18.2.2（第1课时）菱形的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.2.2(第1课时) 菱形的性质 第18章 平行四边形 观察下面的图片，其中有你熟悉的图形吗？ 活动： 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开，你发现这是一个什么样的图形？ 活动： 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度， 请仔细观察和思考： 在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 平行四边形 邻边相等 菱形 如果改变了边的长度，使两邻边相等， 那么这个平行四边形成为怎样的四边形？ 画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题： 2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？ 对称轴之间有什么关系？ 1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？ 菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点． 菱形是轴对称图形， 对称轴有两条是对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直． 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点， 对称轴是对角线所在的直线． 菱形： 因此，菱形具备平行四边形所有的性质 对称性： 边： 角： 对角线： 既是轴对称图形又是中心对称图形 菱形是特殊的平行四边形，因此菱形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出菱形有哪些特殊性质吗? 有一组邻边相等的平行四边形. 思考： 画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线 三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？ 猜想： 1、菱形的四条边都相等． 2、菱形的对角线互相垂直， 且每条对角线对平分一组对角． 如何验证以上的猜想？　 命题： 菱形的四条边都相等． 如图，四边形ABCD是菱形． AB=BC=CD=AD． 证明： ∵四边形ABCD是菱形， 　　　 ∴ AB=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， 　　　 ∴ AB=DC，AD=BC， ∴ AB=BC=CD=AD． 已知： 求证： 定理： 菱形的四条边都相等． 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角． 如图，四边形ABCD是菱形． AC⊥BD ； AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA=AB，OB＝OD， 在等腰△DAC中，∵AO=CO， ∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三线合一）． 同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC． 定理：菱形的对角线互相垂直， 且每条对角线对平分一组对角． 命题： 已知： 求证： 定理： 菱形的对角线互相垂直， 且每条对角线对平分一组对角． 对称性 边 角 对角线 平行四边形的一般性性质 矩形的 特殊性质 菱形的 特殊性质 对边平行且相等 邻边垂直 四个角都是直角 中心对称图形 既是中心对称图形又是轴对称图形 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 对角线相等 既是中心对称图形又是轴对称图形 四条边相等 对角线互相垂直 平行四边形、矩形、菱形的性质对比 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 思考： 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗? 计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗? E 思考： 【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半． AC•BD 例1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）． 又∵AE垂直平分CD， ∴AC=AD， ∴AC=AD=DC=CB=BA， 即△ADC与△ABC都为等边三角形． ∴∠ACD=∠ACB=60°， ∠BCD=120°． 例2 例3 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形． 解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B， ∴∠B=60°． 在菱形ABCD中， ∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形． 例4 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号） 解：∵四边形是ABCD菱形， ∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边都相等）， 在△ABO和△ADO中，∵OB=OD，AO=AO，OB=OD， ∴△ABO≌△ADO．∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD=60° ． 在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60° ， ∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=2． 在菱形ABCD中，∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴△AOB为直角三角形， ∴BO= ，∴BD=2BO= （cm）． 例5 如图，在△ABC 中，AB =AC，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 边的中点． （1）求证：四边形 ADEF 是菱形； （2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长． （1）证明: 因为 D, E, F, 分别是 AB, BC, AC 的中点, 所以 DE, EF 是△ABC 的中位线. 所以 DE∥AC, DE ＝0.5AC, EF∥AB, EF ＝ 0.5AB. 所以四边形 ADEF 是平行四边形. 又因为AB ＝AC,所以 DE ＝ EF. 所以 □ ADEF 是菱形 (一组邻边相等的平行四边形是菱形). （2）解: 若AB ＝12 cm,则 EF ＝0.5AB ＝6 cm. 所以菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm). 例6 菱形 ABCD 的两条对角线的交点为 O. 已知 AB=5cm，OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积. 解：如右图所示. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠AOB=60°. ∵OB=3cm，AB=5cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得AO= 故AC=2OA=8cm，BD=2OB=6cm. 故S菱形ABCD= 所以菱形ABCD的两条对角线的长度分别是8cm，6cm，它的面积为24 cm2. 例7 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30， ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. ∵ 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h， ∴13h＝120，得h＝ . 例8 例8 边 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 菱形的性质 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角相等 　　B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2.下列说法错误的是 （ ） A．菱形的四边都相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角 D．菱形的对角线相等且互相平分 B D 3.如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（ ） A． AB∥CD B． AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC 4.如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（ ） A．3 　　　B．2 C．9.6 　　D．4.8 B D 5.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别 为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 A A 7.如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F． 求证：AE=CF． 证明：∵菱形ABCD， ∴BA=BC，∠A=∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠BEA=∠BFC=90°， 在△ABE与△CBF中 ∠BEA＝∠BFC＝90° ，∠A＝∠C，BA＝BC ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AE=CF． 9. 10.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE． 解：在菱形ABCD中， ∵AC=6m，BD=8cm， ∴OC= AC= ×6=3cm，OB= BD= ×8=4cm， ∵AC⊥BD， ∴BC=5cm， ∴CD=BC=5cm，S菱形ABCD=CD•AE= AC•BD， 即5AE= ×6×8，解得AE=4.8cm． $$