重难点15 平行四边形的性质与判定的综合九大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点15 平行四边形的性质与判定的综合 九大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的定义： ★1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ★2、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） ▲知识点二：平行四边形的性质： ★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． ★2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. ★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． ▲知识点三：两条平行间的距离： ★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ▲知识点四：平行四边形的判定： 类别 判定方法 图形 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ▲知识点五：三角形的中位线定理 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ★2、三角形中位线的定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 几何语言表示∵ 在△ABC中，DE是中位线, ∴ DE//BC, 且DE =BC． 【题型一 利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2024秋•岱岳区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024•柯桥区模拟）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 4．（2024秋•江北区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为 　 　． 5．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO＝DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长． 【题型二 利用平行四边形的性质求角度 】 1．（2024秋•张店区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．（2024春•罗甸县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A+∠C＝90°，则∠D的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．无法确定 3．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．143° B．127° C．53° D．37° 4．（2025•乐清市校级模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为　 　． 5．（2024秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积 】 1．（2024秋•重庆期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，对角线AC，BD交于点O，点M是CD的中点，OM＝1，则△ABCD的周长为 　 　． 2．（2024秋•沂源县期末）如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 3．（2024秋•沂源县期末）如图，MN过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点M，交BC于点N，若▱ABCD的周长为20，OM＝2，则四边形ABNM的周长为　 ． 4．（2024秋•新泰市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠BCD＝30°，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 5．（2024秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，垂足为点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝6，则四边形BFCE的面积为 　 　． 6．（2024秋•东平县期中）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 【题型四 利用平行四边形的性质进行证明 】 1．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 2．（2024•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH． 3．（2024•岳池县模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 4．（2024•碑林区校级四模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，G为DF的中点，分别延长AE，DC交于点H，求证：CG⊥DF． 5．（2024•长沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE； （2）∠AFD＝∠ECD． 6．（2024春•郯城县期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上一点，点F在BE的延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）若G是CD的中点，连接DE、CF，且DE⊥AC，求证：BF＝2AB． 【题型五 平行四边形判定的条件】 1．（2024秋•河口区期末）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角互补 C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线平分每一组对角 2．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 3．（2024春•蓬江区期末）如图，已知△ABC，用尺规进行如下操作：①以点A为圆心，BC长为半径画弧；②以点C为圆心，AB长为半径画弧；③两弧交于点D，连接AD、CD．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（　　） ①一组对边平行，另一组对边相等 ②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 ③一组对边平行，一组对角相等 ④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC 【题型六 平行四边形判定的证明】 1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形． 2．（2024春•荔湾区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E和F为对角线AC上的两点，AE＝CF，∠ABE＝∠CDF． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 3．（2024春•澄迈县期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC． （1）求证：△ABC≌△DFE． （2）连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形． 4．（2024春•凉城县期末）如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF． 求证：（1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形． 5．（2024春•巴彦淖尔期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 6．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 【题型七 三角形中位线定理的应用】 1．（2024•榆阳区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 2．（2025•崂山区校级开学）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 3．（2024秋•蓬莱区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE⊥AC交AD于点F，AF＝DF．若，EC＝2，则AB的长为 　． 5．（2024秋•博山区期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 6．（2024秋•大悟县校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：； （2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：　 　． 【题型八 平行四边形的判定与动点运动问题】 1．（2024秋•莱阳市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 2．（2024秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 3．（2024春•雁塔区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B 四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 　 　秒． 4．（2024秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　 　． 5．（2024秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值． （3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【题型九 平行四边形性质与判定的综合运用】 1．（2024秋•河口区期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝8，BF＝6，AC＝16．求线段EF长． 2．（2024•武威三模）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 3．（2024秋•如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD． 【方法应用】 （2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长． 4．（2024•东城区二模）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB＝∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF＝EG． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若CD＝4，∠B＝45°，∠CEG＝15°，求AB的长． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积． 6．（2024秋•招远市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：△ADF为等边三角形； （2）求证：四边形BECF为平行四边形； （3）若AB＝8，请直接写出四边形BECF的周长． 1．（2024秋•任城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出六组条件：①AB＝DC，AD∥BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB∥CD，AD∥BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB＝CD，AD＝BC；⑥AD∥BC，∠ABC＝∠ADC．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2024秋•峡江县期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝4，则DF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024春•立山区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE、DF分别平分∠DAB、∠ADC，若AD＝2EF＝10，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．30 B．35 C．36 D．40 4．（2024春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 5．如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是 　 　． 6．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG．其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 7．（2024•西安校级四模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 8．（2024春•上思县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E，F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，连接BD． （1）求∠BDC的度数； （2）若CD＝3，BC比BD长1，求EF的长． 9．（2025•东湖区校级模拟）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面GF的距离． 10．如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点15 平行四边形的性质与判定的综合 九大重难点题型 ▲知识点一：平行四边形的定义： ★1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ★2、几何语言：(双重含义) ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质） ▲知识点二：平行四边形的性质： ★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等． ★2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补. ★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分． ▲知识点三：两条平行间的距离： ★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. ★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. ▲知识点四：平行四边形的判定： 类别 判定方法 图形 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ▲知识点五：三角形的中位线定理 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． ★2、三角形中位线的定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 几何语言表示∵ 在△ABC中，DE是中位线, ∴ DE//BC, 且DE =BC． 【题型一 利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2024秋•岱岳区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，得到AE＝AB＝3，即可求出DE＝DF＝AD﹣AE＝5﹣3＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF， ∴AE＝AB＝3， ∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2024•柯桥区模拟）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF， ∵E是▱ABCD的边CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝EF＝3， ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAF＝90°， 在△ADE中，AD＝BC＝5， ∴DE4， ∴CD＝2DE＝8． 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于点E，作DG⊥AE于点G并延长交BC于点F，则线段EF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】据平行四边形的性质证明∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，进而证明∠BAE＝∠BEA得到BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7， ∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD， ∵AG⊥DG， ∴∠AGD＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90°， ∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵∠BEA+∠CFD＝90°， ∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD， ∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5， ∴EF＝CF﹣CE＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键． 4．（2024秋•江北区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为 　 　． 【分析】设OB＝x，依据含30°角的直角三角形的性质可求解AOx，ABx，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的 性质可得 DO＝BO＝x，S△ADO＝S△ABOx2，即可得到OE+2EF的值． 【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴BO＝2AO， 设OB＝x，则ABx，AOx， ∵AB， ∴OB＝2， ∴S△ABOAO•ABxxx2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DO＝BO＝x，S△ADO＝S△ABOx2， ∵OE⊥AO，EF⊥OD， ∴S△ADO＝S△AEO+S△EDOAO•EOOD•EFx•EOx•EFx2， 即OE+2EFx， ∴OE+2EFOB， 故答案为：OE+2EF． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，求解 S△ADO＝S△AEO+S△EDO 是解题的关键． 5．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO＝DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可； （2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，然后由等腰三角形的性质得出OF＝FG＝1，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO． （2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA＝∠GFD＝90°． ∵∠A＝45°， ∴∠G＝∠A＝45°． ∴AE＝GE ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠GDO＝90°． ∴∠GOD＝∠G＝45°． ∴DG＝DO， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴OF＝FG＝1， 由（1）可知，OE＝OF＝1， ∴GE＝OE+OF+FG＝3， ∴AE＝3． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键． 【题型二 利用平行四边形的性质求角度 】 1．（2024秋•张店区期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D，AD∥BC，则∠AEB＝∠BEC＝40°，再由角平分线定义得∠ABC＝2∠ABE＝80°，即可得出结论． 【解答】解：在▱ABCD中， ∴∠AEB＝∠EBC＝40°． ∵BE平分∠ABC交AD于点E， ∴∠ABC＝2∠ABE＝80°． 由题意可得：∠ABC＝∠D＝80°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024春•罗甸县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A+∠C＝90°，则∠D的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．无法确定 【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再利用其性质即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝45°， ∴∠D＝180°﹣45°＝135°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是平行四边形性质的熟练掌握． 3．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（　　） A．143° B．127° C．53° D．37° 【分析】先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CAD＝∠OCF， ∵AC⊥AB，OF⊥BC， ∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°， ∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°， ∴∠FOC＝∠D＝53°， ∵O为对角线AC与BD的交点， ∴O为AC的中点， ∵E为AD的中点， ∴OE∥CD， ∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键． 4．（2025•乐清市校级模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为　 　． 【分析】根据题意等边对等角得出∠AEB＝∠B＝70°，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠AEB＝70°，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得∠ADE＝40°，进而根据∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ADC＝∠B＝70°， ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝70°（两直线平行，同位角相等）， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠DAE＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 5．（2024秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数． 【分析】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BCFG，证出BC＝FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE， ∴BC为△FEG的中位线， ∴BC∥FG，BCFG， 又∵H是FG的中点， ∴FHFG， ∴BC＝FH． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠DCB， ∵CE＝CB， ∴∠BEC＝∠EBC＝75°， ∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°， ∴∠DAB＝40°． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积 】 1．（2024秋•重庆期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，对角线AC，BD交于点O，点M是CD的中点，OM＝1，则△ABCD的周长为 　 　． 【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用三角形中位线定理得出BC＝2OM，进而利用等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AB＝CD，OB＝OD， ∵点M是CD的中点， ∴OM是△DBC的中位线， ∴BC＝2OM＝2， ∵∠ABC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2， ∴▱ABCD的周长＝2×4＝8， 故答案为：8． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OB＝OD解答． 2．（2024秋•沂源县期末）如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【分析】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠EAB+∠EBA＝90°，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【解答】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线， ∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∵AE＝3，BE＝2， ∴S△ABE2×3＝3， ∴平行四边形ABCD的面积为：6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质，得出S△ABE是解题关键． 3．（2024秋•沂源县期末）如图，MN过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点M，交BC于点N，若▱ABCD的周长为20，OM＝2，则四边形ABNM的周长为　 ． 【分析】先利用平行四边形的性质求出AB＝CD，BC＝AD，AD+CD＝10，可利用全等的性质得到△AMO≌△CNO，求出OM＝ON＝2，即可求出四边形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为20， ∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC， ∴CD+AD＝10，∠OAM＝∠OCN， 在△AMO和△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴OM＝ON＝2，AM＝CN， 则四边形ABNM的周长＝BN+AB+AM+MN＝（BN+AM）+AB+MN＝BC+AB+MN＝10+4＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（2024秋•新泰市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠BCD＝30°，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】过点D作DP⊥AB于点P，勾股定理求得AP，证明△EOC≌△FOA，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点D作DP⊥AB于点P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD＝30°，AD＝BC＝4， ∴， ∴， ∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， ∴AB∥CD，AO＝CO， ∴∠ECO＝∠FAO， 又∵∠EOC＝∠FOA， ∴△EOC≌△FOA（AAS） ∴S△EOC＝S△FOA 同理：S△BOF＝S△DOE ∴阴影部分面积面积S△A B D， 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2024秋•崂山区期末）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，垂足为点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝6，则四边形BFCE的面积为 　 　． 【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OCBC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8， ∴AD＝BC＝8， ∵由EF是线段BC的垂直平分线， ∴EF⊥BC，OB＝OCBC＝4， ∵CE＝6， ∴OE2． ∵CF∥BE， ∴∠OCF＝∠OBE， 在△OCF与△OBE中， ， ∴△OCF≌△OBE（ASA）， ∴OE＝OF＝2， ∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC BC•OEBC•OF 8×28×2 ＝88 ＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出OE＝OF是解题的关键． 6．（2024秋•东平县期中）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF平分∠ADC可推出∠F＝∠ADF，即可证明AD＝AF； （2）过点D作DH⊥BA，垂足为H，可推出∠DAH＝60°，利用DH＝ADsin∠DAH，得到DH，最后根据S▱ABCD＝AB•DH即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠F＝∠CDF， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF； （2）解：过点D作DH⊥BA，垂足为H， ∵∠BAD＝120°，AB＝3，AD＝6， ∴∠DAH＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型四 利用平行四边形的性质进行证明 】 1．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 2．（2024•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH． 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA， ∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F， 在△BEG与△DFH中， ， ∴△BEG≌△DFH（ASA）， ∴EG＝FH． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（2024•岳池县模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 【分析】证△DOE≌△BOF（SAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA+AE＝OC+CF， 即OE＝OF， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（SAS）， ∴DE＝BF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△DOE≌△BOF是解题的关键． 4．（2024•碑林区校级四模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，G为DF的中点，分别延长AE，DC交于点H，求证：CG⊥DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，进而利用ASA证明△ABE与△HCE全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠B＝∠HCE， ∵点E为BC边的中点， ∴BE＝EC， 在△ABE与△HCE中， ， ∴△ABE≌△HCE（ASA）， ∴AB＝CH， ∴DC＝CH， ∵G为DF的中点， ∴CG是△DFH的中位线， ∴CG∥EH， ∵DF⊥AE， ∴CG⊥DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB＝CD解答． 5．（2024•长沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE； （2）∠AFD＝∠ECD． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，再加上条件∠B＝∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE； （2）根据平行四边形的性质可得结论． 【解答】证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线， ∴∠BEA＝∠AEF， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（AAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠ECD＝180°， ∵∠B＝∠AFE，∠AFE+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠ECD． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△ABE≌△AFE． 6．（2024春•郯城县期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上一点，点F在BE的延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）若G是CD的中点，连接DE、CF，且DE⊥AC，求证：BF＝2AB． 【分析】（1）连接BD交AC于点O，证明OE是△BDF的中位线，即可证明结论； （2）先证△DFG≌△CEG（AAS），再证△DEC≌△EDF（SAS），根据CD＝AB，BF＝2EF得出结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵BE＝EF， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF，即DF∥AC； （2）由（1）得DF∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∠DEC＝∠EDF＝90°， ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， 在△DFG和△CEG中， ， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FD＝CE， 在△DEC和△EDF中， ， ∴△DEC≌△EDF（SAS）， ∴DC＝EF， ∵CD＝AB，BF＝2EF， ∴BF＝2AB． 【点评】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【题型五 平行四边形判定的条件】 1．（2024秋•河口区期末）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角互补 C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线平分每一组对角 【分析】由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可． 【解答】解：A．∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形， ∴A错误，不符合题意； B．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴B错误，不符合题意； C．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴C正确，符合题意； D．∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键． 2．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 【分析】根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【解答】解：根据平行四边形的判定方法， A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意； C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，关键掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．（2024春•蓬江区期末）如图，已知△ABC，用尺规进行如下操作：①以点A为圆心，BC长为半径画弧；②以点C为圆心，AB长为半径画弧；③两弧交于点D，连接AD、CD．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据圆的半径相等，得到BC＝AD，CD＝AB，根据平行四边形判定定理解答即可． 【解答】解：根据圆的半径相等，得到BC＝AD，CD＝AB， 故两组对边分别相等， 故四边形ABCD为平行四边形， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（　　） ①一组对边平行，另一组对边相等 ②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 ③一组对边平行，一组对角相等 ④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形； ②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形； ③错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行； ④正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行．故是平行四边形． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 5．（2024秋•重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝BC，AB＝CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可判定四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A不符合题意； ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故B不符合题意； ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°， ∴2∠A+2∠B＝360°，2∠A+2∠D＝360°， ∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故C不符合题意； ∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， ∴由AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 【题型六 平行四边形判定的证明】 1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形． 【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DEBC，再证明DE＝CF，即可得出结论． 【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF， 又∵DE∥CF， ∴四边形DCFE是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 2．（2024春•荔湾区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E和F为对角线AC上的两点，AE＝CF，∠ABE＝∠CDF． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 【分析】证△AEB≌△CFD（AAS），得AB＝DC，再由AB∥DC，根据平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（AAS）， ∴AB＝DC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 3．（2024春•澄迈县期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC． （1）求证：△ABC≌△DFE． （2）连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形． 【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可； （2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC＝∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BE＝FC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SSS）； （2）由（1）知△ABC≌△DFE， ∴∠ABC＝∠DFE， ∴AB∥DF， ∵AB＝DF， ∴四边形ABDF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（2024春•凉城县期末）如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF． 求证：（1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB； （2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD＝CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：（1）如图，∵AD∥BC，DF∥BE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 又AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE． 在△AFD与△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB（ASA）； （2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD＝CB． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 5．（2024春•巴彦淖尔期末）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解． （2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了． 【解答】证明：（1）∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OD＝OC； （2）∵OD＝OC， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴OFOD，OEOC， ∴EO＝FO， 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 6．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 【分析】（1）根据SAS证明△ABF≌△CAD即可得出结论； （2）证明BF∥DE且BF＝DE即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAF＝∠C＝60°， 又∵AF＝CD， ∴△ABF≌△CAD（SAS）， ∴AD＝BF； （2）如图，设AC与DE相交于点H， 由（1）知，BF＝AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∴BF＝DE， ∵∠C＝∠AED＝60°，∠DHC＝∠AHE， ∴∠CDH＝∠CAE， ∵∠CAE+∠DAC＝∠CBF+∠ABF＝60°，∠ABF＝∠DAC， ∴∠CBF＝∠CAE， ∴∠CBD＝∠CDH， ∴BF∥DE， ∴四边形BFED为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型七 三角形中位线定理的应用】 1．（2024•榆阳区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：∵BC＝14， ∴FC＝BC﹣BF＝14﹣BF． ∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC＝5． ∴FC＝10． ∴14﹣BF＝10． ∴BF＝4． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．（2025•崂山区校级开学）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关 【分析】连接AR，由题意可知EF是△APR的中位线，且AR的长是定值，从而得出结论． 【解答】解：如图，连接AR， ∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点， ∴EF是△APR的中位线， ∴EF， 由题意可知，线段AR的长度是定值， ∴线段EF的长度是定值， ∴线段EF的长不变， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 3．（2024秋•蓬莱区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设BD的中点为M，连接EM，FM，证明ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线，则MEAB，ME∥AB，NFCD，NF∥CD，进而得∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°，再根据∠ABD＝30°，∠BDC＝120°得∠EMD＝30°，∠DMF＝60°，则∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°，然后在Rt△MEF中，由勾股定理可求出EF的长． 【解答】解：设BD的中点为M，连接EM，FM，如图所示： ∵点E，F分别是AD，BC边的中点， ∴ME是△ABD的中位线，NF为△BCD的中位线， ∴MEAB，ME∥AB，MFCD，MF∥CD， ∵AB＝2，CD＝2， ∴ME，MF， ∵ME∥AB，MF∥CD， ∴∠EMD＝∠ABD，∠DMF+∠BDC＝180°， 又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°， ∴∠EMD＝30°，∠DMF＝60°， ∴∠EMF＝∠EMD+∠DMF＝90°， 在Rt△MEF中，由勾股定理得：EF2√2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了是三角形的中位线定理，正确的添加辅助线，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 4．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE⊥AC交AD于点F，AF＝DF．若，EC＝2，则AB的长为 　． 【分析】取EC中点M，连接MD，求出EM＝1，判定DM是△BCD的中位线，推出EF∥DM，DMBE，判定EF是△ADM的中位线，得到DM＝2EF，求出BE＝2DM＝3，由勾股定理求出AB． 【解答】解：取EC中点M，连接MD， ∴EMEC2＝1， ∵AD是BC上的中线， ∴DM是△BCD的中位线， ∴EF∥DM，DMBE， ∵AF＝FD， ∴AE＝EM＝1， ∴EF是△ADM的中位线， ∴DM＝2EF＝2， ∴BE＝2DM＝3， ∵BE⊥AC交AD于点F， ∴AB． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是取CE中点M，构造三角形的中位线． 5．（2024秋•博山区期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题． （2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可． （3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 6．（2024秋•大悟县校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：； （2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论：　 　． 【分析】（1）利用ASA证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出BE＝DE，AB＝AD，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题； （2）先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝PE，根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵BE⊥AE于点E， ∴∠BEA＝∠DEA＝90°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（ASA）， ∴BE＝DE，AB＝AD， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝FC， ∴EFDC（AC﹣AD）（AC﹣AB）； （2）如图2中，延长AC交BE的延长线于P． ∵AE⊥BP， ∴∠AEP＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°， ∵∠BAE＝∠PAE， ∴∠ABE＝∠APE， ∴AB＝AP， ∵AE⊥BP， ∴E为BP的中点， ∴BE＝PE， ∵点F为BC的中点， ∴EF是△BCP的中位线， ∴EFPC（AP﹣AC）（AB﹣AC）， 故答案为：EF（AB﹣AC）． 【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型八 平行四边形的判定与动点运动问题】 1．（2024秋•莱阳市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024秋•任城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键． 3．（2024春•雁塔区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 　 　秒． 【分析】根据平行四边形的性质可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， ∵点P以每秒0.5cm的速度，点Q以每秒1cm的速度运动， ∴点P运动时间为3÷0.5＝6秒，此时点Q从点C运动到点B，又从点B运动到点C， ①点Q的运动路线是C﹣B，可得3﹣0.5t＝3﹣t， 解得：t＝0； ②点Q的运动路线是B﹣C，可得3﹣0.5t＝t﹣3， 解得：t＝4； 综上所述，t＝0秒或4秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0或4． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 4．（2024秋•淄川区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　 　． 【分析】由AD∥BC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，则得：9﹣3t＝5﹣t，解方程即可， ②当Q运动到E和B之间时，则得：3t﹣9＝5﹣t，解方程即可． 【解答】解：∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝9， ∵AD∥BC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时， 则得：9﹣3t＝5﹣t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时， 则得：3t﹣9＝5﹣t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2或3.5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 5．（2024秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值． （3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解； （2）由面积关系可求解； （3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解． 【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动， ∴AP＝tcm，CQ＝3tcm， ∴BQ＝（15﹣3t）cm， 故答案为：t，3t； （2）设点A到BC的距离为h， ∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍， ∴（12﹣t+3t）×h＝2（t+15﹣3t）×h， ∴t＝3； （3）若四边形APQB是平行四边形， ∴AP＝BQ， ∴t＝15﹣3t， ∴t； 若四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴12﹣t＝3t， ∴t＝3， 若四边形APCQ是平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴t＝3t， ∴t＝0（不合题意舍去）， 若四边形PDQB是平行四边形， ∴PD＝BQ， ∴12﹣t＝15﹣3t， ∴t， 综上所述：当t或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【题型九 平行四边形性质与判定的综合运用】 1．（2024秋•河口区期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝8，BF＝6，AC＝16．求线段EF长． 【分析】（1）连接BD，根据平行四边形的性质可得OD＝OB，OA＝OC，根据已知AE＝CF证得OE＝OF，从而证得结论； （2）根据勾股定理求出AF，然后求得CF，进而求出EF． 【解答】（1）证明：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：①∵AB⊥BF，AB＝8，BF＝6， ∴在Rt△ABF中，AF10， ∵AC＝16， ∴CF＝AC﹣AF＝16﹣10＝6， ∵AE＝CF， ∴EF＝AF﹣AE＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型． 2．（2024•武威三模）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）根据勾股定理得到BD4，连接AC交EF于O，求得DO＝OBBD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OFEF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠ADB＝∠CBD． ∴∠ADE＝∠CBF． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． ∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF． ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3， ∴BD4， 连接AC交EF于O， ∴DO＝OBBD＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴EO＝OFEF， ∴DE＝BF， 设DE＝BF＝x， ∴EF＝2x+4， ∵EF﹣AF＝2， ∴AF＝2x+2， ∵AF2＝AD2+DF2， ∴（2x+2）2＝32+（4+x）2， ∴x（负值舍去）， ∴DE的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△CBF． 3．（2024秋•如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD． 【方法应用】 （2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长． 【分析】（1）由角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD．由平行线的性质得出∠EDB＝∠CBD，证出∠EDB＝∠ABD，则可得出结论； （2）根据平行四边形的判定和性质定理得到BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5，由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝CD＝6，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD； （2）解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠F， ∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5， 由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠F， ∴DF＝AD＝6， ∴CF＝DF﹣CD＝6﹣3.5＝2.5． 【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（2024•东城区二模）如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD，∠ACB＝∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF＝EG． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若CD＝4，∠B＝45°，∠CEG＝15°，求AB的长． 【分析】（1）证明AD∥CE，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得AE＝CD＝4，进而证明Rt△AFE≌Rt△AGE（HL），再证明△BEF是等腰直角三角形，然后证明由含30°的直角三角形的性质得BF＝EF＝2，进而由勾股定理求出AF的长，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DAC， ∴AD∥CE， ∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， ∴AE＝CD＝4， ∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE＝∠AGE＝90°， 在Rt△AFE和Rt△AGE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△AGE（HL）， ∴∠AEF＝∠AEG， ∵∠BFE＝180°﹣90°＝90°，∠B＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF＝EF，∠BEF＝45°， ∴∠FEG＝180°﹣∠BEF﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣15°＝120°， ∴∠AEF＝∠AEG∠FEG＝60°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝30°， ∴BF＝EFAE＝2， ∴AF2， ∴AB＝AF+BF＝22． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形； （2）连接OE，由▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OCAC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE2，则S△ACEAC•OE＝8． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵延长CD至点E，使CD＝DE， ∴AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）解：连接OE， ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8， ∴OA＝OCAC＝4， ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE＝6， ∴OE⊥AC， ∴∠AOE＝90°， ∴OE2， ∴S△ACEAC•OE8×28， ∴△ACE的面积是8． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2024秋•招远市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：△ADF为等边三角形； （2）求证：四边形BECF为平行四边形； （3）若AB＝8，请直接写出四边形BECF的周长． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°，由三角形外角的定义及性质可得∠ADF＝∠BAD+∠AED＝60°，由三角形内角和定理求出∠AFD＝90°﹣∠AEF＝60°，即可得证； （2）由（1）可得∠AED＝∠BAD＝30°，△ADF为等边三角形，BD＝CD，从而得出AD＝ED，AD＝DF，进而可得ED＝DF，利用平行四边形的判定即可得证； （3）结合勾股定理求出BE、BF的长即可得解． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵∠AED＝30°， ∴∠ADF＝∠BAD+∠AED＝30°+30°＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠EAF＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFD＝∠ADF＝∠DAF＝60°， ∴△ADF为等边三角形； （2）证明：根据（1）可得：∠AED＝∠BAD＝30°，△ADF为等边三角形，BD＝CD， ∴AD＝ED，AD＝DF， ∴ED＝DF，又BD＝CD， ∴四边形BECF为平行四边形； （3）解：∵AB＝8， ∴BD＝84，， ∵△ADF为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴BE＝AE﹣AB＝12﹣8＝4， ∴四边形BECF的周长为． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1．（2024秋•任城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出六组条件：①AB＝DC，AD∥BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB∥CD，AD∥BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB＝CD，AD＝BC；⑥AD∥BC，∠ABC＝∠ADC．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可． 【解答】解：①由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形； ②由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形； ③由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形； ④由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形； ⑤由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形； ⑥由AD∥BC可知∠DAB+∠ABC＝180°，由∠ABC＝∠ADC，可得∠DAB+∠ADC＝180°，可证AB∥CD，可得四边形ABCD是平行四边形， 则能判定此四边形是平行四边形的有5组， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（2024秋•峡江县期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝4，则DF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠ABF，根据角平分线的定义、等量代换得到∠DFB＝∠DBF，得到DF＝BD＝2． 【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BDBC＝2， ∴DE∥AB， ∴∠DFB＝∠ABF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠ABF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝BD＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、角平分线的定义，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 3．（2024春•立山区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE、DF分别平分∠DAB、∠ADC，若AD＝2EF＝10，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．30 B．35 C．36 D．40 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：∵AE、DF分别平分∠DAB、∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CDF＝∠CFD， ∴AB＝BE，CD＝CF， ∵AD＝2EF＝10， ∴EF＝5，BC＝10， ∴BF+CE＝5， ∴平行四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝10+10+5+BF+5+CE＝35， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．（2024春•莲池区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点P运动了t秒， ∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm， ①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形， 即15﹣t＝2t， ∴t＝5； ②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形， 即t＝18﹣2t， ∴t＝6， 综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒， 故答案为：5或6． 【点评】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 5．如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是 　 　． 【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解． 【解答】解：设点B（x，y）， ∵▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2）， ∴AC与BD互相平分， ∴，， 解得：x＝﹣1，y＝﹣2， ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 6．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG．其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 【分析】根据平行四边形的性质先证得△ADG≌△ECG，得出DG＝CG，AG＝EG即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AO＝OC， ∴∠DAG＝∠E，∠ADG＝∠ECG， ∵CE＝BC， ∴CE＝AD， ∴△ADG≌△ECG（ASA）， ∴AG＝GE，DG＝GC， ∴OG是△CAD的中位线，四边形ACED是平行四边形，故③正确； ∴OGAD，故①正确； ∴OG∥AD， ∴S△ACD＝4S△OCG， ∴S▱ABCD＝8S△OCG，故④错误； ∵AC≠CE， ∴∠E≠CAE， ∴∠CAE≠∠DAG，故②错误． ∴正确的是①③． 故答案为①③． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质并灵活运用．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 7．（2024•西安校级四模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】先证明AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得AB＝CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA＝∠DFC＝90°， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 8．（2024春•上思县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E，F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，连接BD． （1）求∠BDC的度数； （2）若CD＝3，BC比BD长1，求EF的长． 【分析】（1）先由三角形中位线可得EF∥BD，则可求出∠ADB＝∠AFE＝50°，最后利用角度和差即可求解； （2）由题意可设BD＝x，则BC＝1+x，再由勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE＝50°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝140°﹣50°＝90°， （2）由（1）得：∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC2＝BD2+CD2， 即（1+x）2＝32+x2， 解得：x＝4，即BD＝4， ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EFBD4＝2． 【点评】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． 9．（2025•东湖区校级模拟）如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50cm，BD＝20cm，GF＝80cm，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，已知BD∥CE∥GF． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面GF的距离． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACE＝∠ABD＝118°，∠DEC＝∠GFE＝62°，进而得∠ACE+∠DEC＝180°，可知BC∥DE，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得CE＝BD＝20cm，延长AC交GF于H，由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，可知四边形CHFE是平行四边形，得CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm，求得AH＝AC+CH＝100cm，GH＝GF﹣HF＝60cm，再由勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°， ∴∠ACE＝∠ABD＝118°，∠DEC＝∠GFE＝62°， 则∠ACE+∠DEC＝180°， ∴BC∥DE， ∴四边形BCED是平行四边形； （2）解：∵四边形BCED是平行四边形， ∴CE＝BD＝20cm， 延长AC交GF于H， 由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF， ∴四边形CHFE是平行四边形， ∴CH＝EF＝50cm，HF＝CE＝20cm， 则AH＝AC+CH＝100cm，GH＝GF﹣HF＝60cm， ∵∠AGF＝90°， ∴， 即：椅子最高点A到地面GF的距离为80cm． 【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，理并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 10．如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可； （2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BE， ∴∠DAE＝∠E， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠E， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AE平分∠BAD； （2）解：由BE＝CD，AB＝CD， ∴△ABE为等腰三角形， ∴AB＝BE＝6， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC， ∵BC＝CE＝3， ∴AD＝CE， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴AF＝EF＝4， ∴BF⊥AE， ∵AB＝BE＝6， ∴BF2， ∵S△ABFAB•FGAF•BF， ∴FG． 故FG的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$