精品解析：辽宁省铁岭市部分学校2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题（北师大版）

2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（六） （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故设，， ∴． 故选：B． 2. 如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键． 【详解】解：俯视图是从上面看几何体，得到的平面图形内部是圆，看得见，用实线；外部是正六边形，如图所示： 故选：C． 3. 如果是一元二次方程一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，分式方程的应用，设黑球的个数为个，根据频率可列出方程，解方程即可求得，从而得到答案，根据概率列出方程是关键． 【详解】设袋中有黑球个，由题意得：， 解得：，经检验，是分式方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有6个． 故选：B． 5. 如图，在直角坐标系中，已知中，B的坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内作与位似，位似比为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质．熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据位似的性质求解作答即可． 【详解】解：∵B的坐标为，原点O为位似中心，与位似，位似比为， ∴第一象限内顶点的坐标为， 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的关系． 先确定方程中各项系数，再代入根的判别式公式计算，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，， 将值代入判别式可得， 因为当时，一元二次方程没有实数根，这里， 所以方程没有实数根， 故选：A． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, ∴物体被缩小到原来的． 故选：C． 8. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 9. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4046 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据题意先得出即可． 【详解】解：是方程的两个实数根 ． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【详解】解：当与全等时，有两种情况： ①当时，， ，， ，， ； 动点在线段上，从点出发以的速度向点运动， 点和点的运动时间为：， ∴； ②当时，， ，， ，， ， ， 综上，v的值为2或． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，这道题的是对应角，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 12. 如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则扇形的面积___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图得，证明是线段的垂直平分线，结合等腰三角形的三线合一，得，再运用扇形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为：． 13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，在点，之间的抛物线在直线下方， ∴时，， 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．经过点的直线与轴交于点．则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意求得点的坐标为，再代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴点的坐标为， 将其代入，得：， 故答案为：12． 15. 如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先结合旋转性质，正方形的性质得出，根据角平分线的定义，得，证明，再得出，然后得出是的垂直平分线，即，当时，，此时面积最大，运用勾股定理算出线段的值，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，过点作的延长线一点，如图所示： ∵正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段， ∴， ∵平分交射线于． ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， 当时，，此时面积最大， 则点E与点A重合，点F与点D重合， ∴， 此时有最大值，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】（1）这个增长率为 （2）场地的宽为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这个增长率为，根据该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建后面积是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； 【小问2详解】 解：设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，的长为：（米）米，不合题意，舍去： 当时，的长为：（米）米，符合题意： 米， 答：场地的宽为10米． 18. 在“书香校园”创建活动中，我区某校为扎实推进工作，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 4 频率 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）表中_______，_______，_______ （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数； （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 【答案】（1），， （2）4， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，总人数为（人），根据，，，计算求解即可； （2）根据众数的定义，平均数的计算公式求解即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，总人数为（人）， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意知，众数为4，平均数为， ∴众数为4，平均数为； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下： 共有种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果， ∵， 所选2名同学中有男生的概率为． 【点睛】本题考查了频率、频数，众数，平均数，列举法求概率．熟练掌握频率、频数，众数，平均数，列举法求概率是解题的关键． 19. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式； （2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得： ， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意，得： ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，最大值4500， 答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面m空中水平飞行，无人机在、两点分别测得建筑物顶端的俯角为、，、两点的水平距离为m．（在同一平面上） （1）求建筑物的高度； （2）若建筑物的左侧m处有一建筑物高为m，会不会影响本次测量？请说明理由．（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】（1）日塔的高度约为m （2）会影响，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意添加辅助线，构造出直角三角形． （1）延长，交的延长线于，构造出两个直角三角形，根据已知条件，解两个直角三角形即可解答此题； （2）设建筑物与交与点，构造，解直角三角形，求出和，最后对比可得答案． 【小问1详解】 解：如图，延长，交的延长线于，则， ， ， ， m， 在中， ， ， m， m． 答：日塔高度约为m； 【小问2详解】 解：会影响，理由：设建筑物与交与点， 由题意可知，m， 过点作与点， ， 在中，m， ， m， m， ， 会影响本次测量． 21. 如图，为直径，，为上的两点，且在直径的两侧，连接，以为边作平行四边形． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定，圆周角的性质，平行四边形的性质以及三角函数的应用，解题的关键是熟练运用圆的相关性质以及平行四边形的性质进行推理和计算． （1）连接，利用圆中半径相等得到，再由平行四边形对边平行的性质得出，进而推出，因为是半径且，所以为的切线； （2）连接，则，得到，由直径所对的圆周角是直角，可知，最后在中，由，求出的长度． 【小问1详解】 解：连接， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，则， ，，， ， ∴， 是的直径， ， ， . 22. 如图1，正方形中，，点为边上的点，为的垂直平分线，垂足为，交边于点，交边于点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）四边形的形状为___________； （2）若四边形为菱形时，求的长； （3）如图2，点在上运动过程中，当点三点共线时，判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形； （2）； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先证明，则，由旋转得，，故，由得到，即可证明； （2）连接，证明，则，设，则，在中，，在中，，即可建立方程求解； （3）过点作，在上截取，连接，证明，可得，在中，，在中，，则． 【小问1详解】 解：过点F作于点T，则， ∵四边形正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， 为的垂直平分线， ， 又四边形为菱形， ， ， 又四边形为正方形， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， （舍）， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作，在上截取，连接， ， ， ， ， ， 当点三点共线时， 则， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，旋转的性质，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”． （1）如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________； （2）若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________； （3）如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，． ①求的值； ②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）和； （2）； （3）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）首先判断出点P在直线上，然后结合图象求解即可； （2）首先根据题意画出图象，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后代入求解即可； （3）①根据题意得到，求出抛物线，然后由得到点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，然后分两种情况讨论：和，然后分别求出点B的坐标，然后代入求解即可； ②设，分两种情况讨论：和，然后分别求出点C的坐标，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点” ∴ ∴点 ∴点P在直线上 ∴如图所示， ∵矩形的顶点坐标分别是，， ∴当时， ∴点是矩形的“互为零点”； 当时，，解得 ∴点是矩形的“互为零点”； 综上所述，矩形的“互为零点”的是和； 【小问2详解】 如图所示，设点P在第二象限，过点P作轴 ∵点为反比例函数图象上的“互为零点”， ∴点P在直线上 ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴将代入得， 解得； 【小问3详解】 ①∵点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点， ∴ ∴ ∴抛物线 ∵ ∴点A，B的水平距离为2，竖直距离为2， 如图所示，当时， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∴将代入得， 解得； 如图所示，当时， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∴将代入得， 解得； 综上所述，的值为或； ②设， 当时，抛物线 ∴当时， ∴ ∵，，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴； 当时，抛物线 ∴当时， ∴ ∵，，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何综合，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是判断出点P在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（六） （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 5. 如图，在直角坐标系中，已知中，B坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内作与位似，位似比为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4046 D. 2023 10. 如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则扇形的面积___________． 13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为______． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．经过点的直线与轴交于点．则的值为___________． 15. 如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 18. 在“书香校园”创建活动中，我区某校为扎实推进工作，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 4 频率 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）表中_______，_______，_______ （2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数； （3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 19. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 20. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物高度，已知无人机在距离水平地面m空中水平飞行，无人机在、两点分别测得建筑物顶端的俯角为、，、两点的水平距离为m．（在同一平面上） （1）求建筑物的高度； （2）若建筑物的左侧m处有一建筑物高为m，会不会影响本次测量？请说明理由．（结果精确到1m，参考数据：）． 21. 如图，为的直径，，为上的两点，且在直径的两侧，连接，以为边作平行四边形． （1）求证：为的切线； （2）若，，求长． 22. 如图1，正方形中，，点为边上的点，为的垂直平分线，垂足为，交边于点，交边于点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）四边形的形状为___________； （2）若四边形为菱形时，求的长； （3）如图2，点在上运动过程中，当点三点共线时，判断之间的数量关系，并说明理由． 23. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”． （1）如图1，矩形顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________； （2）若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________； （3）如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，． ①求的值； ②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$