第09讲：二项分布与超几何分布【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第09讲：二项分布与超几何分布 【考点梳理】 · 考点一：二项分布的均值 · 考点二：利用二项分布求分布列 · 考点三：二项分布的概率最大问题 · 考点四：建立二项分布解决实际问题 · 考点五:超几何分布的概率计算问题 · 考点六:超几何分布的方差 · 考点七:超几何分布的均值 · 考点八：二项分布和超几何分布的综合 【知识梳理】 知识点一：n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立． 知识点二：二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点三：二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点四：超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 【题型探究】 题型一：二项分布的均值 1．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 3．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 题型二：利用二项分布求分布列 4．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 题型三：二项分布的概率最大问题 7．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 9．在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 题型四：建立二项分布解决实际问题 10．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 11．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望． 12．根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其质量，规定：抽检的件产品中，若至少出现件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． (1)假设设备正常状态，记表示一天内抽取的件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性； (2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用元，修理费用元，乙部件的检测费用元，修理费用元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由. 参考数据：，，． 题型五:超几何分布的概率计算问题 13．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 14．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ） A． B． C． D． 15．现有a个白球、b个黑球（其外观、大小完全一致），从中不放回地摸出k个球，用表示摸出的白球个数,则使得的k的最小值为 . 题型六:超几何分布的方差 16．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 18．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七:超几何分布的均值 19．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 20．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 21．3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 30 60 50 40 20 若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 . 题型八：二项分布和超几何分布的综合 22．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 23．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 24．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【双基达标】 一、单选题 1．已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 3．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 5．高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 7．在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 9．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 二、多选题 10．已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 12．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 13．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 14．如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 三、填空题 15．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 16．已知随机变量，若，则 . 17．某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 18．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 19．腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 20．为营造良好的学习氛围，某校组织学生开展互帮活动，其中数学学习小组有10位学生结成5对“1-1帮扶对”，为见证“1-1帮扶对”的学习成长，特别邀请一位数学老师进行“培优”讲座．若每个“1-1帮扶对”中两人同时参加讲座学习的概率为且各“1-1帮扶对”是否参加讲座相互独立，记为“1-1帮扶对”中两人一起参加讲座学习的对数，且，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 四、解答题 21．随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，其中有60人喜欢网上买菜. (1)社区的市民小张周一､二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (2)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 22．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 23．已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 24．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 25．某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 26．某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲：二项分布与超几何分布 【考点梳理】 · 考点一：二项分布的均值 · 考点二：利用二项分布求分布列 · 考点三：二项分布的概率最大问题 · 考点四：建立二项分布解决实际问题 · 考点五:超几何分布的概率计算问题 · 考点六:超几何分布的方差 · 考点七:超几何分布的均值 · 考点八：二项分布和超几何分布的综合 【知识梳理】 知识点一：n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立． 知识点二：二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点三：二项分布的均值与方差 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点四：超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 【题型探究】 题型一：二项分布的均值 1．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省上饶市2024-2025学年高二上学期期末教学质量测试数学试题 【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 2．若随机变量，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【来源】江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据二项分布求期望公式得到，从而由得到答案. 【详解】根据二项分布的知识，得， . 故选：B． 3．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【来源】山东省青岛市黄岛区2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 题型二：利用二项分布求分布列 4．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市西青区2023-2024学年高二下学期7月期末学习质量检测数学试题 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 5．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省六校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】由题意设该质点向右移动的次数为，则，所以，再根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 而，所以的可能取值为， 所以 . 故选：D． 题型三：二项分布的概率最大问题 7．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【来源】吉林省白山市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 8．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【答案】B 【来源】四川省攀枝花市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解. 9．在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 【答案】A 【来源】专题11 统计与概率（分层练） 【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确. 【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 因为，所以，， 所以，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即， 即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式， 当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 故选：A. 题型四：建立二项分布解决实际问题 10．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章． (1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】河南省商丘名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】（1）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求； （2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率. 【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 ． （2）每一轮获得纪念章的概率为， 设4轮答题获得纪念章的数量为，则， ， 即甲同学则获得2枚纪念章的概率是． 11．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【来源】黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）可得击中目标的总次数，即可求出； （2）可得的所有可能取值为0，10，20，30，50，求出取不同值的概率即可得出分布列和期望. 【详解】（1）设X为射手射击3次击中目标的总次数，则． 故． （2）由题意可知，的所有可能取值为0，10，20，30，50， 则，， ，， ． 故ξ的分布列是： ξ 0 10 20 30 50 P . 12．根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其质量，规定：抽检的件产品中，若至少出现件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． (1)假设设备正常状态，记表示一天内抽取的件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性； (2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用元，修理费用元，乙部件的检测费用元，修理费用元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由. 参考数据：，，． 【答案】(1)，是合理的； (2)答案见解析. 【来源】河南省郑州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题 【分析】（1） 由题意可得，一天内抽取的件产品中的次品件数，再由二项分布的概率公式求解即可； （2）分别求出两种情况的费用均值，作差比较得出结果. 【详解】（1）由题可知，单件产品为次品的概率为，所以， ， 所以． 由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的个零件中，至少出现个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的． （2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，， 则，， 所以， 若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，， 则，， 所以， 所以， 则当时，，应先检测乙部件； 当时，，先检测甲部件或乙部件均可； 当时，，应先检测甲部件． 题型五:超几何分布的概率计算问题 13．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【详解】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C 14．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南省南阳市六校2021-2022学年高二下学期期末考试理科数学试题 【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可 【详解】， ， 故，故，即， 解得，所以.故若有放回地任取2个球， 则取出一蓝一绿的概率为 故选：B 15．现有a个白球、b个黑球（其外观、大小完全一致），从中不放回地摸出k个球，用表示摸出的白球个数,则使得的k的最小值为 . 【答案】6 【来源】上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】 利用超几何分布概率模型计算概率即可求解. 【详解】依题意， 若， 则, 若， 则, 若， 则, 若， 则, 若， 则, 若， 则, 所以k的最小值为6， 故答案为:6. 题型六:超几何分布的方差 16．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省连云港市灌南二中、南师大灌云附中2022-2023学年高二下学期第二次阶段性检测数学试题 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 17．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省泰州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 18．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省浙东北（ZDB）联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 题型七:超几何分布的均值 19．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【来源】上海市上海师范大学附属中学闵行分校2025届高三上学期第三次半月考数学试题 【分析】由题意得的取值为，根据超几何分布计算概率，得到期望值. 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 20．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【答案】 【来源】云南省保山市实验中学2023-2024学年高二下学期教学测评月考卷数学（七）试题 【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 21．3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 30 60 50 40 20 若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 . 【答案】/ 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】首先计算出样本中澧水船工号子的人数，再判断服从超几何分布，根据超几何分布的概率公式求出概率分布，再求期望. 【详解】由题意得样本中澧水船工号子的人数为，所以可取，并且服从超几何分布， ，，， 所以. 故答案为： 题型八：二项分布和超几何分布的综合 22．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【来源】江西省2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 23．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分第原系统中至少有4个元件正常工作；原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，求得，通过作差判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，，是解题的难点与关键. 24．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【来源】江西省南昌市东湖区南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题 【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解； （2）根据二项分布求分布列及期望即可. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为, 由题意，，， 所以, ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 【双基达标】 一、单选题 1．已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二下学期3月份联合考试数学试题 【分析】根据，且求得，再逐项判断. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，，故D错误； 故选：D 2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【来源】第十章 第6讲 高散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版） 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 3．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】7.4.2 超几何分布 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省中山市广东博文学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5．高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省德州市夏津县育中万隆中英文高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【答案】A 【来源】湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚. 故选：A. 7．在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 【答案】D 【来源】江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高三上学期期初迎考数学试卷 【分析】表示出每一轮过关的概率后结合基本不等式可得该概率的最大值，再结合二项分布期望公式计算即可得解. 【详解】由题可知每一轮过关的概率: ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故．因为，所以，则. 故选：D. 8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【来源】湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 9．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【来源】河北省石家庄正定中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题 10．已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】章末检测卷二 随机变量及其分布 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案. 【详解】因为随机变量，，所以①，， 又，，所以②， 由①②联立可得，，BC正确，A错误； 所以，D正确； 故选：BCD 11．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 【答案】ABD 【来源】百师联盟2024-2025学年高二下学期开学摸底大联考数学试题 【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质公式，以及二项分布与超几何分布的概念，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C错误； 对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量服从超几何分布，故D正确． 故选：ABD． 12．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 【答案】ABD 【来源】【巩固卷】章末检测试卷 （三） 单元测试A-湘教版（2019）选择性必修第二册 【分析】根据古典概型及组合数即可判断A；根据二项分布的方差公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据二项分布的概率公式即可判断D． 【详解】对于A，恰有1个白球的概率，故A正确； 对于B，每次任取1个球，取到红球的次数， 则方差为，故B正确； 对于C，设为事件“第一次取到红球”，为事件“第二次取到红球”， 则，，所以，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确， 故选：ABD． 13．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【答案】BD 【来源】【课后练 】3.2.2.2 超几何分布 课后作业-湘教版（2019）选择性必修第二册 第3章 概率 【分析】AB选项，根据超几何分布的定义判断；CD选项，根据超几何分布的概率公式计算. 【详解】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中，，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 14．如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】ACD 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期期末适应性考试数学试题 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【来源】训练十七 超几何分布 【分析】设口袋中有白球个（），取得白球个数的可能取值为0，1，2，得到对应的概率，从而求出期望，得到方程，求出，得到答案. 【详解】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 16．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【来源】广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期1月期末抽样检测数学试题 【分析】根据可得，求出，结合二项分布求出概率即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 17．某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【来源】河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 18．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【来源】天津市和平区2024-2025学年高三上学期期末质量调查数学试卷 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 19．腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 【答案】 【来源】微专题9 随机变量的分布列、期望、方差 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意不超过3次含有0次，1次，2次，3次共4种情形． 【详解】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 故答案为：． 20．为营造良好的学习氛围，某校组织学生开展互帮活动，其中数学学习小组有10位学生结成5对“1-1帮扶对”，为见证“1-1帮扶对”的学习成长，特别邀请一位数学老师进行“培优”讲座．若每个“1-1帮扶对”中两人同时参加讲座学习的概率为且各“1-1帮扶对”是否参加讲座相互独立，记为“1-1帮扶对”中两人一起参加讲座学习的对数，且，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【来源】微专题9 随机变量的分布列、期望、方差 课后作业-人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 【分析】由题意可知，根据根据二项分布的概率公式求得的范围，再由二项分布的期望与方差公式求解． 【详解】依题意可知，由可得，解得， 所以，． 故答案为：；． 四、解答题 21．随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，其中有60人喜欢网上买菜. (1)社区的市民小张周一､二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (2)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 【答案】(1) (2) 【来源】河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期第一次调研考试数学试题 【分析】（1）根据全概率公式计算可得结果； （2）易知随机变量服从二项分布，可求出对应期望值和方差，再根据期望值和方差性质计算可得结果. 【详解】（1）设事件“小张周一选择平台买菜”；事件“小张周二选择平台买菜”， 则 因此 所以小张周二选择平台买菜的概率为； （2）根据题意可得喜欢网上买菜的概率为 显然从社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布， 即 可得 又 所以 22．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【来源】章末检测卷二 随机变量及其分布 【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 23．已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【来源】训练十七 超几何分布 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 24．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲比乙闯关成功的可能性大 【来源】第十章 第6讲 高散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版） 【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大. 【详解】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 25．某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 【答案】(1) (2)分布列见解析，乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析 【来源】吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段检测（12月）数学试题 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）根据二项分布以及相互独立事件的概率乘法公式求解分布列，即可求解两种方案下的期望，比较期望大小即可求解. 【详解】（1）甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题， ∴其概率； （2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；； ；， ∴X的分布列为 X 0 30 60 90 P ∴X的数学期望； 若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90， ∴；； ；； ；， ∴Y的分布列为 Y 0 20 30 50 60 90 P ∴Y的数学期望， ∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利. 26．某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3)，证明见解析 【来源】河北省沧州市普通高中2025届高三上学期12月教学质量监测数学试卷 【分析】（1）设出事件，利用条件概率求解公式进行求解； （2）写出所有可能的取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望值； （3）设出事件，结合（1）的结论，计算出三种情况下的条件概率，得到. 【详解】（1）记破解后信息字符为为事件，传递信息字符为为事件， 由于传递信息字符为时，均有的可能破解后信息字符为， 则，， 所以， 所以； （2）由（1）可知，若传递信息字符为，则被破解正确的概率为， 所有可能的取值为， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . （3）记“传递信息字符只有一种”为事件A，“传递信息字符只有两种”为事件， “传递信息字符有三种”为事件，“被破解后信息字符均为''”为事件， 事件A中，由（1）可知，传递信息字符为中的某一个， 故，， 所以， 事件B中，传递信息字符为中的某两个，且有1个字符被传递了2次，顺序有种， 故，， 故， 事件C中，传递信息字符中各一次，顺序不定， ，， ， 则， ， ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$