， ∴设DP＝x，AD＝2x， ∴BE＝AD＝2x， ∵BP＝5， ∴PE＝BP﹣BE＝5﹣2x，CE＝BP＝BP+DP＝5+x， ∵AD⊥BD，CE⊥BD， ∴AD∥CE， ∴∠ECP＝∠CAD， ∴tan∠ECP＝tan∠CAD， 在Rt△ECP中，∵tan∠ECP， ∴， 解得x＝1， ∴CE＝5+x＝6，DE＝x+5﹣2x＝5﹣x＝4， 在Rt△ECD中，CD2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，灵活应用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建Rt△CEP是解决本题的关键． 16．直线y＝a分别与直线yx和双曲线y交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 　 　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据直线y＝a分别与直线yx和双曲线y交于D、A两点用a表示出AD两点的坐标，再根据四边形ABCD是正方形可得出AB＝AD，由此即可求出a的值． 【详解】解：∵直线y＝a分别与直线yx和双曲线y交于点D、A， ∴A（，a），D（2a，a）， 当直线在x轴的正半轴时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，即2aa，解得a＝﹣1（舍去）或a＝1． 当直线在x轴的负半轴时， 同理可得，2aa，解得a＝±（正值舍去）． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意求出A、D两点的坐标是解答此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3， （1）求BC的长； （2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为 　 　． 【答案】（1）9；（2）9． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长； （2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴， ∵AB边的垂直平分线交AB于点D， ∴BE＝AE＝3， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝3+6＝9； （2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B， ∵PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC， 根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9． 【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键． 18．（本小题满分8分）如图，在⊙O中半径OA⊥OB，连接AB，C为平面内一点，连接AC、BC，∠OAC＝30°，∠OCA＝30°，连接CO并延长交AB于点D． （1）求证：OC为⊙O的半径； （2）若OB＝1，CD＝3，求DB的长度． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）根据∠OAC＝30°，∠OCA＝30°得∠OAC＝∠OCA，则OA＝OC，再根据OA是⊙O的半径即可得出结论； （2）过点D作DE⊥OB于点E，依题意得△OAB是等腰直角三角形，则∠OAB＝∠OBA＝45°，根据圆周角定理得∠ACB＝45°，进而得∠OCB＝∠OBC＝15°，则∠BOD＝30°，再由已知得OD＝2，则DE＝1，证明△BDE是等腰直角三角形得BE＝DE＝1，然后由勾股定理即可求出DB的长． 【详解】（1）证明：∵∠OAC＝30°，∠OCA＝30°， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴OA＝OC， ∵OA是⊙O的半径， ∴OC是⊙O的半径； （2）解：过点D作DE⊥OB于点E，如图所示： ∴∠OED＝∠BED＝90°， ∵在⊙O中半径OA⊥OB，OA＝OB， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 根据圆周角定理得：∠ACB∠AOB＝45°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝45°﹣30°＝15° ∵OC＝OB＝AO， ∴∠OCB＝∠OBC＝15°， ∵∠BOD是△OBC的外角， ∴∠BOD＝∠OCB+∠OBC＝30°， ∵CO＝OB，CD， ∴OD＝CD﹣OC2， 在Rt△ODE中，∠BOD＝30°， ∴DEOD＝1， ∵DE⊥OB，∠OBA＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 即BE＝DE＝1， 由勾股定理得：DB． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，灵活运用含30度角的直角三角形性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 19．（本小题满分8分）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值． 【答案】11． 【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2﹣2x﹣5＝0中得：a2﹣2a﹣5＝0，从而可得a2﹣2a＝5，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根， ∴a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴（a﹣2）2+2（a+1） ＝a2﹣4a+4+2a+2 ＝a2﹣2a+6 ＝5+6 ＝11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（本小题满分8分）某中学为了提高学生对优秀传统文化的认知，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩进行整理分析．竞赛成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，绘制的统计图、表如下． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息直接写出a＝ 　 　，b＝ 　 　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； （3）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）9，10； （2）七年级成绩更稳定，理由见解析； （3）528人． 【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）根据方差的意义回答即可； （3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以各年级人数即可作出估计． 【详解】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 故答案为：9，10； （2）七年级成绩更稳定， 理由：七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定； （3）400500×（4%+44%）＝528（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差和用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 21．（本小题满分9分）如图，AD⊥CD，AB⊥BC，且AB＝BC． （1）请用直尺和圆规作出△ADC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接BD，若AD＝2，AB，求BD的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线垂足为O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可； （2）连接BD，过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥DA交DA的延长线于点N．证明四边形DNBM是正方形，求出正方形的边长可得结论． 【详解】解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）连接BD，过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥DA交DA的延长线于点N． ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴AC2， ∵∠ADC＝90°， ∴CD4， ∵AB＝BC， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°， ∵BN⊥DN，BM⊥DM， ∴BN＝BM， ∵∠N＝∠DMB＝90°， ∴∠NDB＝∠BND＝45°，∠DBM＝∠MDB＝45°， ∴DN＝BN＝DM＝BM， ∴四边形DNBM是菱形， ∵∠N＝90°， ∴四边形DNBM是正方形， ∵∠N＝∠BMC＝90°，BN＝BM，BA＝BC， ∴Rt△BNA≌Rt△BMC（HL）， ∴AN＝CM， ∴DA+DC＝DN﹣AN+DM+CM＝2DN＝6， ∴DM＝BM＝3， ∴BD＝3． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（本小题满分9分）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是∠BAC所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转α，交⊙O于点E，连结BD、DC、CE． （1）求证：CE＝BD． （2）如图2，若CE∥AD， ①求α的值． ②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①α＝60°； ②1． 【分析】（1）由圆周角定理可得出结论； （2）①证明△AEC∽△CDB，得出∠E＝∠CDB，证明△ABC是正三角形，可得出答案； ②作DH⊥BC于点H，设DH＝CH＝1，由直角三角形的性质得出BD和CD的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴， ∴CE＝BD； （2）解：①如图， ∵CE∥AD， ∴∠2＝∠4， 又∵∠2＝∠6， ∴∠4＝∠6， ∵∠1＝∠3，∠5＝∠3， ∴∠5＝∠1， ∴△AEC∽△CDB， ∴∠E＝∠CDB， ∵∠E+∠ABC＝∠CDB+∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是正三角形， ∴α＝60°； ②∵的度数与的度数之比为3， ∴∠2＝15°，∠3＝45°， ∴∠2＝∠6＝15°，∠3＝∠5＝45°， 作DH⊥BC于点H， 设DH＝CH＝1， 则，CD， ∴BD：DC＝（）：1． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（本小题满分11分）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 　 　，挡板端点E的横坐标的取值范围为 　 　． 【答案】（1）． （2）①A点横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2）．理由见解析； （3）7，xE≥10． 【分析】（1）设顶点式，再把（0，0）代入，可得a的值，进而可求得抛物线表达式； （2）①令y＝0，则可得x1＝0，x2＝8，求得合适的x的值即为A点的横坐标； ②求出反弹后的抛物线解析式，代入x＝13，看y是否等于2即可判断； （3）先求出D点坐标，进而可求反弹后的抛物线解析式，联立一次函数与反弹后的抛物线解析式可求得两者的交点，则挡板的端点E在反弹后的抛物线与一次函数的交点或交点的右边． 【详解】解：（1）设抛物线L的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，代入（0，0）， 得16a+4＝0，解得． 故抛物线L的解析式为． （2）①令y＝0，则，解得x1＝0，x2＝8， 故A点横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2）．理由如下： ∵反弹后弹球运动的最大高度是， 设反弹后的抛物线轨迹为抛物线， 再代入点A（8，0）， 得0，解得h＝11或5（不合题意，舍去）， 则y，令x＝13，则y， 故反弹后的小球不经过点（13，2）． （3）由题意联立与抛物线， 即，解得x＝0或7， 即D点横坐标为7，则D（7，）， ∵弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是， ∴设第一次反弹后的弹球轨迹为抛物线y， 代入点D（7，），即可解得h＝9或5（不合题意，舍去）， ∴y， 联立与抛物线y， 即，解得x＝10或7（不合题意舍去）， 即反弹后抛物线与挡板的交点横坐标为10， 若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，故点E的横坐标为xE≥10． 故答案为：7，xE≥10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求出相应的抛物线表达式是解决本题的关键． 24．（本小题满分12分）综合与探究 问题情境 已知矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形ABCD与矩形A'B'C'D'按如图1所示的方式摆放，其中点A′与点A重合，点D'落在边AB上，边C'D'与边CD的交点为E． 猜想证明 （1）请判断四边形ADED′的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图1的基础上，将矩形A'B'C'D'绕点A顺时针旋转．已知AD＝8，AB＝10． ①如图2，当点B'落在CD边上时，边B'C'与边BC的交点为M，求两个矩形重叠部分（四边形ABMB'）的面积； ②当点B'落在矩形ABCD的对角线AC所在的直线上时，直线B'C'与直线BC交于点Q，请直接写出线段CQ的长． 【答案】（1）四边形ADED′是正方形； （2）①50；②CQ的长为，理由见解答． 【分析】（1）四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是大小完全相同的矩形，AD∥D′E，AD'∥DE，则四边形ADED'是平行四边形，即可求解； （2）①证明∠ABD'∽∠BMC'，则（）2＝（）2，即可求解； ②当点B'在线段AC上时，由△ACD∽△CQB'，得到，即，即可求解；当点B'在线段CA的延长线上时，同理可解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是大小完全相同的矩形， ∴AD∥D′E，AD'∥DE， ∴四边形ADED'是平行四边形， ∵∠A＝90°，AD＝AD'， ∴四边形ADED′是正方形； （2）①在 Rt△ABD′中，AD'＝8，AB＝10， ∴BD'6， ∴BC'＝C'D'﹣BD'＝10﹣6＝4， ∴∠ABD'+∠ABM+∠MBC'＝180°，∠ABM＝90°， ∵∠ABD'+∠MBC'＝90°， ∴∠BAD′＝∠MBC′， ∵∠D′＝∠C′， ∴∠ABD'∽∠BMC'， ∴（）2＝（）2， ∵S△ABD′AD′×BD′8×6＝24， ∴S△BMC′24＝6， ∵S矩形AB'C'D'＝AD×C'D'＝8×10＝80， ∴S四边形AB′MB＝S矩形AB′CD′﹣S△ABD′﹣S△BMC′＝80﹣24﹣6＝50； ②CQ的长为，理由： 如题干图2，当点B′在线段AC上时， ∵AC2， ∴B'C＝AC﹣AB'＝210， ∵AD∥CQ， ∴∠CAD＝∠QCB'， ∵∠D＝∠CB'Q＝90°， ∴△ACD∽△CQB'， ∴，即， 则CQ； 当点B'在线段CA的延长线上时， 则B'C＝B'A+AC＝10+2， ∵∠ACB＝∠QCB，∠ABC＝∠QB'C＝90， ∴△ABC∽△QB'C， ∴AC：CQ＝BC：CB′，即， 解得：CQ， 综上，CQ的长为． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到三角形相似、面积的计算，正确作图和分类求解是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/24 9:43:42；用户：孙月浩；邮箱：btyg@qq.com；学号：49107774 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：整体稳定，局部调整，在保持传统题型的同时，也加入了一些新的元素，以考察学生的综合能力。题目设计紧密联系生活实际，然后将现实问题转化为数学模型。如选择题第7题，是数学与物理知识的融合，学生需要在数学知识基础之上，对于相关的物理知识和原理要知晓，利用液体的密度和反比例函数知识。 中考·新考法：题型变化是2025年中考数学的显著特点之一，选择题由原来16道改为12道，填空题由原来的3道改为4道，解答题由原来的7道改为8道，总分值不变还是120分。增加有难度的题型，比如结合几何知识与代数表达式的解答过程，这类题目需要学生具备一定的逻辑推理能力和跨领域知识整合能力。另外增加有各学科之间的融合， 中考·新情境：针对优秀学生的选拔性题目可能会涉及复杂的情景设定和或者多步骤的推导过程。可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。如24题是综合与探究题目通过实践小组的同学们进行实验操作，观察，分析，推理，从而建立数学模型，涉及到三角形相似、面积的计算，正确作图和分类求解。 命题·大预测：选择题还是侧重基础知识的考查，包括简单的运算规则理解，图形的识别，代数式的变形等，这些题目旨在检查学生是否掌握了必要的数学概念和技能，综合题还是以二次函数、四边形、圆为基础题型。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个有小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝5 3．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AD＝2，连接BD，O是BD的中点，E是DA延长线上的一点，连接OE，作∠EOF＝120°，交AB的延长线于点F，记BF＝x，AE＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 4．点P1（﹣4，y1），P2（﹣3，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 5．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（　　） A．点M B．点N C．点E D．点F 6．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（　　） A．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 7．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ为（　　） A．2.5g/cm3 B．1.2g/cm3 C．1g/cm3 D．0.8g/cm3 8．有两个函数，对于任意的自变量x，记这两个函数对应的函数值为y1，y2，若点（x，y1）与点（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，例如，y1＝x+1和y2＝x﹣1为关于y＝x的对称函数．对于以下命题：①若a为常数，则和为关于y＝x的对称函数；②若函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝0，b＝﹣1；③若两个一次函数为关于y＝x的对称函数，则两一次函数图象关于直线y＝x对称；④如果和为关于y＝x的对称函数，且对于任意实数x，都有y1＜y2，那么实数m的取值范围.其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55份合同．则参加交易会的公司有（　　） A．8家 B．9家 C．10家 D．11家 10．△ABC的边上有D，E，F三点，各点位置如图所示．若∠BED＝∠AFC＝∠BAC，BE＝5，EF＝3，FC＝4，BD＝AC，则根据图中标示的各线段的长度，可求得阴影部分与空白部分的面积之比是（　　） A．2：1 B．3：1 C．1：1 D．1：2 11．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB＝∠CBD＝30°，∠ABD＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D′．分别连接AB'，DC′（如图2所示），下列有关四边形AB′C'D的说法正确的是（　　） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移2个单位长度后是菱形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移3个单位长度后是正方形 D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 12．如图，点A（a，b）是抛物线yx2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．某数学探究学习小组利用线段中点和黄金分割点设计了一个掷飞镖的游戏，如图，在△ABC中，点M，N分别是线段BC的中点和黄金分割点，游戏规定：投掷的飞镖落在△AMN内（包括边界）即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在△ABC内，现小明随机向该△ABC投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 　 　． 14．如图，将AB沿矩形ABCD中过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点B'落在矩形的对角线BD上，AP与BD交于点O，连接PB'．若AB＝3，BC＝4，则BB'的长为 　 　． 15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点P，∠ABC＝∠ADB＝90°，AB＝BC，，BP＝5，则CD的长为 　 　． 16．直线y＝a分别与直线yx和双曲线y交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 　 　． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3， （1）求BC的长； （2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为 　 　． 18．（本小题满分8分）如图，在⊙O中半径OA⊥OB，连接AB，C为平面内一点，连接AC、BC，∠OAC＝30°，∠OCA＝30°，连接CO并延长交AB于点D． （1）求证：OC为⊙O的半径； （2）若OB＝1，CD＝3，求DB的长度． 19．（本小题满分8分）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值． 20．（本小题满分8分）某中学为了提高学生对优秀传统文化的认知，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩进行整理分析．竞赛成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，绘制的统计图、表如下． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息直接写出a＝ 　 　，b＝ 　 　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由； （3）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 21．（本小题满分9分）如图，AD⊥CD，AB⊥BC，且AB＝BC． （1）请用直尺和圆规作出△ADC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接BD，若AD＝2，AB，求BD的长． 22．（本小题满分9分）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是∠BAC所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转α，交⊙O于点E，连结BD、DC、CE． （1）求证：CE＝BD． （2）如图2，若CE∥AD， ①求α的值． ②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值． 23．（本小题满分11分）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 　 　，挡板端点E的横坐标的取值范围为 　 　． 24．（本小题满分12分）综合与探究 问题情境 已知矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形ABCD与矩形A'B'C'D'按如图1所示的方式摆放，其中点A′与点A重合，点D'落在边AB上，边C'D'与边CD的交点为E． 猜想证明 （1）请判断四边形ADED′的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图1的基础上，将矩形A'B'C'D'绕点A顺时针旋转．已知AD＝8，AB＝10． ①如图2，当点B'落在CD边上时，边B'C'与边BC的交点为M，求两个矩形重叠部分（四边形ABMB'）的面积； ②当点B'落在矩形ABCD的对角线AC所在的直线上时，直线B'C'与直线BC交于点Q，请直接写出线段CQ的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（河北专用） 数学·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D C C D C D A B B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13． 14． 15． 2 16．1或 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分） 【答案】（1）9；（2）9． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴， ∵AB边的垂直平分线交AB于点D， ∴BE＝AE＝3， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝3+6＝9； （2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B， ∵PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC， 根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9． 18． （本小题满分8分） 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解析】（1）证明：∵∠OAC＝30°，∠OCA＝30°， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴OA＝OC， ∵OA是⊙O的半径， ∴OC是⊙O的半径； （2）解：过点D作DE⊥OB于点E，如图所示： ∴∠OED＝∠BED＝90°， ∵在⊙O中半径OA⊥OB，OA＝OB， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 根据圆周角定理得：∠ACB∠AOB＝45°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝45°﹣30°＝15° ∵OC＝OB＝AO， ∴∠OCB＝∠OBC＝15°， ∵∠BOD是△OBC的外角， ∴∠BOD＝∠OCB+∠OBC＝30°， ∵CO＝OB，CD， ∴OD＝CD﹣OC2， 在Rt△ODE中，∠BOD＝30°， ∴DEOD＝1， ∵DE⊥OB，∠OBA＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 即BE＝DE＝1， 由勾股定理得：DB． 19． （本小题满分8分） 【答案】11． 【解析】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根， ∴a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴（a﹣2）2+2（a+1） ＝a2﹣4a+4+2a+2 ＝a2﹣2a+6 ＝5+6 ＝11． 20．（本小题满分8分） 【答案】（1）9，10； （2）七年级成绩更稳定，理由见解析； （3）528人． 【解析】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： 故答案为：9，10； （2）七年级成绩更稳定， 理由：七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较稳定； （3）400500×（4%+44%）＝528（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人． 21．（本小题满分9分） 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解析】解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）连接BD，过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥DA交DA的延长线于点N． ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴AC2， ∵∠ADC＝90°， ∴CD4， ∵AB＝BC， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°， ∵BN⊥DN，BM⊥DM， ∴BN＝BM， ∵∠N＝∠DMB＝90°， ∴∠NDB＝∠BND＝45°，∠DBM＝∠MDB＝45°， ∴DN＝BN＝DM＝BM， ∴四边形DNBM是菱形， ∵∠N＝90°， ∴四边形DNBM是正方形， ∵∠N＝∠BMC＝90°，BN＝BM，BA＝BC， ∴Rt△BNA≌Rt△BMC（HL）， ∴AN＝CM， ∴DA+DC＝DN﹣AN+DM+CM＝2DN＝6， ∴DM＝BM＝3， ∴BD＝3． 22．（本小题满分9分） 【答案】（1）证明见解析； （2）①α＝60°； ②1． 【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴， ∴CE＝BD； （2）解：①如图， ∵CE∥AD， ∴∠2＝∠4， 又∵∠2＝∠6， ∴∠4＝∠6， ∵∠1＝∠3，∠5＝∠3， ∴∠5＝∠1， ∴△AEC∽△CDB， ∴∠E＝∠CDB， ∵∠E+∠ABC＝∠CDB+∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是正三角形， ∴α＝60°； ②∵的度数与的度数之比为3， ∴∠2＝15°，∠3＝45°， ∴∠2＝∠6＝15°，∠3＝∠5＝45°， 作DH⊥BC于点H， 设DH＝CH＝1， 则，CD， ∴BD：DC＝（）：1． 23．（本小题满分11分） 【答案】（1）． （2）①A点横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2）．理由见解析； （3）7，xE≥10． 【解析】解：（1）设抛物线L的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，代入（0，0）， 得16a+4＝0，解得． 故抛物线L的解析式为． （2）①令y＝0，则，解得x1＝0，x2＝8， 故A点横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2）．理由如下： ∵反弹后弹球运动的最大高度是， 设反弹后的抛物线轨迹为抛物线， 再代入点A（8，0）， 得0，解得h＝11或5（不合题意，舍去）， 则y，令x＝13，则y， 故反弹后的小球不经过点（13，2）． （3）由题意联立与抛物线， 即，解得x＝0或7， 即D点横坐标为7，则D（7，）， ∵弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是， ∴设第一次反弹后的弹球轨迹为抛物线y， 代入点D（7，），即可解得h＝9或5（不合题意，舍去）， ∴y， 联立与抛物线y， 即，解得x＝10或7（不合题意舍去）， 即反弹后抛物线与挡板的交点横坐标为10， 若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，故点E的横坐标为xE≥10． 故答案为：7，xE≥10． 24．（本小题满分12分） 【答案】（1）四边形ADED′是正方形； （2）①50；②CQ的长为，理由见解答． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是大小完全相同的矩形， ∴AD∥D′E，AD'∥DE， ∴四边形ADED'是平行四边形， ∵∠A＝90°，AD＝AD'， ∴四边形ADED′是正方形； （2）①在 Rt△ABD′中，AD'＝8，AB＝10， ∴BD'6， ∴BC'＝C'D'﹣BD'＝10﹣6＝4， ∴∠ABD'+∠ABM+∠MBC'＝180°，∠ABM＝90°， ∵∠ABD'+∠MBC'＝90°， ∴∠BAD′＝∠MBC′， ∵∠D′＝∠C′， ∴∠ABD'∽∠BMC'， ∴（）2＝（）2， ∵S△ABD′AD′×BD′8×6＝24， ∴S△BMC′24＝6， ∵S矩形AB'C'D'＝AD×C'D'＝8×10＝80， ∴S四边形AB′MB＝S矩形AB′CD′﹣S△ABD′﹣S△BMC′＝80﹣24﹣6＝50； ②CQ的长为，理由： 如题干图2，当点B′在线段AC上时， ∵AC2， ∴B'C＝AC﹣AB'＝210， ∵AD∥CQ， ∴∠CAD＝∠QCB'， ∵∠D＝∠CB'Q＝90°， ∴△ACD∽△CQB'， ∴，即， 则CQ； 当点B'在线段CA的延长线上时， 则B'C＝B'A+AC＝10+2， ∵∠ACB＝∠QCB，∠ABC＝∠QB'C＝90， ∴△ABC∽△QB'C， ∴AC：CQ＝BC：CB′，即， 解得：CQ， 综上，CQ的长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$