专题09 一次函数与几何压轴汇编（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题09 一次函数与几何压轴汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：一函数中面积问题】 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7：一次函数与将军饮马问题】 【题型8：一次函数中角度问题】 【题型1 一函数中面积问题】 1．如图，直线分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P运动到什么位置时，的面积为？请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积． 4．如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 3．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)连接，试求的面积． (3)若点是直线上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【题型3 一次函数中直角三角形的存在性问题】 1．如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 4．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点. (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)若点在轴上，且是直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．    (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上有一点P，且是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 3．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． (1)若，求点P的坐标． (2)若点E是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 4．如图1，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，且． (1)分别求出两个一次函数的关系式； (2)如图2，过点作平行于轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点C的坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，在x轴上是否存在一点，使以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 4．如图，直线与直线交于点与轴交于点与轴交于点． (1)求点B和点C的坐标； (2)P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)点M是y轴上一点，点N是直线上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 1．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于12时，请求出点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标． (2)求直线的解析式． (3)当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． (1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 5．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 6．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于D、E两点，点M是线段上的一个动点．    (1)求证：； (2)点M坐标为，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【题型7 一次函数与将军饮马问题】 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． (1)求m的值和直线的表达式； (2)点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 3．如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． (1)求直线对应的表达式； (2)若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 4．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【题型8 一次函数中角度问题】 1．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 5．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． (1)求线段的中点坐标； (2)若点M是直线上的一点，连接，若，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 8．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 9．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 11．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 12．如图，四边形是正方形，点E在上，连接，于点F．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象经过点D，E． (1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标； (2)连接，判断与的数量关系，并给予证明； (3)连接，点G在直线上，若，求点G的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数与几何压轴汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：一函数中面积问题】 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7：一次函数与将军饮马问题】 【题型8：一次函数中角度问题】 【题型1 一函数中面积问题】 1．如图，直线分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P运动到什么位置时，的面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)点P运动到点，的面积为，见解析 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质与函数图象上的点的特征是解题的关键， （1）将点代入，即可得到答案； （2）设点P坐标为，根据的面积为，可求得，由于点P在一次函数上，代入求出，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 解得． （2）解：∵点A的坐标为， ∴， 设当点P运动到点，即点P坐标为时，其面积， 即． 解得， 即或（舍去）， ∴， 解得． 故点P运动到点，的面积为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) ； (2) ； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、用待定系数法求一次函数解析式． 把点的坐标代入直线的解析式，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 把点、的坐标代入，可得关于、的方程组，解方程组求出、的值，即可得到直线的解析式； 根据三角形的面积公式可得：，当时，可得，解方程求出的值即为点的横坐标，从而可得，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， ； （2）解：由可知点的坐标为， 把点和点的坐标代入直线， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：如下图所示，过点作轴， 则的面积为， 解得：， 当时，可得， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， ， 解得：或， 点的坐标为或． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积是或； 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形． （1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； （2）先设点，可表示，，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 将点和点代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线的关系式； （2）解：设，则，， ∴． ∵， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是或． 4．如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）利用勾股定理求出线段的长度，设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程解方程求出的值，即可得到点的坐标； （3）由（2）可知的长度，从而可得的面积，根据可得，根据相等关系可以求出的长度，然后再分点在点右侧和点左侧两种情况求解． 【详解】（1）解：，， ，， 设的解析式为， 将点、的坐标代入，得：， 解得：， 则直线的解析式为； （2）解：在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质可知：，，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为； （3）解：如图（1）所示：过点作，垂足为，   ， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标， 将代入得：． 解得：． 点的坐标为； 如图（2）所示：过点作，垂足为，   由可知：， 点的纵坐标， 将代入， 得到：． 解得：， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、求一次函数解析式、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再综合利用矩形的性质和一次函数的解析式确定点的坐标． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出k的值即可； （2）设，根据勾股定理可以求出m的值，即可得到的面积； （3）分两种情况分别求出P点坐标，即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由题意得， ∴可分两种情况考虑， 如图所示．当时， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为． 综上所述：在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． 2．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)连接，试求的面积． (3)若点是直线上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理与等腰三角形的定义． （1）首先利用待定系数法求出点坐标，然后再根据、两点坐标求出直线的解析式； （2）首先根据两个函数解析式计算出、两点坐标，然后利用求解即可; （3）设，根据勾股定理分别求得，根据等腰三角形的定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为经过点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵经过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图， 由得： 当时，， 解得：， 则 由， 当时， 解得， 则， ∴ ． （3）解：设， ∵， ∴，， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或， 综上所述，当为等腰三角形时，或或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标或 (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）先将代入，求出点的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，得出，设点，当点位于轴上方时，，当点位于轴下方时，，分别求得值，再代入解析式求得值，即可得到答案； （3）设点，得到，，，分情况讨论，当时，当时，分别列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ， 解得：， 点的坐标； 一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：，， 一次函数表达式为． （2）解：一次函数的图象上存在点，使得； 理由如下： 对于一次函数，令，得：， 解得， 所以点， 所以， 设点， 当点位于轴上方时，， 解得：， 当点位于轴下方时，， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 故点的坐标或． （3）解：设点， 则， ， ， 当时，， 所以， 解得：或， 此时点的坐标为或； 当时，， 所以， 解得：， 此时点的坐标为； 综上分析可知：点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键． 【题型3 一次函数中直角三角形的存在性问题】 1．如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，且在点右侧，轴交直线于点，若，求点的坐标． (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由函数图像上的坐标特征可确定点的坐标，再根据点的坐标即可确定直线的函数表达式； （2）设，由轴得，，再结合点在点右侧则可得出答案； （3）由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，则此时点；②，由即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，得， ∴， ∵， ∴， 设， ∵轴，点在直线上，， ∴， ∴， 解得：或， ∵点在点右侧 ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 设点， ∵，， ∴，，， ∵是直角三角形， ①，则，； ②，则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合应用，考查了坐标与图形，函数图像上点的坐标特征，函数图像的交点坐标，勾股定理的应用，待定系数法，掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 3．已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 4．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标、和 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、等面积法和完全平方公式，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案； （2）根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，利用勾股定理和等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 设直线：，将、代入得 ，解得， 直线 的解析式； （2）解：存在， 根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，如图所示： 点的坐标是； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 综上所述，点的坐标、和． 5．如图，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点. (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)若点在轴上，且是直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)的面积为 (3)点坐标为或 【分析】（1）本题主要考查了一次函数图像上的点、求函数解析式等知识点，先根据一次函数解析式确定点D的坐标，然后运用待定系数法即可解答；掌握函数图像上的点满足解析式是解题的关键； （2）本题主要考查了函数图像上点、三角形的面积等知识点，先求出点A、C的坐标，进而求得的长，然后根据即可解答；掌握数形结合思想是解题的关键； （3）本题主要考查了坐标与图形、勾股定理等知识点，分、、为直角三种情况解答即可；掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，则点， 设直线的表达式为：， 将点，代入函数关系式中， 得， 解得， 则直线的函数关系式为. （2）解：令，则，即点， 由直线的表达式知，点； 由点A、的坐标得：， 则. （3）解：由题意得：不可能为直角； 如图，过点作轴于点，此时为直角，即. 当为直角时，设点，则，，， ∵， ∴， 解得：，即点的坐标为：． 综上，点坐标为：或． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．    (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 (3)存在，满足条件的点的坐标为或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是OB的中点， ∴， ∴． （2）∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）假设存在，设点P的坐标为， 因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析： ①若，此时点P与原点O重合，坐标为； ②若，则， ∵，，，； ∵，，， ∴， 解得，此时点的坐标为， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 7．如图，直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上有一点P，且是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标是 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据求解即可； （3）分情况讨论，当时，当时，当时，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴． ∵直线经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点A， 令，则， ∴． ∵一次函数的图象与x轴交于点B， 令，则， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）解：当时，    ∵，， ∴； 当时，    设， ∴， ∵，解得：， ∴； 当时，不符合题意； ∴符合条件的点P的坐标是或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，涉及到待定系数法求解析式、面积问题等，还考查了勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质， （1）先求出 解析式得到，将代入，求解即可； （2）先求出，得到，，则是等腰直角三角形，得到，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 当时，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：当时，，解得， ∴， ∴，， 当时，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 分以下两种情况： ①过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 在 中，令，则， ∴， 即此时是等腰直角三角形，； ②如图，取的中点N，过点N作x轴的垂线，交直线于点，由垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， 即此时是等腰直角三角形， 由N为的中点，易得， 在 中，令，则， ∴． 综上，直线上存在点M，使为等腰直角三角形，点M的坐标为或． 2．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． (1)若，求点P的坐标． (2)若点E是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】（1）先求得，；再联立两直线解析式求出交点C的坐标，然后由面积相等求出线段的长度，继而得出点P的坐标； （2）设点、点，当时，当点P在y轴右侧且点P在点E的左侧时，如图，过P作于N，过E作于M，当点P在点E的右侧时，如图∶当时，当点P在y轴左侧时，如图，再利用全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由， 当时，；当时，， ∴，； 联立，解得：， ∴C为． ∴． ∴，解得：． ∴或． （2）解：设点、点， 当时， 当点P在y轴右侧且在点E的左侧时，如图1， 过P作于N，过E作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 如图：当点P在点E的右侧时， 同理可得：，解得， ∴； 如图， 当时，当点P在y轴左侧时， 同理可得： ， 解得：， ∴点；   如图： 同理可得： ，解得：， ∴． 综上，E点坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形、等腰直角三角形的定义、全等三角形的判定与性质、二元一次方程组的应用等知识点，正确作出辅助线、构建几何图形、利用数形结合的方法是解题的关键． 4．如图1，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，且． (1)分别求出两个一次函数的关系式； (2)如图2，过点作平行于轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)能，或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，掌握待定系数法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）把代入得，，把分别代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分六种情形讨论；①若为直角，且点在第三象限时，过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，证明，得出，代入得出的坐标；②若为直角，且点在第一象限时，③若为直角，④若为直角，⑤若为直角，且点在轴左边时；⑥若为直角，且点在的右边时，根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质求得的坐标，结合图形取舍，即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， ， 解得： 把分别代入得： 解得 （2）①若为直角，且点在第三象限时，如图1： 过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点， 是以为腰的等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， 将代入得： ②若为直角，且点在第一象限时，如图2： 过点和点分别做轴平行线分别交轴于点和点，同理可证， 将代入得： ③若为直角，如图3， 过点做轴平行线分别交轴和直线于点和点， 同理可证， 设，则 将代入得： 解得 ④若为直角，且点在轴和之间时，如图4： 过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点， 若为等腰直角三角形，同理可证， 将代入得： 此时，点在直线的右边，故舍去． ⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5： 过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点， 若为等腰直角三角形，同理可证， 设点，则有，显然， 这与矛盾，故不存在． ⑥若为直角，且点在的右边时，如图6： 过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、， 若为等腰直角三角形，同理可证， 设点，则有，显然 这与矛盾，故不存在． 综上：或或 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质； （1）待定系数法求直线的解析式； （2）利用割补思想， 问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q在延长线上和点Q在延长线上； （3）利用分类讨论的思想，然后将等腰直角三角形转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，，， ∴．     ， ， ． ， ， ．     设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设 ， ∵， ∴，而 ①点在延长线上时，则， ，在轴上方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ；    ②点在延长线上时，则， ，在轴下方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设点， ①当时，如图，作于点，作于点． ． ，， ， 又 ， ． ， 解得或， 或．    ②当时，如图过点作，作于点，作于点． 同理可证：， ，． 设 ， 解得：或0或（舍） 或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）画出图形，分类讨论利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：①为平行四边形时，则， ∴； ②为平行四边形时，则， ∴， ③为平行四边形时， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P 而， ∴， 综上所述，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 3．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点C的坐标是． (1)求直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，在x轴上是否存在一点，使以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是一次函数中简单的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，平行四边形的性质； （1）设的解析式为，把代入计算即可； （2）分类讨论，画出图形，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）设的解析式为， 把代入得： 解得， 直线的解析式． （2）存在 如图1，当四边形为平行四边形， 且， ， 把代入得， 点， ∴ 点． 如图2，同理可得， 如图3，当四边形是平行四边形，作轴，， 轴垂足分别为，则， 由四边形是平行四边形可得，， ∴ ∴， ， 把代入得， ， ∴， ， 点， 综上所述，满足条件的点有3个，即． 4．如图，直线与直线交于点与轴交于点与轴交于点． (1)求点B和点C的坐标； (2)P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)点M是y轴上一点，点N是直线上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，平行四边形的判定和性质，面积的计算，一次函数与动点问题，用分类讨论的思想是题的关键． （1）将点A分别代入，，得出k，b，求出函数表达式，令，分别代入，即可得出答案； （2）分别表示出点P、Q的坐标，分，，时，利用计算即可； （3）表示出点M、N坐标，然后当AC与MN为对角线，AM与CN为对角线，AN与MC为对角线，分别求解即可． 【详解】（1）将代入得：， ， ， 当时，， ， 将代入得：， ， ， 当时，， ． （2）由题意得：点P的坐标是，点Q的坐标是 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：S与m之间的函数关系式或； （3）设点N的坐标为，点M的坐标为 ∵以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 当AC与MN为对角线时，， 得， 当AM与CN为对角线时，得， ， ， 当AN与MC为对角线时，得， ， 综上所述：、或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质： （1）先求出A、B坐标，进而根据面积为10求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 同理可知直线解析式为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 1．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于12时，请求出点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，， 【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可； （2）设点的横坐标为，分情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． （3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式， 直线与轴，轴分别交于、两点， ，， 直线经过点，与轴交于点， ， ， 直线的解析式：； （2）解：由题意可知，， 设点的横坐标为， 当点在第二象限时， 由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 当点在第一象限时，不存在，舍去， 当点在第四象限时， 由题意得， 解得， ， 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设将沿着轴平移个单位长度得到， ， ，， 设点坐标为， ①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况： 当时，即， 此时，即点在轴上，且， 点与点重合，即． 当时， ，， ， 解得， 此时，即点在轴上， 且， ． ②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称， 当向左一移动，，，， ， 解得或（舍）， 当向右移动时，，，， ， 解得（舍）或（舍）， ， ． 综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标． (2)求直线的解析式． (3)当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或； 【分析】（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可得点C的坐标； （2）根据D在上，求解，利用勾股定理建立方程，可得D点坐标，根据待定系数法，可得的函数解析式； （3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，进行讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，即， 解得， ∴， 即、． 设直线的解析式， 把A、B点的坐标代入函数解析式，得， 解得． 直线的解析式， 由点C是直线与直线的交点， 得， 解得， ∴C点的坐标是； （2）解：由点D在线段上，C点的坐标是 ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， 即D点坐标是； 设的函数解析式为， 把A、D点的坐标代入，得， 解得． ∴的函数解析式为； （3）解：过D作轴，由（2）中D，A的坐标可知，， ∴， ∵以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 若P在x轴上方，是菱形， 则，， 如图所示， 过P作轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 结合平移的性质可得：； 当是菱形，记对角线的交点为， ∴，，， 由可得， ∴， ∴； 如图，当四边形为菱形时， 此时，， ∴为与轴的交点， ∴，四边形是正方形， ∴； 当在轴下方，四边形为菱形时，则，．过P作轴， 如图所示， 同理可得：， ∴， 结合平移可得：， 综上：或或或； 【点睛】本题考查一次函数、利用了待定系数法求函数解析式、利用平方根的含义解方程，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论，数形结合的方法的运用是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． (1)点A的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； (3)点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质是解题的关键； （1）分别令和，然后代入进行求解即可； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论． 【详解】（1）解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴； 故答案为，； （2）解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，， 解得， 点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 若以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则分以下两种情况讨论： ①当为菱形的边时，则，且， 点是第一象限内的点， 点在点A右侧， 点的坐标为； ②当为菱形的对角线时，则，，且点在轴的负半轴上， 设点的坐标为，则，解得， 点的坐标为， ，即， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，4 (2)，四边形E的面积 (3)点N坐标为或或或 【分析】（1）当，，得：，将代入得，，将代入，得； （2）①由（1）知，，证明出四边形为平行四边形，设，，则，解得①当为菱形的边时，设，由，得，解得，，从而求解；②当，为菱形的边时，③当为菱形的对角线时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：当，， 解得：， 将代入得， ， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 故答案为：，，4； （2）解：由（1）知， ， ∵与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， 则， 解得，， ∴； ∴点P是的中点 ∴四边形的面积=， （3）解：分为菱形的边与为菱形的对角线两种情况： ①当为菱形的边时， 设， 由，得， 解得，， 当时，， ∵且， ∴； ⅱ）当时，， 此时； ②当，为菱形的边时， 由，得， 解得，，（舍去）， ∴， 此时； ③当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知垂直平分， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 综上，符合条件的点N有四个，分别是或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，平行四边形的判定及性质等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 5．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质与菱形的判定与性质，矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得的坐标是解决本题的关键． （1）根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， 点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点，将点代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点作轴于点， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 6．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于D、E两点，点M是线段上的一个动点．    (1)求证：； (2)点M坐标为，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）求出点D、E的坐标，即可得证； （2）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和菱形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形，点B的坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点， 对于，令，则，故点， ∴； 即； （2）解：∵， ∴ 如图，当为菱形的边长时，轴，， 故点Q的坐标为或；    如图，当是菱形的对角线时，轴于点F，， ∴；     如图，当是菱形对角线时，轴，， 设， ∵， ∴ ， 解得：， ∴Q；    综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，求一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型7 一次函数与将军饮马问题】 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点，直线：与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线与交于点． (1)求m的值和直线的表达式； (2)点G是x轴上的一个动点，连接，求的最小值和此时点G的坐标； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）把点代入求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G，则此时的值最小，求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，于是得到，根据勾股定理即可求解； （3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； （2）解：作点B关于x轴的对称点F，连接交x轴于G， 则此时的值最小， ∵， ∴， 同理，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故的最小值为； （3）解：存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， 当点P在y轴的右侧时，同理可得， 综上所述，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称-最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 2．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得：，解出可解答； （2）如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）如图③，过作轴于，设，根据勾股定理列方程得，求得，然后利用待定系数法求得的解析式为． 【详解】（1）解：如图①，由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 3．如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． (1)求直线对应的表达式； (2)若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，垂线段最短，面积法求三角形的高，是解题的关键． （1）代入求出a值，令求出，得，由得，把，代入即可求解； （2）连接，过点A作于点D，根据，得的最小值为长，求出，根据，得，即得． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴． ∴． ∴． ∵时，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点B和点C在直线：上， ∴． 解得． ∴求直线对应的表达式为：． （2）解：连接，过点A作于点D， ∵， ∴当点Q在上，且点P与点D重合时，， 此时取得最小值． ∵，， ∴． 4．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 【题型8 一次函数中角度问题】 1．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，或 【分析】（1）把代入，可得答案； （2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案； ②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为，可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：①过点作，垂足为点．   ． ， ． ． 点在直线上， ． 直线表达式为． 把代入中， 得 ． ． ． 在中，． ， ． 过作，垂足为点． ． ． 又平分， ． ， ． ． 在直线上，令，得， ， 设直线的函数表达式为． 把代入，得． 直线的表达式为． ②存在． 若点在射线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． ． ． 又， ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 点B坐标为 ． ． 点的坐标为． 若点在的延长线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． 同理． ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 3．新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和一次函数的性质， 过点B作轴于E，则，进一步证明，结合点坐标可知，，则，即可求得点B； 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，则，结合题意知，由（1）的模型可得，则，，即可知，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求得答案． 【详解】（1）解：如图2，过点B作轴于E， 则， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∵与轴，轴交于点， ∴， ∴， 由（1）的模型可得，则，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， ∴； 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 5．综合与实践 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据，，得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）勾股定理求出的长，折叠求出的长，设，根据勾股定理，可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 设，则， ∴． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形为正方形 ∴， ∴） ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则，， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为：， ∴直线解析式为：， 联立方程组，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 6．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）证明，则且，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，当时，； ∴， ∵，则，即点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则直线l2的表达式为：； （2）解：设点、点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或； （3）解：设点、点， 设直线交x轴于点， 过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则， 过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∴， 则且， 则，且， 解得：，则点， 将点P的坐标代入得：， 解得：． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． (1)求线段的中点坐标； (2)若点M是直线上的一点，连接，若，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【答案】(1)线段的中点坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为． 【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标； （2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． ，，， 线段的中点坐标为； （2）解：设， 当点在直线上方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 当点在直线下方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， 点的坐标为，， ， 解得， ， 由，得直线解析式为， 令，得，解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用． 8．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 9．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，关键是根据已知分类讨论求出所有可能的情况． （1）先求点的坐标，再把点的坐标代入求出的值； （2）由已知为腰，分或两种情况讨论求解； （3）分当在直线右侧和当在左侧两种情况讨论分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的最小值为 (3)或 【分析】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式． （2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值． （3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点． ∴令，得． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 代入点和点． 得． 解得：． ∴直线的解析式为． （2）解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点． ∵点和点． ∴． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，解得：． ∴点的坐标为． ∴，，即， ∴． ∵与的面积比为． ∴， 即， ∴点在的角平分线上， 在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点， 则， ∴， 在和中． ， ， ， 则． 解得：． ， 故的最小值为． （3）解：存在，理由： 若在轴正半轴， 如图，由图可知，作在轴上， ， 又∵， ， ， ，， ， 则， ， ； 若在轴负半轴，与（1）同理，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答． 11．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 12．如图，四边形是正方形，点E在上，连接，于点F．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象经过点D，E． (1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标； (2)连接，判断与的数量关系，并给予证明； (3)连接，点G在直线上，若，求点G的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）以点为原点，建立直角坐标系，设，则点D的坐标为，将点D的坐标代入，即可求解， （2）由，求出，由，得到，点M的坐标为，进而求出直线的表达式为，联立求出点F的坐标为，根据由勾股定理得，，即可求证， （3）分两种情况讨论：（i）当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得， 由，为等腰直角三角形，得到，作，，由，得到，，即可求解；（ii）当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则，此时点的坐标为，求出直线的直线表达式为，联立即可求解． 本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，两直线交点坐标，解题的关键是：熟练掌握分情况讨论． 【详解】（1）解：以点为原点，建立直角坐标系， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则点D的坐标为， 将点D的坐标代入，得， 解得， ∴点D的坐标为， （2）解：， 如图2，延长交于点M， ∵直线的表达式为， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， 联立 解得， ∴点F的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， （3）解：分两种情况讨论： （i）如图3，当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，延长交x轴于点P，过点G作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点G的纵坐标为， 当时，， ∴点G的坐标为， （ii）如图4，当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则 ，此时点的坐标为， 设直线的直线表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， ，解得， ∴点G的坐标为， 综上所述，点G的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$