27.2.3相似三角形的应用举例教学设计 2024-2025学年人教版数学九年级下册

教学设计 教学课题 相似三角形的应用举例 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，引导学生运用相似三角形的知识观察和解决现实生活中的测量问题，如测量建筑物高度、影子长度等，增强数学与生活的联系。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过合作探究和问题解决，培养学生运用相似三角形的判定和性质进行逻辑推理和问题分析的能力，提升数学思维的严谨性和灵活性。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过实际问题的数学建模和解答过程，引导学生用数学语言准确描述和表达相似三角形的应用，提升数学表达的清晰性和准确性。 重难点 （1）通过实际问题建立相似三角形模型，运用相似三角形的性质解决测量物体高度的问题，培养学生的数学建模能力和应用意识。（重点） （2）在真实情境中灵活运用相似三角形的判定和性质，设计合理的测量方案，提升学生的综合实践能力和创新思维。（难点） 教学方式与策略 讲授法、实验法、小组合作法、问题探究法 教学活动设计 一、情境导入 提前准备好与相似三角形应用相关的图片和实际问题示例，如金字塔、树影、建筑物等，并制作PPT以便展示。 引入问题：老师播放PPT，展示胡夫金字塔的壮观图片（生：哇！金字塔好壮观啊！）。接着，老师介绍一个历史故事背景：“在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：‘听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！’这在当时是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？”（生：他是怎么做到的？） 引导思考：老师继续解释说：“泰勒斯用了巧妙的方法，利用了相似三角形的知识来解决这个问题。今天我们就一起来学习如何用相似三角形解决生活中的实际问题。”（生：好！） 二、合作探究 探究点：相似三角形的应用 1. 利用影子的长度测量物体的高度 展示实物模型：老师拿出一根2米长的竹竿EF和一个小模型树，模拟太阳光下形成影子的情况（生：好像真的有影子啊！）。 引入问题：老师问：“假设某一时刻竹竿EF的影长GE为1.2米，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，求树AB的长。”（生：我们要用相似三角形的知识来做吗？） 解析和解答：老师引导学生画图并标注条件： 先利用△BDC∽△FGE得到BC/GE = EF/BD，可计算出BC = 6m； 在Rt△ABC中，∠A = 30°，根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长。 解题步骤详细讲解： 作图，标记所有已知条件（竹竿EF = 2m，影长GE = 1.2m，树影长BC = 3.6m）； 标明△BDC∽△FGE； 计算：BC/GE = EF/BD → BC/1.2 = 2/3.6 → BC = 6m； 在Rt△ABC中，AB = 2BC = 12m。 方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题（老师发放相关材料并指导学生开始练习，巡视指导）。 2. 利用镜子的反射测量物体的高度 展示模型：老师拿出一面平面镜和平面图，示意学生如何操作。 引入问题：老师举例说：“小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度。如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE = 20m。当她与镜子的距离CE = 2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。已知她的眼睛距地面高度DC = 1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度。” 解析和解答： 根据物理知识知道∠BEA = ∠DEC，因此△BAE∽△DCE； 利用相似三角形对应边成比例的关系，可以得出方程 AB/DC = AE/EC。 解题步骤详细讲解： 作图，标记所有已知条件（AE = 20m，CE = 2.5m，DC = 1.6m）； 标明△BAE∽△DCE； 计算：AB/DC = AE/EC → AB/1.6 = 20/2.5 → AB = 12.8m。 方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程。解题时要灵活运用所学各学科知识。 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题（老师发放相关材料并指导学生开始练习，巡视指导）。 3. 利用标杆测量物体的高度 展示模型：老师出示旗杆和标杆的简易模型，演示影子的情况。 引入问题：老师提出问题：“某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上。小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m。同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m。请帮助小明求出旗杆的高度。” 解析和解答： 作图，标出所有条件； 利用相同时间物高与影长成正比例的性质，建立比例关系：EA/ED = 1/1.2； 计算旗杆的高度。 解题步骤详细讲解： 作图，标记所有条件（BC = 9.6m，CD = 2m，标杆高1m，影长1.2m）； 标明比例关系：EA/ED = 1/1.2； 计算：AE = 8m，∴AB = AE + EB = 8 + 2 = 10m。 方法总结：利用标杆测量物体的高度就是利用标杆的高作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题（老师发放相关材料并指导学生开始练习，巡视指导）。 4. 利用相似三角形的性质设计方案测量高度 展示案例：老师展示纪念碑的图片，提出问题：“星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：‘这个纪念碑有多高呢？’你能设计一种方案测量纪念碑的高度吗？” 设计思路引导：老师引导学生设计相似三角形，利用其性质求解。 在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A； 测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高。 具体步骤： 作图，标记所有条件； 利用相似三角形的比例关系：CD/AB = DE/BE； 计算纪念碑的高度。 方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解。 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题（老师发放相关材料并指导学生开始练习，巡视指导）。 三、课堂小结 总结知识点：通过今天的课程，我们学习了如何利用相似三角形的知识解决实际问题，主要包括利用影子、镜子反射和标杆等多种方法测量物体的高度。 提问巩固：老师提问几个关键概念和步骤，确保学生理解。（生：通过相似三角形解决实际问题，关键是找到相似的三角形，然后利用对应边成比例来求解。） 鼓励发言：老师鼓励学生分享自己的理解和方法，互相交流讨论。（生：我觉得利用相似三角形解决问题真的很有趣，生活中很多地方都能用到。） 总结课堂表现：老师表扬积极发言和认真完成任务的学生，并提醒大家回家继续复习相关知识，做好后续练习。 课后作业 （1）根据相似三角形的性质，设计一个实验方案测量学校旗杆的高度，并记录实验过程与结果。 （2）选择生活中一个不能直接测量的物体高度或宽度，运用相似三角形的知识，计算并写出解题过程。 学科网（北京）股份有限公司 $$