28.2.2应用 举例 第1课时 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 28.2.2 应用举例 第二十八章 锐角三角函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 第1课时 第二十八章 锐角三角函数 解直角三角形的简单应用 第1课时 第二十八章 锐角三角函数 新知导入 住宅小区楼房之间的距离是建楼和购房时人们常关心的一个问题. α 若某地冬至这天中午12时太阳光线与地面夹角α是35°，两楼之间的距离是20米，南楼的影子是否会影响北楼的采光？ 第二十八章 锐角三角函数 3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 1. 巩固解直角三角形相关知识 . 2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 （2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 A B a b c C 知识点 1 利用解直角三角形解答简单的问题 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 如图标示下，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,D.AE为冬至这天中午12时的太阳光线，AE交CD于E,ED为南楼落在北楼上的影子.作EF⊥AB，垂足是F. AB=CD=16.8m,BD=20m. 南楼的影子是否会影响北楼的采光？ A B F D C E 35° 如何判断是否影响采光？ 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙角，两楼之间的距离应为多少？ AF=16.8m,∠AEF=35°， A B(F) 35° D(E) C ， 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 (2)如果两栋楼房之间的距离是20m, 那么这时南楼的影子是否会影响一楼的采光？ EF=BD=20m,∠AEF=35°， A B F D C E 35° ， 第二十八章 锐角三角函数 素养考点 1 建立直角三角形模型解答简单的问题 知识探究 · O C B A “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ 你能画出几何图形吗？ 第二十八章 锐角三角函数 知识探究 解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的. 在Rt△OCB中，∠O · O C B A 第二十八章 锐角三角函数 【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？ 【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 归纳总结 解直角三角形的应用： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形； (3)得到数学问题答案； (4)得到实际问题答案。 注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ A B C 解：如图所示，依题意可知∠B= 60° 答：梯子的长至少4.62米. 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 0.5m 3m 60° 素养考点 2 建立直角三角形模型解答生活问题 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 0.5m 3m A B C D E 60° 分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m， 3m A B D E 60° C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m， ∴ CD=AD－AC=1.5m， ∴ CE=AD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 巩固练习 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1.5m的测角仪CD ,测得教学楼顶角A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这栋教学楼的高度AB. 解：如图，由题意可知， ∠ACG=30°，∠AFG=60°， CF=DE=40m,设AG=xm 在Rt△AFG中，FG= , 在Rt△ACG中，CG= ，∵CF=CG－FG,∴－ =40 ∴x=20,∵BG=CD=1.5, AB=AG+GB,∴AB=(20+1.5) 所以，教学楼高AB为（20+1.5）m 第二十八章 锐角三角函数 18 巩固练习 为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3米，从侧面点D测得显示牌顶端点C和低端点B的仰角分别为60°和45°，求路况显示牌BC的高度.(结果保留根号） C B A D 3m 60° 45° 施 工慢 行 B 解：在等腰三角形BDA中∵∠BAD=90°,∠ADB=45° ∴AD=AB=3m 在Rt△ACD中，∵∠ADC=60° ∴AC=tan∠ADC×AD=tan60°×3=3 ∴BC=AC－AB=( 3－3)m 答：路况显示牌BC的高度为 （3－3)m. 第二十八章 锐角三角函数 1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两 树距离的有( ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 D 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( ) B D C A A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米 B 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米. A C B 4米 45° 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） G 解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米. ∴ (米). 课堂检测 ∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)， ∴ (米). 第二十八章 锐角三角函数 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 课堂小结 第二十八章 锐角三角函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十八章 锐角三角函数 $$