第4章 因式分解单元检测同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

第4章 因式分解 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C D B D B C 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣1＝x•x﹣1 B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1 C．a2b+ab3＝ab（a+b2） D．x（x+y）＝x2+xy 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意； B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意； C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意； D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（3分）下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、a2﹣2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：B． 3．（3分）化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025 【分析】由提公因式法得22025（﹣1+2），即可求解． 【解答】解：原式＝﹣22025+22026 ＝22025×（﹣1+2） ＝22025； 故选：D． 4．（3分）若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 【分析】计算（x+5）（x﹣3）后即可得出答案． 【解答】解：（x+5）（x﹣3） ＝x2+5x﹣3x﹣15 ＝x2+2x﹣15 ＝x2+px+q， 则p＝2， 故选：D． 5．（3分）下列各式中不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣4y2 B．m2﹣2mn+n2 C．x2+y2+2x D．m4﹣n2 【分析】运用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可判断求解． 【解答】解：A、x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），能进行因式分解，不符合题意； B、m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2，能进行因式分解，不符合题意； C、x2+y2+2x不能进行因式分解，符合题意； D、m4﹣n2＝（m2）2﹣n2＝（m2+n）（m2﹣n），能进行因式分解，不符合题意． 故选：C． 6．（3分）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9（m为常数）是完全平方式， ∴m＝±2×3＝±6． 故选：D． 7．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 8．（3分）把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　） A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1 【分析】直接提取公因式﹣3x即可分解． 【解答】解：﹣9x3+6x2﹣3x＝﹣3x（3x2﹣2x+1）， 故选：D． 9．（3分）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则小林共用长方形纸片C为（　　） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 【分析】根据题意，得到三种图形的面积之和为一个完全平方式，进行求解即可． 【解答】解：设共用长方形纸片C为m张，则：拼成的大正方形的面积为a2+mab+4b2， ∴a2+mab+4b2为完全平方式， ∴m＝4或m＝﹣4（舍去）； ∴共用长方形纸片C为4张； 故选：B． 10．（3分）已知x2+2（m+1）x+1是一个多项式的完全平方，x+n与x+2的乘积中不含关于x的一次项，则nm的值是（　　） A． B．1 C．或1 D．或1 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵x2+2（m+1）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项， ∴m+1＝±1，n+2＝0， 解得：m＝0或m＝﹣2，n＝﹣2， 当m＝0，n＝﹣2时，nm＝（﹣2）0＝1； 当m＝﹣2，n＝﹣2，nm， ∴nm＝1或， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解：3a2﹣9a＝　3a（a﹣3）　． 【分析】利用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：3a2﹣9a＝3a（a﹣3）， 故答案为：3a（a﹣3）． 12．（3分）多项式﹣8x2y2+12xy3z的公因式为 　﹣4xy2　． 【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解． 【解答】解：多项式﹣8 x2y2+12 x y3z的公因式是﹣4xy2． 故答案为：﹣4xy2． 13．（3分）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　10　． 【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解． 【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝1×10 ＝10． 14．（3分）给多项式m2﹣8m+9加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可以是 　2m（答案不唯一）　.（写出一个即可） 【分析】根据完全平方公式进行配方、求解． 【解答】解：∵m2﹣8m+9 ＝m2﹣6m+9﹣2m ＝（m﹣3）2﹣2m， ∴m2﹣8m+9加上一个单项式2m就能使它成为完全平方式， 故答案为：2m（答案不唯一）． 15．（3分）已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝ 　1　，y＝ 　4　． 【分析】根据完全平方公式，可得非负数的和为零，再根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零． 【解答】解：原方程等价于（x﹣1）2+|x﹣y+3|＝0， 得， 解得． 故答案为：1，4． 16．（3分）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为 　21　． 【分析】由题意可知，a﹣b＝3，ab＝7，再利用提取公因式法分解因式，进而把已知式子代入即可． 【解答】解：由题意可知，a﹣b＝3，ab＝7， ∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21， 故答案为：21． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）计算：20242﹣2023×2024； （2）分解因式：（x+2）（x﹣4）+9． 【分析】（1）先提取公因式，然后计算即可； （2）先根据多项式乘多项式计算，然后根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）20242﹣2023×2024 ＝2024×（2024﹣2023） ＝2024×1 ＝2024； （2）（x+2）（x﹣4）+9 ＝x2﹣4x+2x﹣8+9 ＝x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2． 18．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 【分析】（1）先利用提公因式结合已知条件得出14（x﹣y）＝28，即可得解； （2）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy即可求解；根据（x+y）2＝x2+2xy+y2及平方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28， xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28， （x﹣y）（xy﹣1）＝28， ∵xy＝15， ∴14（x﹣y）＝28， ∴x﹣y＝2； （2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34； （x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64， ∴x+y＝±8． 19．（8分）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式：（3x+y）2﹣（x+3y）2． 解：原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y）…第一步 ＝（4x+4y）（2x﹣2y）…第二步 ＝8（x+y）（x﹣y）…第三步 ＝8（x2﹣y2）．…第四步 任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　； 任务二：以上分解过程第 　四　步出现错误，具体错误为 　从第三步到第四步不是分解因式　，分解因式的正确结果为 　8（x+y）（x﹣y）　． 【分析】任务一：用字母a，b表示出平方差公式即可； 任务二：根据因式分解的定义分析，从第三步到第四步不是因式分解． 【解答】解：任务一：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为从第三步到第四步不是因式分解，分解因式的正确结果为8（x+y）（x﹣y）． 故答案为：四，从第三步到第四步不是因式分解，8（x+y）（x﹣y）． 20．（8分）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【分析】表示出x、y的关系，再提取公因式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣y＝26， ∵x2﹣xy＝x（x﹣y）， ∴26x＝1040， 解得x＝40， y＝40﹣x＝40﹣26＝14． 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁． 21．（8分）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【分析】（1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）132﹣102＝（13+10）（13﹣10）＝69． 69÷3＝23， 所以能被3整除． （2）（2n+3）2﹣（2n）2＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n）＝3（4n+3）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为n+9． （n+9）2﹣n2＝（n+9+n）（n+9﹣n）＝9（2n+9），所以能被9整除． 22．（10分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路： 将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2， 再将“m”还原为“x2﹣2x”即可． 解题过程如下： 解：设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2． 问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 【分析】（1）根据结果判断不彻底，然后接着题中的过程利用完全平方公式进一步分解即可； （2）仿照题中给出的方法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）不完整， 正确的解答过程： 设x2﹣2x＝m， 则原式＝m（m+2）+1 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4； （2）设x2+6x＝m， 则原式＝m（m+18）+81 ＝m2+18m+81 ＝（m+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝[（x+3）2]2 ＝（x+3）4． 23．（10分）【阅读材料】：如图（1），有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型是边长为m的正方形，B型是长为m、宽为n的长方形，C型是边长为n的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明（m+n）2＝m2+2mn+n2成立． 【解决问题】：如图3，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形． ①A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为　（2a2+4a+4）　平方厘米； ②从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为　（a+2）　厘米； ③从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【分析】①先求出一块A、B、C型纸板的面积，再计算A型2块，B型4块，C型4块的总面积即可； ②把2a2+4a+4减去a2，再根据完全平方公式得到正方形的边长即可； ③把2a2+4a+4减去2，然后根据完全平方公式得到2（a+1）2，由此得到正方形的边长和面积即可． 【解答】解：①1块A型纸板的面积为a2 cm2，1块B型纸板的面积为a cm2，1块C型纸板的面积为1cm2， ∴A型2块，B型4块，C型4块的总面积为：（2a2+4a+4）cm2． 故答案为：（2a2+4a+4）cm2； ②从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下纸板的总面积为2a2+4a+4﹣a2＝a2+4a+4， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形， ∴a2+4a+4＝（a+2）2， ∴此正方形的边长为：（a+2）cm． 故答案为：（a+2）； ③从这10块纸板中拿掉2块C型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，理由如下： 2a2+4a+4﹣2＝2a2+4a+2＝2（a2+2a+1）＝2（a+1）2， 此时，正方形的边长为（a+1）cm， ∴大正方形的面积为：（a+1）2＝（a2+2a+1）cm2． 故拿掉的是2块C型纸板，此时大正方形的面积是（a2+2a+1）cm2． 24．（12分）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 【分析】设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值． 【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①， 取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②， 由①、②解得m＝﹣5，n＝20． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 因式分解 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣1＝x•x﹣1 B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1 C．a2b+ab3＝ab（a+b2） D．x（x+y）＝x2+xy 2．（3分）下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2 3．（3分）化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025 4．（3分）若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　） A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2 5．（3分）下列各式中不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣4y2 B．m2﹣2mn+n2 C．x2+y2+2x D．m4﹣n2 6．（3分）若x2+mx+9（m为常数）是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．6 C．3或﹣3 D．6或﹣6 7．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 8．（3分）把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　） A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1 9．（3分）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则小林共用长方形纸片C为（　　） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 10．（3分）已知x2+2（m+1）x+1是一个多项式的完全平方，x+n与x+2的乘积中不含关于x的一次项，则nm的值是（　　） A． B．1 C．或1 D．或1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解：3a2﹣9a＝　 　． 12．（3分）多项式﹣8x2y2+12xy3z的公因式为 　 　． 13．（3分）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　 　． 14．（3分）给多项式m2﹣8m+9加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可以是 　 　.（写出一个即可） 15．（3分）已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝ 　 　，y＝ 　 　． 16．（3分）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）计算：20242﹣2023×2024； （2）分解因式：（x+2）（x﹣4）+9． 18．（8分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 19．（8分）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式：（3x+y）2﹣（x+3y）2． 解：原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y）…第一步 ＝（4x+4y）（2x﹣2y）…第二步 ＝8（x+y）（x﹣y）…第三步 ＝8（x2﹣y2）．…第四步 任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 　 　； 任务二：以上分解过程第 　 　步出现错误，具体错误为 　 　，分解因式的正确结果为 　 　． 20．（8分）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 21．（8分）【观察】（2+3）2﹣22＝（2+3+2）（2+3﹣2）＝7×3，（4+3）2﹣42＝（4+3+4）（4+3﹣4）＝11×3，（6+3）2﹣62＝（6+3+6）（6+3﹣6）＝15×3，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 22．（10分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路： 将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2， 再将“m”还原为“x2﹣2x”即可． 解题过程如下： 解：设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2． 问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 23．（10分）【阅读材料】：如图（1），有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型是边长为m的正方形，B型是长为m、宽为n的长方形，C型是边长为n的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明（m+n）2＝m2+2mn+n2成立． 【解决问题】：如图3，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形． ①A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为　 　平方厘米； ②从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为　 　厘米； ③从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 24．（12分）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$