专题10 一次函数实际应用汇编（四大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题10 一次函数实际应用汇编（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1：分配方案问题】 【题型2：最大利润问题】 【题型3：行程问题】 【题型4：情景问题】 【题型1：分配方案问题】 1．灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 2．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于x的函数解析式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； (3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 3．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 4．为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 5．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 6．从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)这15辆车中，大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A、B两村总费用为W元，试求出W与m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围． 7．鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同． (1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？ (2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？ 8．为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 9．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 10．A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 11．某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 12．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 13．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共10包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【题型2：最大利润问题】 14．武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 15．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 16．深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 17．某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 18．某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 19．根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 20．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 21．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高； 素材二：用18000元购买种书架的数量比用8000元购买种书架的数量多7个； 素材三：种书架数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求出两种书架的单价； (2)设购买种书架个，购买总费用为元，求与的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案． 22．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 23．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【题型3：行程问题】 24．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，如图所示，，分别表示小东、小明离B地的距离（）与所用时间（）的关系． (1)试求的函数表达式； (2)在什么时间范围内，两人至少相距？ 25．小明开车去某地旅游，在高速公路上以100千米/小时的速度匀速行驶．已知汽车出发前油箱有油，汽车每小时耗油约．当油箱的油少于时，汽车就会提醒加油．小明行驶了2小时后，在加油站加油至，油箱内剩余油量关于行驶时间的函数图象如图所示（加油时间忽略不计）． (1)小明在加油站加了多少升油？ (2)求图中所在直线的函数解析式； (3)小明加了油后，想在汽车提醒加油之前到达下一加油站，可供选择的有：加油站P，距离450千米；加油站Q，距离550千米．请通过计算帮小明选择下一加油站． 26．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)求货车的平均速度？ (2)轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ (3)若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ (4)轿车追上货车时，货车从甲地出发多少小时？ 27．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 28．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 29．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，学校与图书馆相距_________________米 (2)求A点坐标，并说出A点的实际意义． (3)求y与t的函数关系式． (4)当甲乙两人出发多少分钟时，两人之间的距离为300米． 30．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 31．已知两地相距4800米，甲从地出发步行到地，20分钟后乙从地出发骑自行车到地，设甲步行的时间为分钟，甲、乙两人离地的距离分别为米、米，，与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇． 32．无人快递车在部分城市道路上正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距米．甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，．图中，分别表示甲、乙两车离地的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数关系图象．    (1)直线的函数表达式为_____； (2)出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ (3)甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 33．某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行．甲机器人离点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表．乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离点）出发并保持前进的状态． 出发时间（单位：秒） 甲机器人离点距离（单位：米） (1)设甲、乙两机器人离点的距离分别为、，求它们与出发时间之间的函数关系式； (2)甲机器人出发时距离点多远？两机器人出发多长时间时相遇？ 34．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面长为160，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题. (1)小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______； (2)求图②中a的值及木块Q的运动速度； (3)小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式； (4)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，直接写出x的值. 35．周日，小明一家开车去外婆家，外婆家离小明家千米，途中在服务区加了油并适当休息了一段时间后，又以同样的速度继续行驶，图反映了汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系：图反映了油箱中的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系．请根据图象解答下列问题： (1)在服务区加油和休息共用时_______小时，加油量为_______升； (2)汽车的行驶速度是_______千米/时，每小时耗油_______升； (3)请直接写出行驶小时前与之间的表达式； (4)按这样的情况计算，求汽车从开始出发到抵达外婆家共用多少小时？汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下多少油？ 36．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程和时间的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值． (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【题型4：情景问题】 37．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． (1)A种机器人每小时搬运量为______． (2)求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 38．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 39．绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 40．根据以下素材，探索完成任务． 探索市场的供给量和需求量与价格之间的关系 在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 素 材 1 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，为商品价格．当商品价格上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． AIAI 素 材 2 根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格（单位：元）之间的关系可以看做是一次函数，其中与的几组对应数据如图2． 素材3 该商品的市场供给量  q 2  （单位：万件）与价格  p  （单位：元）之间的关系可看作是一次函数  q 2 = 7 p + 5  ． AI 问题解决 任务1 求出市场需求量q1与价格p的函数表达式. 任务2 试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格. 任务3 依据以上信息和函数图象分析，求出该商品供大于求时，价格p的取值范围. 41．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 42．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 3 5 7 9 11 在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是几点？ 43．我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高和指距成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度进行了身高与指距的关系进行如下探究： [观察测量] 数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 175 187 [探究发现] （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点． （2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：指距为 时，身高约为 ． （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是 ．（填写函数类型） [结论应用] （4）应用上述发现的规律推测： ①小婉的指距为，则她的身高约为 ． ②李老师的身高为，则他的指距约为 ． 44．高铁站候车大厅的饮水机（图1）有温水和开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度区间最接近人体体温． (1)若共接水，先接温水，求再接开水的时间； (2)若共接水，设接温水的时间为，水杯里水的温度为．求关于的函数关系式，及达到最佳水温时的取值范围． 45．杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同，称重时，秤钩所挂物重为（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （斤） （厘米） (1)根据表格数据，画出秤钩所挂物重为（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离（厘米）的图像，并据此图像回答两个变量是（   ）（填正确答案的序号）；      ①正比例函数关系；②一次函数关系；③无法判断． (2)请求出与的关系式； (3)小明用这杆秤秤一些土豆的重量，秤砣到秤纽的水平距离为25厘米，小明所成土豆重多少？ (4)秤杆有刻度一边到秤纽的最远距离是40厘米，小明买了一个西瓜，大约重15斤，能否一定能用这杆秤秤出这个西瓜的准确重量？ 46．综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式． 47． 生活中的数学：古代计时器——漏壶 问题情境 某小组同学根据漏壶的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时，圆柱容器中已有一部分液体． 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解答以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在图2中描点、连线． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到时，时间是多少？ 48．启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 (1)与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） (2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． (3)根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 49．小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象判断y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式；如果不是，请说明理由； (2)请观察图表，当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为______； (3)小林的身高最合适的挎带长度为，妈妈送的斜挎包的挎带长度能满足小林的身高要求吗？如果能满足，调节挎带长度使单层部分的长度为多少？如果不能满足，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数实际应用汇编（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1：分配方案问题】 【题型2：最大利润问题】 【题型3：行程问题】 【题型4：情景问题】 【题型1：分配方案问题】 1．灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 2．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于x的函数解析式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； (3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】(1) (2) (3)按方式一购买可以获得更多的茶叶 【分析】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键． （1）根据两种方式分别求出购买茶叶的总费用即可； （2）令求解即可； （3）令两种总费用为65000元，分别求出购买茶叶质量，再比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：当时，， 解得：， 若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为； （3）解：当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ， 按方式一购买可以获得更多的茶叶． 3．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 4．为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 5．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并能运用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的数量关系列代数式即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 6．从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)这15辆车中，大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A、B两村总费用为W元，试求出W与m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用7辆； (2)（且为整数） 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系． （1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解； （2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，根据表格所给运费，求出求出W与m的函数解析式，列不等式组求出m的取值范围即可； 【详解】（1）解：设大货车辆，小货车辆， 根据题意得：， 解得：， 大货车用8辆，小货车用7辆； （2）解：设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆， 根据题意得：， 与的函数解析式为， 由题意可得，且为整数， 解得且为整数， ∴（且为整数） 7．鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同． (1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？ (2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？ 【答案】(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元； (2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式． （1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，根据题意列出函数关系式，再由题意确定不等式得出，根据一次函数的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元； （2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元， 则， ∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的， ∴， 解得， ∵， ∴当时，w有最小值为， 此时， 答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元． 8．为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， (2)购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法分段求解即可； （2）购买乙型号足球a个，则购买甲型号足球个，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 把点代入得：，解得：． 当时，； 当时，设函数解析式为， 把点代入得：， 解得， 综上所述，当时，，当时，； （2）解：购买乙型号足球个，则购买甲型号足球个， ， ， 随的增大而减小， 当时，最小， 此时元， 个， 答：购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元． 9．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 【答案】(1) (2)①购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少    ② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果 千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； ②根据题意分为和两种情况列不等式解题即可． 【详解】（1）当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克 ∴， 当时, ， 当时. 元； 当时, ， 当时, 元， ∵ ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元此时乙种水果(千克)， 答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少． ②当时,， 解得，不符合题意； 当时，，解得：， ∴甲种水果购进量的取值范围为：． 10．A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 【答案】(1)，； (2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨；  B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨，然后根据题意写出与x之间的函数关系式； （2）先根据城运往两乡的总运费不低于4200元求出的取值范围，再根据总费用 列出函数解析式，由函数的性质求最小值； 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨， ∴， ， ∴与x之间的函数关系式为：， 与x之间的函数关系式为： ； （2）解：依题意， 解得：， 设两城总费用和为元，则 ， ∴随着x的增大而减小， ∴当时， 此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 11．某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 【答案】(1)，随的增大而增大 (2)有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 【分析】本题考查了一次函数的应用与方案问题、一元一次不等式的应用，理解题意、正确列出一次函数、一元一次不等式求解是解题的关键． （1）根据租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元，则租用辆乙种客车，表示出，根据一次函数的性质，判定出随的增大而增大即可； （2）根据总费用元的限额内，得出求解，根据租用辆汽车送名师生集体外出活动，得出求解，根据应避免空车，得出求解，根据为正整数，综合得出有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，根据随的增大而增大，得出“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少即可． 【详解】（1）解：∵租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元， ∴租用辆乙种客车， ∴， ∵， ∴随的增大而增大； （2）解：∵总费用元的限额内， ∴， 解得：， ∵租用辆汽车送名师生集体外出活动， ∴， 解得：， 又∵应避免空车， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴，则， 或，则， ∴有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案， ∵随的增大而增大，， ∴“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少， 答：有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 12．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1) 元；应选择方案三，理由见解析； (2)，，； (3)当时，用方案三购买更合算． 【分析】（）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （）根据题意列出函数解析式即可； （）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 13．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共10包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】应选用A种食品6包，B种食品4包． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用：设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品6包，B种食品4包． 【题型2：最大利润问题】 14．武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，不等式的应用． （1）建立方程的基本思路：A规格茶斤数规格茶斤数，再根据两种规格的茶的斤数之为100斤，如果设一种规格的茶斤数为x，则另一种为斤，从而可列出一元一次方程求解． （2）依据题意列出不等式，先求得A规格的茶最低不少于75斤，然后再根据售价减去进价等于利润列出总利润的表达式，最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，则购进B规格的茶斤， 由题意可得， 解得， ∴， 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； （2）解：设该茶庄购进A规格的红茶x斤，则购进B规格的红茶斤， 依题意得，解得． 设本次购进的红茶全部销售完获得的利润为元， 则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 15．某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． (1)求甲、乙两种水果每件的进货单价； (2)若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】(1)乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元 (2)购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； （2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 16．深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)的值为 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 17．某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； (2)购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元； 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题： （1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组求解即可得到答案； （2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量列函数，结合函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； （2）解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买支B型口琴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元． 18．某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示． 甲种 乙种 进价/（元/本） 3 5 售价/（元/本） 4.5 7 (1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本； (2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？ (3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由． 【答案】(1)甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本 (2)该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用 （1）设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，根据“该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本”，列出方程求解即可； （2）设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本，根据题意构建一次函数，再列出关于x的不等式得x的取值范围，再根据一次函数的的性质求最值即可； （3）设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，得出关于的一次函数，再利用一次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，由题意得： ， 解得：，， 答：甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本； （2）解：设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本， 则， 由题意得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最少， 即该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱； （3）解：学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．理由如下： 设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，利润最大， 即学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案． 19．根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 【答案】任务1：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；任务2：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元， 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：找准关系，正确列出一元一次不等式组． 任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个，根据“①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同”，列出分式方程求解即可； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个，根据“购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个”，列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个， 依题意可得：， 解得 经检验是方程的解， ， 答：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个， 由题意得， 解得， ， 利润为：， ， 利润随着的增大而增大， 当时，利润的最大值为1010元， 答：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元 20．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵， ∴当时，W值最小，． 答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 21．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高； 素材二：用18000元购买种书架的数量比用8000元购买种书架的数量多7个； 素材三：种书架数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求出两种书架的单价； (2)设购买种书架个，购买总费用为元，求与的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案． 【答案】(1)种书架的单价为1000元，则种书架的单价为1200元 (2)，费用最少时的购买方案为：购买5个种书架，15个种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，w最少，然后作答即可． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，依题意得． ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴元． 答：种书架的单价为1000元，则种书架的单价为1200元． （2）解：购买个种书架，则购买个种书架，依题意得． ， 解得：． ∵， ∴， ∵，随着增大而增大， 又∵，且正整数， ∴．当时，有最小值，此时． 答：费用最少时的购买方案为：购买5个种书架，15个种书架． 22．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元； (2)购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少 【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识． （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个，由航空模型数量不少于航海模型数量的得到，根据题意得，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的解，也符合题意， ∴， ∴航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； （2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型个， ∵航空模型数量不少于航海模型数量的， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时， ∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。 23．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1) (2)当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w关于a的函数关系式． （1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解这个方程组得： （2）根据题意，得 由已知，得， 解得：． 是正整数， 可取18，19，20． ， 随的增大而增大， 当a取最小值18，时，取得最小值， 即． 答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元． 【题型3：行程问题】 24．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，如图所示，，分别表示小东、小明离B地的距离（）与所用时间（）的关系． (1)试求的函数表达式； (2)在什么时间范围内，两人至少相距？ 【答案】(1)，； (2)在出发后内（包括）及出发后（包括），两人至少相距． 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式，掌握一次函数的图象与实际问题的联系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，或，求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 直线经过原点，设， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：由题意得， 或， 解得：或， 答：在出发后内（包括）及出发后（包括），两人至少相距． 25．小明开车去某地旅游，在高速公路上以100千米/小时的速度匀速行驶．已知汽车出发前油箱有油，汽车每小时耗油约．当油箱的油少于时，汽车就会提醒加油．小明行驶了2小时后，在加油站加油至，油箱内剩余油量关于行驶时间的函数图象如图所示（加油时间忽略不计）． (1)小明在加油站加了多少升油？ (2)求图中所在直线的函数解析式； (3)小明加了油后，想在汽车提醒加油之前到达下一加油站，可供选择的有：加油站P，距离450千米；加油站Q，距离550千米．请通过计算帮小明选择下一加油站． 【答案】(1)小明在加油站加油 (2) (3)选择450千米远的加油站P 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括根据实际问题计算加油量，求一次函数解析式以及利用函数解决行程规划问题．解题的关键是理解题目中油量，时间，行程之间的关系，通过分析这些关系来建立数学模型并求解． （1）先根据每小时耗油量和行驶时间算出已耗油量，再结合出发前油量和加油后油量求出加油量． （2）设出所在直线的函数解析式，利用已知点坐标代入求解． （3）先算出汽车提醒加油时行驶的时间，进而得到行驶路程，与两个加油站距离比较，选择合适的加油站． 【详解】（1）行驶了2小时后耗油，油箱内剩余油量，， 所以小明在加油站加油； （2）设段的函数解析式为， ∵汽车每小时耗油， ∴， 把代入， 得， ∴所在直线图象的解析式为； （3）把代入， 得， 则50的油行驶5小时后汽车提醒加油，此时行驶了500千米， ∴选择450千米远的加油站P． 26．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)求货车的平均速度？ (2)轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？ (3)若的解析式为：，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？ (4)轿车追上货车时，货车从甲地出发多少小时？ 【答案】(1)60千米／小时 (2)30千米 (3)1.5小时 (4)3.9小时 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）根据“甲、乙两地之间的距离-轿车到达乙地时货车距甲地的距离”列式计算即可； （3）将代入的解析式，求出对应x的值即可； （4）设货车从甲地出发t小时轿车追上货车，根据“轿车追上货车时两车与甲地的距离相等”列关于t的方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据图象信息：货车的速度（千米／小时）． 答：货车的平均速度是60千米／小时； （2）解：Q轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时， 轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米）， 可得到货车距乙地的路程为：（千米）． 答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； （3）解：当时，， 解得：， 答：货车行驶1.5小时轿车开始行驶； （4）解：轿车加速后的速度为（千米／小时） 设货车出发x小时时，轿车追上货车 解得： 答：轿车追上货车时，货车从甲地出发3.9小时． 27．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），；（2）电动汽车在服务区充电分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， ∴行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， 充电分钟后，增加的电量为， ∴充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电分钟． 28．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，分两种情况：①客车到达乙地前两车相距；②客车到达乙地后两车相距列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：由图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为， 货车的速度为 客车从甲地开往乙地需要的时间为， ∴点的坐标为， 设为，把、代入得， ， 解得， ∴客车返回时与之间的函数关系式为； （2）解：设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距， ①客车到达乙地前两车相距， 由题意得，， 解得； 此时：，即火车恰好到达终点符合题意， ②客车到达乙地后两车相距，此时货车已到达甲地， 由题意可得，， 解得； 答：两车第一次相遇后，再经过或两车之间相距． 29．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，学校与图书馆相距_________________米 (2)求A点坐标，并说出A点的实际意义． (3)求y与t的函数关系式． (4)当甲乙两人出发多少分钟时，两人之间的距离为300米． 【答案】(1)2400 (2)，甲乙两人出发40分钟后乙到达学校，此时两人相距1600米 (3) (4)甲乙两人出发时间为21或27分钟时，两人之间的距离为300米 【分析】（1）根据图象信息，当时，对应的函数值即为所求； （2）根据题意，甲的速度为，结合图象二人24分钟后相遇，由此得到，得到，，还剩，计算用时为，得到用时总时长为，此时甲行走了，两人间隔距离为，继而确定点． （3）利用待定系数法解答即可． （4）分相遇前和后两种情况解答即可． 本题考查了函数图象的理解，待定系数法的应用，分类思想，熟练掌握待定系数法，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得当时，， 故两地相距2400米， 故答案为：2400． （2）解：，甲乙两人出发40分钟后乙到达学校，此时两人相距1600米． 理由如下：根据题意，甲的速度为， 由图象得二人24分钟后相遇， ∴， ∴，，还剩， ∴， ∴用时总时长为，此时甲行走了， ∴两人间隔距离为， ∴点，此时乙到达学校，故甲乙两人出发40分钟后乙到达学校，此时两人相距1600米． （3）解：设，根据题意， 得， 解得， 故； 设，根据题意， 得， 解得， ∴， 故． 设，根据题意， 得， 解得， ∴， 故． 综上所述，． （4）解：两人相遇前间隔300米，根据题意，得 ， 解得； 两人相遇后间隔300米，根据题意，得 ， 解得； 综上所述，当两人运动21分钟或27分钟时，间隔距离为300米． 30．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 【答案】(1) (2)分钟 (3)396米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，一元一次方程的应用． （1）设所在直线表达式为：，将点，代入，再求解即可； （2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题可设所在直线表达式为：， 将点，代入： 可得， 解得， ∴所在直线表达式为：． （2）解：由图象可得小刚行驶速度为（米/分）， 小欣行驶速度（米/分）， 两人相遇时间为：（分钟） 所以，小刚行走分钟后两人相遇． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得（米） 答：A、B两地的距离为396米． 31．已知两地相距4800米，甲从地出发步行到地，20分钟后乙从地出发骑自行车到地，设甲步行的时间为分钟，甲、乙两人离地的距离分别为米、米，，与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇． 【答案】(1)， (2)甲出发后36分钟两人相遇 【分析】（1）先根据图象分别设出甲、乙的函数关系式即、与的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式； （2）由相遇时距离地距离相同，令，解出． 【详解】（1）解：设，由题意代入点，得： ， 解得：， ， 设，由题意代入点，，得： ， 解得：， 答：，其中自变量的取值范围是， ，其中自变量的取值范围是； （2）由题意可知：，即， 解得：， 答：甲出发后36分钟两人相遇． 32．无人快递车在部分城市道路上正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有，，三个快递网点，其中，两网点相距米．甲、乙两车分别从，两网点同时出发，匀速行驶去往目的地，．图中，分别表示甲、乙两车离地的距离（米）与行驶时间（分钟）的函数关系图象．    (1)直线的函数表达式为_____； (2)出发后甲快递车行驶多长时间，与乙快递车相遇？ (3)甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点，求，两网点间的距离． 【答案】(1) (2)分钟 (3)米 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数得解析式，求两个一次函数的交点坐标，一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）根据待定系数法求出直线的函数表达式设，联立两直线函数表达式组成方程组，解方程组即可求解； （3）根据“甲快递车到网点后，再经过分钟乙车也到网点”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，两网点间的距离，结合，两网点相距米，即可求出，两网点间的距离． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． （2）解：设直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 联立两直线函数表达式组成方程组：， 解得：，， ∴出发后甲快递车行驶分钟，与乙快递车相遇； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴，两网点间的距离为（米）． 33．某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行．甲机器人离点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表．乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离点）出发并保持前进的状态． 出发时间（单位：秒） 甲机器人离点距离（单位：米） (1)设甲、乙两机器人离点的距离分别为、，求它们与出发时间之间的函数关系式； (2)甲机器人出发时距离点多远？两机器人出发多长时间时相遇？ 【答案】(1)； (2)甲机器人出发时距离点米远；两机器人出发秒相遇； 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求出的值即可；联立方程组，求出的值即可知道两机器人出发多长时间相遇即可得解． 【详解】（1）解：设甲机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式， ∵当，；当时，， ， 解得， ∴甲机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式为： ∵乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进， ∴乙机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式：， （2）解：∵对于， 当时，， 甲机器人出发时距离点米远， 联立方程组 解得：， 两机器人出发秒时相遇． 34．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面长为160，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题. (1)小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______； (2)求图②中a的值及木块Q的运动速度； (3)小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式； (4)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，直接写出x的值. 【答案】(1)16；10 (2)a的值为64，木块Q的运动速度 (3) (4)或 【分析】（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解； （2）依据题意，求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解； （3）利用待定系数法计算可以得解； （4）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（3）中解析式计算即可． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 【详解】（1）由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， 小球P的速度为， 故答案为：16；； （2）由题意，， 又， ∴， ∴， 答：a的值为64，木块Q的运动速度． （3）由题意，设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （4）由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ,又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 35．周日，小明一家开车去外婆家，外婆家离小明家千米，途中在服务区加了油并适当休息了一段时间后，又以同样的速度继续行驶，图反映了汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系：图反映了油箱中的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系．请根据图象解答下列问题： (1)在服务区加油和休息共用时_______小时，加油量为_______升； (2)汽车的行驶速度是_______千米/时，每小时耗油_______升； (3)请直接写出行驶小时前与之间的表达式； (4)按这样的情况计算，求汽车从开始出发到抵达外婆家共用多少小时？汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下多少油？ 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)汽车从开始出发到抵达外婆家共用小时，油箱里还剩下升油． 【分析】本题主要考查从函数的图像中得到信息，求一次函数的解析式，有理数的运算，从函数的图像中得到信息是解题的关键． （1）从图像中即可得到答案； （2）从图像中即可得到答案； （3）设出函数的关系式，解出函数中的系数即可； （4）根据图像即可得到答案． 【详解】（1）解：由图像可知，在服务区加油和休息共用时小时，加油量为升； （2）解：汽车行驶的速度为： ，每小时耗油升； （3）解：设行驶小时前与之间的表达式为：， 图像过， ；解得： ， （4）解：汽车从开始出发到抵达目的地共用（小时） ，汽车抵达外婆家时，油箱里还剩下（升）． 36．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程和时间的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值． (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将代入解析式求出a的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为， 由图象可知，直线过点，， ∴， 解得：， ∴； 把代入： ， 解得： ； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【题型4：情景问题】 37．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运，A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量y（kg）与时间x（h）的函数图象如图所示． (1)A种机器人每小时搬运量为______． (2)求B种机器人的搬运量y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了______千克？ 【答案】(1)千克 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据图象获取信息进行计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式； （3）根据一次函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，A种机器人于某日0时开始搬运，小时搬运了吨， 故A种机器人每小时搬运量为（千克）； （2）解：设， 将代入函数解析式， ， 解得， 故； （3）解：设， 将代入，解得， 故， 当时，（千克）， 时，（千克）， （千克）． 故A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运千克． 38．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 【答案】(1)图见详解，一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． (1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系； (2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系式； (3)将代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为， 验证：当时，满足关系式； （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 39．绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 问题二：（1）；（2）购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． 问题一：分别设一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量为未知数，列二元一次方程组并求解即可； 问题二：（1）根据“一年内吸收的二氧化碳总量棵杨树一年内吸收的二氧化碳总量棵冷杉一年内吸收的二氧化碳总量”写出w与a的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性和a的取值范围解答即可． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二：（1）根据题意，得， 与a的函数关系式为 （2）， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， 棵 答：购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 40．根据以下素材，探索完成任务． 探索市场的供给量和需求量与价格之间的关系 在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 素 材 1 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，为商品价格．当商品价格上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． AIAI 素 材 2 根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格（单位：元）之间的关系可以看做是一次函数，其中与的几组对应数据如图2． 素材3 该商品的市场供给量  q 2  （单位：万件）与价格  p  （单位：元）之间的关系可看作是一次函数  q 2 = 7 p + 5  ． AI 问题解决 任务1 求出市场需求量q1与价格p的函数表达式. 任务2 试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格. 任务3 依据以上信息和函数图象分析，求出该商品供大于求时，价格p的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式等知识点，结合函数图象判断出该商品供大于求的条件是解题的关键． 任务1：设，把表格中的任意两对数值代入可得k和b的值，即可求得与价格p的函数表达式； 任务2：取，求得对应的p的值即为达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：供大于求，则，结合即可求得该商品供大于求时，价格p的取值范围． 【详解】解：任务1：设， 则，解得：， ∴q1=-2p+32； 任务2：∵， ∴，解得：． 答：达到市场供需均衡时该商品的均衡价格为3元． 任务3：由题意可得：，解得：． 答：该商品供大于求时，价格p的取值范围为：． 41．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了求一次函数解析式及实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； 任务1：根据表格数据在平面直角坐标系中描点，连线即可； 任务2：设T与h之间的函数关系式为，运用待定系数法求一次函数解析式即可； 任务3：首先将1500米转化为15百米，然后代入函数解析式即可解答． 【详解】解：任务1：如图所示： 任务2：设T与h之间的函数关系式为， 把，分别代入关系式，得： ， 解得， 所以，T与h之间的函数关系式为； 任务三： 1500米百米， 将代入得 ， 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为． 42．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图1所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据如下表： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 3 5 7 9 11 在如图2所示的直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是几点？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3)当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）求出当时对应x的值，根据本次实验记录的开始时间计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：∵这些点的连线是一条直线， ∴y与x之间是一次函数关系． 设y与x之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得． 答：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到15厘米时是下午． 43．我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高和指距成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度进行了身高与指距的关系进行如下探究： [观察测量] 数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 175 187 [探究发现] （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点． （2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：指距为 时，身高约为 ． （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是 ．（填写函数类型） [结论应用] （4）应用上述发现的规律推测： ①小婉的指距为，则她的身高约为 ． ②李老师的身高为，则他的指距约为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）一次函数；（4）①；② 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据对在平面直角坐标系中描点即可； （2）与其它各点不在同一条直线上的那个点对应的数据对有错误，纠正即可； （3）根据这些点的分布情况判断函数类型即可； （4）①利用待定系数法求出h与d之间的函数关系式，将代入该函数，求出对应h的值即可； ②将代入该函数，求出对应d的值即可． 【详解】解：（1）描点如图所示： （2）经过纠正，该组数据应为：指距为时，身高约为， 故答案为：22，178． （3）∵这些点大致位于同一条直线上， ∴这个函数最有可能是一次函数． 故答案为：一次函数． （4）①设h与d之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴h与d之间的函数关系式为． 当时，得， ∴小婉的指距为，则她的身高约为； 故答案为：133． ②当时，得， 解得， ∴李老师的身高为，则他的指距约为. 故答案为：21.5． 44．高铁站候车大厅的饮水机（图1）有温水和开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度区间最接近人体体温． (1)若共接水，先接温水，求再接开水的时间； (2)若共接水，设接温水的时间为，水杯里水的温度为．求关于的函数关系式，及达到最佳水温时的取值范围． 【答案】(1)接开水的时间为 (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． （1）设接开水的时间为，根据先接温水在接开水，共接水，结合开水喝温水的水流速度，找出等量关系式列方程解答即可； （2）根据等量关系“温水体积温水升高的温度开水体积开水降低的温度”列出函数解析式，然后结合列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设接开水的时间为．         根据题意得，         解得．             答：接开水的时间为． （2）解：根据题意得，     化简，得．         ，             ． 45．杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同，称重时，秤钩所挂物重为（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （斤） （厘米） (1)根据表格数据，画出秤钩所挂物重为（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离（厘米）的图像，并据此图像回答两个变量是（   ）（填正确答案的序号）；      ①正比例函数关系；②一次函数关系；③无法判断． (2)请求出与的关系式； (3)小明用这杆秤秤一些土豆的重量，秤砣到秤纽的水平距离为25厘米，小明所成土豆重多少？ (4)秤杆有刻度一边到秤纽的最远距离是40厘米，小明买了一个西瓜，大约重15斤，能否一定能用这杆秤秤出这个西瓜的准确重量？ 【答案】(1)图见解析，②； (2)； (3)土豆重8斤； (4)这杆秤不一定能准确秤出这个西瓜的重量． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数的图象和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意画出函数的图象，根据函数的图象即可得到结论； （2）设与的关系式为，把和代入解方程组求得与的关系式为； （3）把代入函数解析式得到，解方程得到，于是得到结论； （4）把代入函数解析式得到，解方程得到，由于，于是得到不一定能用这杆秤秤出这个西瓜的准确重量． 【详解】（1）解： 秤钩所挂物重为（斤）与秤杆上秤砣到秤纽的水平距离（厘米）的图象如图所示； 由图象得，两个变量是一次函数关系， 故答案为：②； （2）解：设， 将和分别代入表达式中， 得， 解得：，， 与的关系式为：； （3）解：当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为25厘米时，即， 代入函数式得：， 解得：（斤）， 土豆重8斤； （4）解：当时，，， 这杆秤不一定能准确秤出这个西瓜的重量． 46．综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 【问题解决】 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图像，根据图像发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式． 【答案】(1)图像见解析，一次 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，掌握一次函数的图像与性质是解题关键． （1）首先根据表格中的数据画出函数图像，结合该函数图像为一条直线，即可获得答案； （2）结合表格中数据，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：关于的函数图像如图所示， 根据图像发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的一次函数， 故答案为：一次； （2）设一次函数解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴一次函数解析式为． 47． 生活中的数学：古代计时器——漏壶 问题情境 某小组同学根据漏壶的原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时，圆柱容器中已有一部分液体． 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解答以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在图2中描点、连线． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到时，时间是多少？ 【答案】（1）①图见解析，一次；②；（2） 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可． 【详解】解：（1）①描点，连线得函数图象如图所示， ②可得与之间是我们学过的一次函数， 设该函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，， 解得； 答：当圆柱容器液面高度达到时是． 48．启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 (1)与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） (2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． (3)根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】(1) (2)，，自西向东方向更拥堵 (3)，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由（1）得，，，当时，算出，． 根据可变车道为自东向西方向，得出自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，即可求出，，即可判断； （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，．当时，，则，解得，分为当时，，和当时，，求解即可； 【详解】（1）解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． （2）由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 49．小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象判断y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式；如果不是，请说明理由； (2)请观察图表，当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为______； (3)小林的身高最合适的挎带长度为，妈妈送的斜挎包的挎带长度能满足小林的身高要求吗？如果能满足，调节挎带长度使单层部分的长度为多少？如果不能满足，请说明理由． 【答案】(1)画图见解析，是的一次函数，，验证见解析 (2)30 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）将代入关于的函数表达式，解方程求出的值即可； （3）分别求出当时对应的值和当时对应的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长度为 ，则双层部分的长度为，将它们分别代入关于的函数表达式并求出的值即可． 【详解】（1）解：描点及函数图象如图所示： 图象是一条直线， 是的一次函数． 设关于的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当挎带的长度为时，单层部分的长度为． 将代入，得， 解得． 此时双层部分的长度为． 故答案为：30； （3）解：当斜挎包挎带全为双层时，则，此时挎带长度为； 当斜挎包挎带全为单层时，得，解得，此时挎带长度为； 挎带长度在之间， 小林的身高最合适的挎带长度为， 挎带长度满足小林的身高要求． 设调节挎带长度使单层部分的长度为 ，则双层部分的长度为， ， 解得， 调节挎带长度使单层部分的长度为． 故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$