热点题型·专题06 几何作图（含尺规作图、无刻度作图）（9类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题06 几何作图（含尺规作图、无刻度作图） 目录 热点题型归纳 1 题型01 作角平分线 1 题型02 作四边形 9 题型03 作垂线（含高） 11 题型04 作中点、中线（含中位线） 15 题型05 作垂直平分线 20 题型06 作平行线 24 题型07 作弦 27 题型08 格点作图综合 32 题型09 无刻度直尺作图综合 42 中考练场 51 题型01 作角平分线 几何作图作角平分线是初中数学几何领域中极为重要的基础实践内容，它紧密关联几何图形性质，要求学生凭借特定工具与方法精准构建角平分线，借此深化对几何原理的理解与运用，在中考数学中分值占比大致处于 2% - 4%。 1.考查重点：着重考查学生对尺规作图及借助特殊几何图形性质作角平分线的核心原理的深度理解，能否严格依照规范流程，运用圆规、直尺等工具精确完成作图，并灵活运用角平分线的相关性质开展逻辑推理。 2.能力要求：学生需具备过硬的动手实操能力，熟练且精准地操控圆规与直尺完成尺规作图；拥有敏锐的图形洞察与分析能力，在无刻度作图情境下，快速挖掘图形隐含条件；同时，掌握扎实的逻辑推导能力，透彻理解作图原理并能将角平分线知识灵活融入解题过程。 【提分秘籍】 作已知角的角平分线． 具体步骤： ①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。 ②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。 ③连接OP，OP即为角的平分线。 【典例分析】 例1．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案． 【详解】A、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 故A选项是在作角平分线，不符合题意； B、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 故B选项是在作角平分线，不符合题意； C、如图， 由作图可知：， ∴,， ∴， ∴， ∴平分． 故C选项是在作角平分线，不符合题意； D、如图， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴ 故D选项不是在作角平分线，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①是尺规作图作角的平分线，故正确； ②作的是的垂直平分线，得到，故错误； ③作图可以得到平分，故正确； ④作图可以得到，故正确， 故选：C. 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的作法等知识点，读懂图象信息、灵活运用相关知识是解题的关键． ①由基本作图可知；②利用全等三角形的性质证明即可；③利用等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图①中，由作图可知平分， ∵， ∴； 如图②中，由作图可知， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由于， 则， ∴； 如图③中，由作图可知是等腰直角三角形，可以推出． 综上，①②③能得出； 故选：D． 3．（2024·浙江·模拟预测）尺规作图：如图，在中，，，，用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交边于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）并写出的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先作的平分线，交边于点，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再根据题意确定，易知在中，，进而可得，然后计算的长即可． 【详解】解：如图，即为所求； 过点作于点， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，点在边上，且． (1)尺规作图：作的平分线，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查尺规作图，矩形的性质，菱形的判定． （1）按照用尺规作角平分线的方法即可解答； （2）先证四边形是平行四边形，再加上即可证得． 【详解】（1）解：如图所示： （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 5．（2024·浙江杭州·一模）已知，请用无刻度的直尺与圆规按照要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图中作的角平分线． (2)如图，是内部一点，分别在边上作一点，连结，使得四边形是以直线为对称轴的轴对称图形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据角平分线的作图方法作图即可； （）连接，作线段的垂直平分线，分别交边于点，则有，，故可知四边形是以直线为对称轴的轴对称图形； 本题考查了作角分平分线，作线段的垂直平分线，掌握角平分线和线段垂直平分线的画法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 题型02 作四边形 几何作图作四边形是初中数学几何板块中提升学生综合几何素养与实践能力的重要内容，借助尺规等工具，依据四边形的判定定理和性质，通过确定顶点位置来构建满足特定条件的四边形，深化学生对四边形结构和性质的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据给定条件，如四边形的边、角关系（如平行四边形的对边平行且相等、菱形的四条边相等、矩形的四个角为直角等），熟练运用尺规作图方法准确作出四边形，理解四边形判定定理在作图过程中的运用原理，并能对所作四边形的性质进行简单推导。 【典例分析】 例1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形中，，，为对角线．    (1)证明：四边形是平行四边形． (2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论； （2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）如图，    四边形就是所求作的菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹． (1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形； (2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查尺规作图和菱形的判定： （1）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点E，F，即可求解； （2）连接矩形的对角线交于点O，连接，分别延长交矩形的对边于点G，再作的垂直平分线，分别交矩形的两边于点P，H，即可求解； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：如图，四边形即为所求． 题型03 作垂线（含高） 几何作图作垂线（含高）是初中数学几何板块里培养学生基础几何操作与理解图形性质能力的关键内容，通过尺规等工具，依据垂直的定义与性质，在各类几何图形中构建垂直关系，尤其在确定三角形等高线时发挥重要作用，加深学生对图形中垂直要素的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据尺规作图规则，针对给定直线、线段或几何图形（如三角形），准确作出垂线（或高），深刻理解垂线的基本性质（如过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）在作图过程中的运用，并能基于所作垂线进行简单的几何推理与计算。 【典例分析】 例1．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直． (2)在图2中画一条线段平分． 【答案】(1)图见解析，（答案不唯一） (2)图见解析，平分（答案不唯一） 【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得； （2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求，满足． （2）解：如图2，线段即为所求，满足平分． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形的性质是解题关键． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·一模）如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法． (1)在图1中的上画出的高线； (2)在图2中的上找出一点E，画线段，使与面积比为两部分； (3)在图3中的上找一点F，画，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而边上的高也是边的中线，所以找出的中点即为垂足，而中点利用矩形的对角线的交点即为中点，进而可作出高线； （2）在线段上截取，连接即可； （3）先判断出，利用格点找到T点，连接(使)交于点F，点F即为所求作． 【详解】（1）解：，， ， 是等腰三角形， 如图：即为所求； （2）解：在线段上截取，则， 与面积比即为． 如图：即为所求； （3）解：如图：点F即为所求．，，是公共角， ， 又， ． 【点睛】本题考查了作图−应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则是解题的关键． 题型04 作中点、中线（含中位线） 几何作图作中线（含中位线）是初中数学几何板块中培养学生几何操作技能与深化图形性质理解的重要内容，借助尺规工具，依据线段中点及三角形中位线的定义与性质，在三角形、四边形等图形中构建特殊线段，助力学生理解图形结构与数量关系，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定三角形或四边形，精准确定线段中点从而作出中线（三角形顶点与对边中点连线）与中位线（连接三角形两边中点的线段），深刻理解中线与中位线的性质（如三角形中线平分对边、三角形中位线平行且等于第三边一半）在作图及后续几何推理中的运用。 【典例分析】 例1．（2024·浙江台州·一模）尺规作图：如图，请用圆规和无刻度的直尺作出中斜边上的中线．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——线段垂直平分线，掌握相关尺规作图的作法是解题的关键．尺规作图作出线段的垂直平分线，与交于点O，连接即可． 【详解】解：如图，线段即为所求． 例2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． (1)求证：； (2)若⊙与相切，求的度数； (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)作图见详解 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明； （2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解； （3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵与相切， ∴， 又∵， ∴． （3）如下图，点就是所要作的的中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)如图1是的正方形网格，点，均在格点上，作线段的中点； (2)如图2，在，点为的中点，作边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形三条中线交于一点的性质． （1）取格点，连接交于点,可证明即可； （2）连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求，可用三角形的三条中线交于一点来解释． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 4． 2．（2024·浙江台州·三模）已知的直径弦于点E，E在半径上． (1)在图1中用尺规作出弧的中点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，连接，过点F作的切线，交的延长线于点G．求证：． (3)在（2）的条件下，若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理，作弦的垂直平分线即可； （2）连接，根据切线的性质及垂径定理可知，，，进而可证明结论； （3）连接，根据垂径定理得，根据勾股定理即可求得，，则，，由此可得，可得，，过点D作于点P，再证四边形是矩形，得，，由，可知，得，进而可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图，连接， ∵切于点F， ∴， 由（1）得点F是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵是直径，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∵是半径，， ∴， ∴，， 过点D作于点P， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂径定理，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 题型05 作垂直平分线 几何作图作垂直平分线是初中数学几何板块中锻炼学生几何操作与推理能力的基础内容，它通过尺规等工具，依据线段垂直平分线的性质，精准构建垂直且平分已知线段的直线，加深学生对线段性质及图形对称关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。​ 1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图的基本规则，以给定线段为对象，准确作出其垂直平分线，深刻理解垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在作图原理中的体现，并能运用该性质进行简单的几何推理。​ 2.高频题型：高频题型有给定一条线段，运用尺规作出其垂直平分线；在三角形、四边形等几何图形中，通过作出边的垂直平分线，确定图形的对称中心、外接圆圆心等关键要素；在实际问题情境，如确定道路中点位置、规划对称建筑布局等，抽象出作垂直平分线的需求并完成作图，进而解决相关问题。 【提分秘籍】 作已知线段的垂直平分线． 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．    (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）①如图：直线即为所求； ②如图，即为所求；   ； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江杭州·一模）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点（不写做法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点，    （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是关键． （1）按作线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）由等腰三角形的性质知，A点在线段的垂直平分线上，则，由垂直平分线的性质，则，由三角形外角的性质得． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线如下图所示； （2）解：； 理由如下： 是线段的垂直平分线， ，， ， A点在线段的垂直平分线上， ，， ， ； ， ， 由三角形外角的性质得． 题型06 作平行线 几何作图作平行线是初中数学几何板块中培养学生基本几何操作与空间观念的重要内容，通过尺规等工具，依据平行线的判定定理，在平面图形中构建平行关系，助力学生理解图形间的位置联系，在中考数学中分值占比约 2%-3%。 1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定直线及直线外一点，准确作出与已知直线平行的直线，深刻理解平行线判定定理（如同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行等）在作图过程中的运用，并能基于所作平行线进行简单的几何推理。 2.高频题型：高频题型有给定一条直线和直线外一点，运用尺规作出过该点与已知直线平行的直线；在三角形、四边形等几何图形中，根据已知条件作出满足特定条件的平行线，如在梯形中作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，用于求解图形的角度、边长、面积等问题；在实际问题情境，如道路规划、图案设计等，抽象出作平行线的需求，完成作图并解决相关几何问题。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，D为的中点． (1)用一把没有刻度的直尺和圆规，在上作出一点E，使（保留作图痕迹）． (2)若的周长为9，四边形的周长为17，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点D作一个角等于，先以点B为圆心，适当长度为半径画弧交于点G，以及交于一点，再以点D为圆心，同样长度为半径画弧，交于点H，以点G为圆心画弧，再以点H为圆心同样长度为半径画弧交于点F，连接并延长交于一点E，因为，所以； （2）先证明，得出，再设的长为x，结合周长的条件列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：上作出一点E，使，如图所示：    （2）解：由（1）得出 ∴ ∵D为的中点． ∴ ∴设的长为 则 ∵的周长为9，四边形的周长为17， ∴ ∴ 解得 ∴的长为4． 题型07 作弦 几何作图作圆是初中数学几何板块中培养学生对圆的概念理解与实践操作能力的关键内容，借助圆规等工具，依据圆的定义（平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形），在平面内构建圆形，加深学生对圆的性质及与其他几何图形关系的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生依据给定条件（如圆心位置与半径长度、圆经过的点、圆与其他图形的位置关系等），运用圆规精准作出圆，深刻理解圆的定义及相关性质（如圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，同圆半径相等）在作图过程中的运用，并能基于所作圆进行简单的几何推理。 2.高频题型：高频题型有已知圆心和半径，运用圆规作出圆；给定三点，作出经过这三点的圆（即三角形的外接圆）；在几何图形中，根据圆与直线相切、圆与圆相交等位置关系，作出满足条件的圆，用于解决角度计算、线段长度关系、图形面积求解等问题 【典例分析】 例1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)线段是定长，长度不发生变化，值为 (3)证明见解析 【分析】（1）以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，与交点为，则，分别以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，与交点为，即、点即为所求； （2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，； （3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；    （2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变； 如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，    ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段是定长，长度不发生变化，值为； （3）证明：如图3，延长、，交点为，          ∵， ∴点H为的中点， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式演练】 1．解答下列问题 (1)如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点． ①求证：； ②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值； (2)如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①过O作于H，根据垂径定理得到，，即可得出结论； ②连接，首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后结合即可求出的值； （2）连接并延长至Q使，以Q为圆心为半径画弧交圆O于点A，连接并延长交圆O于另一点B，则弦即为所求． 【详解】（1）解：①证明：过O作于H，如图1所示： ∵， ∴，， ∴， ∴； ②解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴； （2）解：如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键． 题型08 格点作图综合 几何作图格点作图综合是初中数学几何板块里提升学生综合几何素养与创新思维的特色内容，依托网格这一特殊背景，借助格点间的距离关系与几何图形性质，运用直尺等工具完成各类几何图形的构建，加深学生对几何图形结构及数量关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-3%。 1.考查重点：重点考查学生利用格点间的特殊距离（如水平、垂直方向格点间距为单位长度，借助勾股定理确定斜向格点间距离），依据几何图形性质（如三角形三边关系、平行四边形对边平行且相等），在网格中精准作出满足条件的几何图形，并能对图形的性质及相关数量关系进行推理与计算。 2.高频题型：高频题型有在给定网格中，根据线段长度、角度要求作出特定三角形；以格点为顶点构建平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形；利用格点作圆，如确定圆心在格点上且半径符合要求的圆；在网格情境下，结合图形变换（平移、旋转、对称），作出变换后的图形，并解决相关角度、线段长度、图形面积等问题。 【典例分析】 例1．（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； (2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形． （2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可． 【详解】（1） 如图， ， ， 即为所求； （2） 如图，A点为的中点，B点为的中点， ∴是的中位线， ∴即为所求． 例2．（2024·浙江嘉兴·三模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定等知识，根据图中的信息求的长作于之平行且相等的线段和求的长构造等腰三角形是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）有图可知，构造等腰三角形，根据三线合一可得的平分线． 【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形． 理由：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． （2）解：如图所示，即为所求的角平分线． 理由：如图，根据勾股定理可得：， 延长到，使得，连接， 由图可得：是中点， 在等腰三角形中，由三线合一可得： 平分， 即为的平分线． 例3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在内寻找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． （2）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解； 【详解】（1）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上， ， 则点即为所求． （2）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点， 则， ， 则点即为所求； 例4．（2024·浙江金华·二模）如图，在的网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E； (2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）取格点E，连接，，则，可证四边形是平行四边形，则过中点D，故点B、E关于点D成中心对称，即可求解； （2）先利用平移的性质作出，取格点M，N，连接，，交于即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求，    理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分， ∵网格横线互相平行， ∴，即D是中点， ∴D也是中点， ∴B、E关于点D成中心对称； （2）解：如图，线段，点即为所求，          理由：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，而， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，B关于对称． 【点睛】本题考查了格点作图，平行四边形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例等知识，明确题意，利用网格的特征构造平行四边形，全等三角形是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·一模）在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中，作线段，使得，且在格点上； (2)在图2中，作线段，使得平分，且在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的判定画出图形； （2）取格点E，构造平行四边形，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，线段即为所求． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平分． 【点睛】本题考查网格作图，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 2．（2024·浙江宁波·一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．    (1)在图1中画出一个以为边的，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质及平行四边形的性质作图； （2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图． 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （2）如图所示，菱形即为所求；    3．（2024·浙江·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在线段上找一点，使得． (2)如图2，在三角形内寻找格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解； （2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点， 则， ， 则点即为所求； （2）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上， ， 则点即为所求． 4．（2024·浙江温州·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） (1)请在图1中画出的高． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求； （2）取格点，连接交于，点就是所求的点． 【详解】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图： 由图可知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴为中点， ∴， ∴为的高． （2）解：取格点，连接交于，如图： 由图可得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点就是所求的点． 题型09 无刻度直尺作图综合 几何作图无刻度直尺作图综合是初中数学几何板块中着重培养学生深度理解图形性质与灵活运用几何原理能力的关键内容。它仅借助无刻度直尺，依托各类几何图形（如三角形、四边形、圆等）本身所具有的性质，通过巧妙连接、延长线段等操作完成复杂几何构图，促使学生对图形内在联系有更深刻认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐洞察几何图形中隐含的特殊性质（如等腰三角形三线合一、平行四边形对角线互相平分、圆的直径所对圆周角为直角等），并利用无刻度直尺，基于这些性质在给定图形中精准构建出所需的几何元素（如角平分线、中线、垂线等），同时能够运用所构建图形进行简单的推理和相关数量关系的计算。 2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，利用无刻度直尺作出指定边上的中线、高或角平分线；在平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形中，借助图形性质，通过无刻度直尺作出对角线交点、对称轴等关键元素；在圆中，运用圆周角定理等性质，使用无刻度直尺确定圆心位置、作出圆的切线等；在复杂图形组合中，结合多种图形性质，利用无刻度直尺完成特定图形的构造，进而解决角度、线段长度、图形面积等相关问题。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 例2．（2024·浙江温州·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． (1)在图1中作点Q，使得； (2)在图2线段上作点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的性质合理添加辅助线是解题关键． （1）根据矩形的性质“对角线互相平分”，取矩形对角线交点即可； （2）根据相似三角形的性质“相似三角形对应角相等，对应边成比例”，作图即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点，则点即为所求； 四边形由3个的网格组成的矩形，点是对角线，的交点， ， 点即为所求的点． （2）解：如图2，连接，交于点，则，点即为所求； ， ，， ， ， ，， ， 点即为所求的点． 例3．（2024·浙江台州·二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查用无刻度直尺作图，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质． （1）连接交于，由四边形为矩形，是其对角线的交点，则点即为所求； （2）连接交于点，由得，故，即，所以点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接交于，则点即为所求， 四边形为矩形，是其对角线的交点 ； （2）如图，连接交于点，则点即为所求， ． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 2．（2024·浙江宁波·三模）如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图： (1)在图1中，找到一格点，使与全等； (2)在图2中，在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）构造平行四边形即可； （2）取格点，，连接交于点，连接即可（利用相似三角形的性质,证明:）． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 3．（2023·浙江衢州·二模）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：    (1)在图1中作的中线． (2)在图2中找一格点，连接，使与互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，连接与交点即为中点D，连接即可； （2）如图，过点A作，则点E即为所作． 【详解】（1）如图，点D即为所作，    （2）如图，点E即为所作， 【点睛】本题考查限定工具作图，掌握矩形的对角线互相平分和两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 4．（2024·浙江·二模）如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）． (1)找出的外接圆的圆心，并求的长． (2)在圆上找点，使得． 【答案】(1)图形见解析，； (2)见解析． 【分析】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质， （1）根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点即可找到圆心； （2）作直线平行，交圆于点D和E，得到等腰梯形，从而得到，再根据，即可得到点D即所求点． 【详解】（1）解：如图点就是所求作的圆心， ∵半径，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作直线平行，交圆于点D和E， 得到等腰梯形 可得， 从而． 一、单选题 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图，根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A.如图， 由作图可知，，， 又∵ ∴ ∴， ∴平分, 故选项A是在作角平分线，不符合题意； B.如图， 由作图得， ∴ ∴ ∴ ∴平分 故选项B是在作角平分线，不符合题意； C.如图， 由作图知，点是R的中点， ∴ ∴, ∴平分 故选项C是在作角平分线，不符合题意； D.如图， 由作图知，与不一定相等， ∴与不全等， ∴ ∴不平分， ∴不是的平分线， 故选：D． 2．（2024·浙江金华·二模）根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的作法以及全等三角形的判定和性质逐一进行判断即可． 【详解】图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，根据基本作图可得是的中点，不能判断平分； 在图③中， 根据作图可得，是半圆的直径， ∴ ∴平分； 图④根据作法可知： ，， 在和中，， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， 所以点到和的距离相等， 平分； 综上，只有图②不能判定平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 3．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图−作一个角等于已知角；尺规作图−作角的平分线；尺规作图−垂直平分线，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于B，此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，符合题意； 对于C，以P为圆心为半径，交于点C、交延长线于点D，此时，再分别以C和D为圆心作出角平分线， 故，易得，即同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于D，以C为圆心，为半径作弧交于点D，即有，再分别以D和P为圆心作出线段的垂直平分线交弧于点G，易得，但无法证明此时，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意 故选：D． 4．（2024·江苏南通·一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题． 根据线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可． 【详解】解：由做图可知垂直平分线段， 得，， ， ， ， ， 是的中位线，， 故选项B正确，不符合题意； ， 故选项A正确，不符合题意； ，， ，， ， ， 故选项D正确，不符合题意； 只有当时，， 故选项C错误，符合题意． 故选：C． 5．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定． 【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结， ∴， 由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段， 故D正确； ∵无法确定和的关系， ∴A和D无法确定； 只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定； 故选D． 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线及其性质，勾股定理及逆定理的应用，由作图可得，垂直平分，则有，通过得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设交于点，设的面积为，根据作图可知：垂直平分，再根据是的角平分线，证明四边形是菱形，得，，继而得到，，，由相似三角形的判定和性质得，，得到，，再计算，可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设的面积为， 根据作图可知：垂直平分， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C．    【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．掌握基本作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 【答案】64 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】 由作法得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：64． 9．（2024·浙江湖州·二模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的作图与含义，三角形的外角的性质，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 10．（2024·浙江湖州·一模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点F，G；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点I；连接并延长，交于点M，交于点P，连接，若N为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质得到，，由作图知，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由作图知， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中点等于斜边的一半，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．先根据三角形的内角和求出，再根据角平分线的性质及外角定理求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：平分， ， ， 故答案为：． 三、解答题 12．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，根据作角平分线的方法作图即可．熟练掌握各种尺规作图的方法是解题关键． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交点，即为所求． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得 【答案】见解析 【分析】本题考查格点作图题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定和性质解决问题即可． 【详解】解：如图，即为所求， 14．（2024·浙江宁波·一模）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的各个顶点都在格点上．    (1)在边上作一点，使得的面积是，并求出的值； (2)作出边上的高，并求出高的长． （说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹） 【答案】(1)画图见解析，； (2)见解析，． 【分析】（）根据网格特征作即可； （）根据网格特征作即可， 本题考查了无刻度尺的直尺作图—作垂线，熟练掌握无刻度尺的直尺作图的方法是解题的关键． 【详解】（1）如图，    由网格的特征可知：， ∴， ∴， ∴面积为， ∴即为所求； （2）如图，根据网格作垂线的方法即可，    ∴即为所求， 由网格的特征可知：， ∴， ∴． 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．    (1)求的长． (2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)． (3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，涉及线段垂直平分线的作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及求反比例函数的解析式等知识； （1）根据直线解析式求出点、坐标，利用勾股定理求出长，即可； （2）根据题意作出线段的垂直平分线即可； （3）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值． 【详解】（1）解：由题意可知，是等腰直角三角形， ， 在直线中，当时，；当时，， ，， （2），，右侧有一条直线到的距离为． 作线段的垂直平分线即可，如图示：    （3）如图，作轴，垂足为，    在和中， ， ， ，， ， 根据（2）作图可知，直线， 点为线段的中点， ， ， 点在双曲线图象上， ． 16．（2024·浙江台州·二模）尺规作图：如图，点是直线外一点，点是直线上一点，请用圆规和无刻度的直尺在直线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，过点作于即可，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 【详解】解：如图所示，点即为所求，   ． 17．（2024·浙江温州·二模）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，射线．    (1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，连接，结合等边三角形的性质以及全等三角形的判定可得，则，则线段即为所求． （2）由（1）得．结合平行线的性质可得，进而可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求．    由作图可知：． ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 则， 则线段即为所求． （2）解：如图，    由（1）得． ∵， ∴， ∴ ． 在等边中， ． ∴， ∴． 18．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据作角平分线作法画图即可； （2）由平行四边形性质可得，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， 平分平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； （2）取格点，满足，则即为所求， 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； 理由：∵， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． （2）解：如图，格点即为所求， 理由：连接并延长，为上点， ∵， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键． 20．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1.点，，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示. (1)在图（1）中，画一个格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，使；并在上画一个点，使得四边形的面积为； (2)在图（2）中，若点是上任一点，画出将线段绕点逆时针旋转后得到的线段 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）在点的右侧，确定一点，使得，即可求解；通过构建菱形使得，构建平行四边形使得，即可求解；菱形的对角线与的交点即为点； （2）取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图： 作法：取格点，连接、，使得；取格点，使得，取格点，连接、，使得，连接、，交点为，取格点，使得，取格点，使得，连接与交点即为点；与交点． 理由：取格点，连接、，使得；取格点，使得，取格点，连接、，使得，连接、，交点为，取格点，使得，取格点，使得，连接与交点即为点；与交点． ∵，， ∴四边形为平行四边形． 在中，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，过点作， 则， 则， ， 则四边形的面积为． （2）解：如图： 作法：取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，即为所求； 理由如下：取格点、，连接，使得，，取格点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点， ∵，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点是的中点， 即垂直平分， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 即线段绕点逆时针旋转后得到的线段， ∵， 故线段绕点逆时针旋转后得到的线段． 【点睛】本题考查了无刻度直尺在网格中的作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何作图（含尺规作图、无刻度作图） 目录 热点题型归纳 1 题型01 作角平分线 1 题型02 作四边形 4 题型03 作垂线（含高） 5 题型04 作中点、中线（含中位线） 6 题型05 作垂直平分线 8 题型06 作平行线 9 题型07 作弦 10 题型08 格点作图综合 12 题型09 无刻度直尺作图综合 15 中考练场 18 题型01 作角平分线 几何作图作角平分线是初中数学几何领域中极为重要的基础实践内容，它紧密关联几何图形性质，要求学生凭借特定工具与方法精准构建角平分线，借此深化对几何原理的理解与运用，在中考数学中分值占比大致处于 2% - 4%。 1.考查重点：着重考查学生对尺规作图及借助特殊几何图形性质作角平分线的核心原理的深度理解，能否严格依照规范流程，运用圆规、直尺等工具精确完成作图，并灵活运用角平分线的相关性质开展逻辑推理。 2.能力要求：学生需具备过硬的动手实操能力，熟练且精准地操控圆规与直尺完成尺规作图；拥有敏锐的图形洞察与分析能力，在无刻度作图情境下，快速挖掘图形隐含条件；同时，掌握扎实的逻辑推导能力，透彻理解作图原理并能将角平分线知识灵活融入解题过程。 【提分秘籍】 作已知角的角平分线． 具体步骤： ①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。 ②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。 ③连接OP，OP即为角的平分线。 【典例分析】 例1．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式演练】 1．（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 3．（2024·浙江·模拟预测）尺规作图：如图，在中，，，，用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交边于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）并写出的长． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，点在边上，且． (1)尺规作图：作的平分线，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． 5．（2024·浙江杭州·一模）已知，请用无刻度的直尺与圆规按照要求作图（保留作图痕迹）： (1)在图中作的角平分线． (2)如图，是内部一点，分别在边上作一点，连结，使得四边形是以直线为对称轴的轴对称图形． 题型02 作四边形 几何作图作四边形是初中数学几何板块中提升学生综合几何素养与实践能力的重要内容，借助尺规等工具，依据四边形的判定定理和性质，通过确定顶点位置来构建满足特定条件的四边形，深化学生对四边形结构和性质的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据给定条件，如四边形的边、角关系（如平行四边形的对边平行且相等、菱形的四条边相等、矩形的四个角为直角等），熟练运用尺规作图方法准确作出四边形，理解四边形判定定理在作图过程中的运用原理，并能对所作四边形的性质进行简单推导。 【典例分析】 例1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形中，，，为对角线．    (1)证明：四边形是平行四边形． (2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·三模）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹． (1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形； (2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形． 题型03 作垂线（含高） 几何作图作垂线（含高）是初中数学几何板块里培养学生基础几何操作与理解图形性质能力的关键内容，通过尺规等工具，依据垂直的定义与性质，在各类几何图形中构建垂直关系，尤其在确定三角形等高线时发挥重要作用，加深学生对图形中垂直要素的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据尺规作图规则，针对给定直线、线段或几何图形（如三角形），准确作出垂线（或高），深刻理解垂线的基本性质（如过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）在作图过程中的运用，并能基于所作垂线进行简单的几何推理与计算。 【典例分析】 例1．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论． (1)在图1中画一条线段垂直． (2)在图2中画一条线段平分． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式演练】 1．（2023·浙江金华·一模）如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法． (1)在图1中的上画出的高线； (2)在图2中的上找出一点E，画线段，使与面积比为两部分； (3)在图3中的上找一点F，画，使得． 题型04 作中点、中线（含中位线） 几何作图作中线（含中位线）是初中数学几何板块中培养学生几何操作技能与深化图形性质理解的重要内容，借助尺规工具，依据线段中点及三角形中位线的定义与性质，在三角形、四边形等图形中构建特殊线段，助力学生理解图形结构与数量关系，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定三角形或四边形，精准确定线段中点从而作出中线（三角形顶点与对边中点连线）与中位线（连接三角形两边中点的线段），深刻理解中线与中位线的性质（如三角形中线平分对边、三角形中位线平行且等于第三边一半）在作图及后续几何推理中的运用。 【典例分析】 例1．（2024·浙江台州·一模）尺规作图：如图，请用圆规和无刻度的直尺作出中斜边上的中线．（保留作图痕迹，不要求写作法） 例2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． (1)求证：； (2)若⊙与相切，求的度数； (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式演练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)如图1是的正方形网格，点，均在格点上，作线段的中点； (2)如图2，在，点为的中点，作边的中点． 4．2．（2024·浙江台州·三模）已知的直径弦于点E，E在半径上． (1)在图1中用尺规作出弧的中点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，连接，过点F作的切线，交的延长线于点G．求证：． (3)在（2）的条件下，若的半径为5，，求的长． 题型05 作垂直平分线 几何作图作垂直平分线是初中数学几何板块中锻炼学生几何操作与推理能力的基础内容，它通过尺规等工具，依据线段垂直平分线的性质，精准构建垂直且平分已知线段的直线，加深学生对线段性质及图形对称关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。​ 1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图的基本规则，以给定线段为对象，准确作出其垂直平分线，深刻理解垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在作图原理中的体现，并能运用该性质进行简单的几何推理。​ 2.高频题型：高频题型有给定一条线段，运用尺规作出其垂直平分线；在三角形、四边形等几何图形中，通过作出边的垂直平分线，确定图形的对称中心、外接圆圆心等关键要素；在实际问题情境，如确定道路中点位置、规划对称建筑布局等，抽象出作垂直平分线的需求并完成作图，进而解决相关问题。 【提分秘籍】 作已知线段的垂直平分线． 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．    (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【变式演练】 1．（2023·浙江杭州·一模）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点（不写做法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的度数． 2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 题型06 作平行线 几何作图作平行线是初中数学几何板块中培养学生基本几何操作与空间观念的重要内容，通过尺规等工具，依据平行线的判定定理，在平面图形中构建平行关系，助力学生理解图形间的位置联系，在中考数学中分值占比约 2%-3%。 1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定直线及直线外一点，准确作出与已知直线平行的直线，深刻理解平行线判定定理（如同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行等）在作图过程中的运用，并能基于所作平行线进行简单的几何推理。 2.高频题型：高频题型有给定一条直线和直线外一点，运用尺规作出过该点与已知直线平行的直线；在三角形、四边形等几何图形中，根据已知条件作出满足特定条件的平行线，如在梯形中作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，用于求解图形的角度、边长、面积等问题；在实际问题情境，如道路规划、图案设计等，抽象出作平行线的需求，完成作图并解决相关几何问题。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【变式演练】 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，D为的中点． (1)用一把没有刻度的直尺和圆规，在上作出一点E，使（保留作图痕迹）． (2)若的周长为9，四边形的周长为17，求的长． 题型07 作弦 几何作图作圆是初中数学几何板块中培养学生对圆的概念理解与实践操作能力的关键内容，借助圆规等工具，依据圆的定义（平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形），在平面内构建圆形，加深学生对圆的性质及与其他几何图形关系的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生依据给定条件（如圆心位置与半径长度、圆经过的点、圆与其他图形的位置关系等），运用圆规精准作出圆，深刻理解圆的定义及相关性质（如圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，同圆半径相等）在作图过程中的运用，并能基于所作圆进行简单的几何推理。 2.高频题型：高频题型有已知圆心和半径，运用圆规作出圆；给定三点，作出经过这三点的圆（即三角形的外接圆）；在几何图形中，根据圆与直线相切、圆与圆相交等位置关系，作出满足条件的圆，用于解决角度计算、线段长度关系、图形面积求解等问题 【典例分析】 例1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 【变式演练】 1．解答下列问题 (1)如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点． ①求证：； ②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值； (2)如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型08 格点作图综合 几何作图格点作图综合是初中数学几何板块里提升学生综合几何素养与创新思维的特色内容，依托网格这一特殊背景，借助格点间的距离关系与几何图形性质，运用直尺等工具完成各类几何图形的构建，加深学生对几何图形结构及数量关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-3%。 1.考查重点：重点考查学生利用格点间的特殊距离（如水平、垂直方向格点间距为单位长度，借助勾股定理确定斜向格点间距离），依据几何图形性质（如三角形三边关系、平行四边形对边平行且相等），在网格中精准作出满足条件的几何图形，并能对图形的性质及相关数量关系进行推理与计算。 2.高频题型：高频题型有在给定网格中，根据线段长度、角度要求作出特定三角形；以格点为顶点构建平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形；利用格点作圆，如确定圆心在格点上且半径符合要求的圆；在网格情境下，结合图形变换（平移、旋转、对称），作出变换后的图形，并解决相关角度、线段长度、图形面积等问题。 【典例分析】 例1．（2024·浙江温州·三模）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； (2)在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 例2．（2024·浙江嘉兴·三模）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作出的平分线． 例3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在内寻找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 例4．（2024·浙江金华·二模）如图，在的网格中，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)图1中，点D是边与网格线的交点，将点B绕点D旋转得到点E，画出点E； (2)图2中，将边向右平移4个单位得到线段，，画出线段，再画出点B关于直线的对称点． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·一模）在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中，作线段，使得，且在格点上； (2)在图2中，作线段，使得平分，且在格点上． 2．（2024·浙江宁波·一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．    (1)在图1中画出一个以为边的，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 3．（2024·浙江·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在线段上找一点，使得． (2)如图2，在三角形内寻找格点，使得． 4．（2024·浙江温州·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） (1)请在图1中画出的高． (2)请在图2中在线段上找一点E，使． 题型09 无刻度直尺作图综合 几何作图无刻度直尺作图综合是初中数学几何板块中着重培养学生深度理解图形性质与灵活运用几何原理能力的关键内容。它仅借助无刻度直尺，依托各类几何图形（如三角形、四边形、圆等）本身所具有的性质，通过巧妙连接、延长线段等操作完成复杂几何构图，促使学生对图形内在联系有更深刻认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。 1.考查重点：重点考查学生能否敏锐洞察几何图形中隐含的特殊性质（如等腰三角形三线合一、平行四边形对角线互相平分、圆的直径所对圆周角为直角等），并利用无刻度直尺，基于这些性质在给定图形中精准构建出所需的几何元素（如角平分线、中线、垂线等），同时能够运用所构建图形进行简单的推理和相关数量关系的计算。 2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，利用无刻度直尺作出指定边上的中线、高或角平分线；在平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形中，借助图形性质，通过无刻度直尺作出对角线交点、对称轴等关键元素；在圆中，运用圆周角定理等性质，使用无刻度直尺确定圆心位置、作出圆的切线等；在复杂图形组合中，结合多种图形性质，利用无刻度直尺完成特定图形的构造，进而解决角度、线段长度、图形面积等相关问题。 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 例2．（2024·浙江温州·一模）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． (1)在图1中作点Q，使得； (2)在图2线段上作点P，使得． 例3．（2024·浙江台州·二模）如图是边长为1的小正方形构成的8×6的网格，的顶点均在格点上． (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点，使得 ． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 2．（2024·浙江宁波·三模）如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图： (1)在图1中，找到一格点，使与全等； (2)在图2中，在上找一点，使得． 3．（2023·浙江衢州·二模）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：    (1)在图1中作的中线． (2)在图2中找一格点，连接，使与互补． 4．（2024·浙江·二模）如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）． (1)找出的外接圆的圆心，并求的长． (2)在圆上找点，使得． 一、单选题 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·二模）根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（    ） A． B． C．9 D．10 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的角平分线，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交，于点，，连结，．设的面积为，四边形的面积为．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 9．（2024·浙江湖州·二模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度． 10．（2024·浙江湖州·一模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点F，G；以点A为圆心，长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点I；连接并延长，交于点M，交于点P，连接，若N为的中点，连接，则的长为 ． 11．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，进行如下操作：①以点B 为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点E、F；② 分别以点E、F 为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点 M；③ 作射线交于点D，则的度数为 ．    三、解答题 12．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，与交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得 14．（2024·浙江宁波·一模）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的各个顶点都在格点上．    (1)在边上作一点，使得的面积是，并求出的值； (2)作出边上的高，并求出高的长． （说明：只能使用没有刻度尺的直尺进行作图，并保留画图痕迹） 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，，两点分别落在轴和轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线到的距离为．    (1)求的长． (2)用尺规作出直线(保留作图痕迹，不写作法)． (3)若直线与边交于点，双曲线经过点，求出的值． 16．（2024·浙江台州·二模）尺规作图：如图，点是直线外一点，点是直线上一点，请用圆规和无刻度的直尺在直线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）    17．（2024·浙江温州·二模）如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，射线．    (1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数． 18．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 19．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 20．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图是在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1.点，，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，结果用实线表示. (1)在图（1）中，画一个格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，使；并在上画一个点，使得四边形的面积为； (2)在图（2）中，若点是上任一点，画出将线段绕点逆时针旋转后得到的线段 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$