第10章 二元一次方程组（导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选压轴题专练 共51题）-2024-2025学年人教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年人教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选压轴题专练 共51题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 全章节知识梳理精讲 2 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 2 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 5 易错考点梳理点拨 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 7 易错知识点04：参数题型处理不当 7 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 8 期中真题汇编考点讲练 8 重点考点讲练01：二元一次方程的定义 8 重点考点讲练02：二元一次方程的解 10 重点考点讲练03：解二元一次方程 14 重点考点讲练04：由实际问题抽象出二元一次方程 16 重点考点讲练05：二元一次方程的应用 18 重点考点讲练06：二元一次方程组的定义 21 重点考点讲练07：二元一次方程组的解 22 重点考点讲练08：解二元一次方程组 25 重点考点讲练09：由实际问题抽象出二元一次方程组 29 重点考点讲练10：同解方程组 32 重点考点讲练11：解三元一次方程组 34 重点考点讲练12：三元一次方程组的应用 37 优选压轴真题专练 41 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 重点考点讲练01：二元一次方程的定义 【母题精讲】（2024春•临淄区期中）若方程是二元一次方程，则、的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【规范解答】解：根据题意，得 且， 解得，． 故选：． 【考点评析】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程． 【训练1】（2024春•印江县期中）已知关于，的二元一次方程，则 　2　． 【思路点拨】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此解答即可． 【规范解答】解：是二元一次方程， ， 解得， ， ， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的概念，绝对值的性质，代入求值，根据二元一次方程的概念“含有两个未知数，未知数的次数为1次的整式方程”即可求解． 【训练2】（2022春•柯桥区期中）已知是关于、的二元一次方程，则　9　． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得、的值，代入中即可求出． 【规范解答】解： 因为是关于、的二元一次方程， 则， 利用代入法求出，． 把，代入，得． 【考点评析】二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 【训练3】（2021春•红谷滩区校级期中）已知方程是二元一次方程，求，的值． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得，；，，再解即可． 【规范解答】解：由题意得：，， 解得：， ，， 解得：． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 重点考点讲练02：二元一次方程的解 【母题精讲】（2024春•滦南县期中）若是关于、的二元一次方程的解，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【思路点拨】依据题意，把代入，解出的值，即可作答． 【规范解答】解：由题意，把代入， ． ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题时要熟练掌握并理解二元一次方程的解是关键． 【训练1】（2024春•高青县期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 【思路点拨】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【规范解答】解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ， 解得， ，． 【考点评析】本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算． 【训练2】（2024春•淮安期中）已知关于、的二元一次方程，均为常数，且． （1）当，时，用的代数式表示为：　　； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索与的关系，并说明理由； ②无论，取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个解． 【思路点拨】（1）把，代入关于、的二元一次方程得关于，的方程，把用表示出来即可； （2）①把代入关于、的二元一次方程得关于，的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论，取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【规范解答】解：（1）把，代入关于、的二元一次方程得： ， ， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 把代入关于、的二元一次方程得： ， ， ， ； ②由①可知：， 原方程化为：， ， 无论，取何值，这些方程都有一个公共的解， ，，解得：，， 这个公共解为：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【训练3】（2023秋•蓬江区校级期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求的值． （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出即可； （3）由题意可得，得，，得，再由，即可求的值． 【规范解答】解：（1）是“雅系二元一次方程”， ， 解得， “雅系二元一次方程” 的“完美值”为； （2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”， ， 解得； （3）存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ， 解得， ， “完美值”为． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 重点考点讲练03：解二元一次方程 【母题精讲】（2024秋•淮北期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【思路点拨】等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同乘以或除以同一个不为零的数或式子，等式仍成立；等式具有对称轴，即，也表示为；由此即可求解． 【规范解答】解：根据等式的性质逐项分析判断如下： 、若，等式两边同时除以4，得，故原选项错误，不符合题意； 、若，则，得，故原选项正确，符合题意； 、若，当时，原选项错误，不符合题意； 、若，等式两边同时乘以6，得，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的基本性质，理解并掌握等式的性质及运算方法是解题的关键． 【训练1】（2024春•越城区期末）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【思路点拨】根据方程组的解法可以得到， ①令，即可求出的值，验证即可， ②由①得，而，求出的值，再与比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可， ④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系， 【规范解答】解：关于，的二元一次方程组， ①②得，， 即：， （1）①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确， （2）②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确， （3）方程组， 解得，， ， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，代入方程②得， ， 即； 因此④是正确的， 故选：． 【考点评析】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键． 【训练2】（2024春•贾汪区期末）已知实数、满足． （1）用含有的代数式表示； （2）若实数满足，求的取值范围； （3）若实数、满足，，且，求的取值范围． 【思路点拨】（1）移项得出，方程两边都除以3即可； （2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可； （3）解方程组求出、，得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1）， ， ； （2）， 解得：， 即若实数满足，的取值范围是； （3）联立和得：， 解方程组得：， 由题意得：， 解得：． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． 重点考点讲练04：由实际问题抽象出二元一次方程 【母题精讲】（2023秋•高碑店市期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有名学生，本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①；②；③；④．其中符合题意的是　　 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 【思路点拨】分别根据书的总量相等和学生的人数相等列出方程即可． 【规范解答】解：根据书的数量相等可列方程为，根据学生的人数相等可列方程为， 所以符合题意的是①④． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解题的关键． 【训练1】．（2024春•长兴县期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，则下坡为，根据王老师从家到学校需51分钟，列出方程即可． 【规范解答】解：设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，则下坡为， 根据王老师从家到学校需51分钟，得， 根据王老师从学校到家需53.4分钟，得． 故选项符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据题意找出等量关系是解题的关键． 【训练2】（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？ 【思路点拨】设篮球的原价为元，排球的原价为元，根据“按九折和八折共付款363元，两种商品原销售价之和为420元”列方程组，求解即可． 【规范解答】解：设篮球的原价为元，排球的原价为元， 根据题意，得， 解得， 答：篮球的原价为270元，排球的原价为150元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键． 重点考点讲练05：二元一次方程的应用 【母题精讲】（2025•嘉峪关开学）淇淇的妈妈买了15支牙刷和12盒牙膏共花了336元，一段时间后淇淇以同样的价格（牙刷和牙膏的单价保持不变）又买了20支牙刷和16盒牙膏共花了418元，淇淇的妈妈看到淇淇的购物小票时，说：“记录单的总全额应该算错了”．下列判断正确的是　　 A．淇淇妈妈说的不对，总金额就是418元 B．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了30元 C．淇淇妈妈说的对，淇淇少付了30元 D．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了40元 【思路点拨】设牙刷和牙膏的单价分别为、元，可得，然后给方程左右两边同除以3即可解答． 【规范解答】解：设每支牙刷元，每盒牙膏元． 根据淇淇妈妈的购买情况可列方程：， 两边同时除以3得到， 淇淇购买时可列花费表达式为，将其变形为， 把代入，可得（元 淇淇实际花费418元，（元，所以淇淇少付了30元，淇淇妈妈说的对，符合题意； 综上所述，只有选项正确，符合题意， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的应用、等式的性质，正确列出方程是解答本题的关键． 【训练1】（2024•黑龙江四模）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有　　 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【思路点拨】设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种． 【规范解答】解：设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔， 根据题意得：， ，是正整数， 或或 刘老师购买碳素笔的方案共有3种． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，能找到等量关系是解题的关键． 【训练2】（2024秋•肥西县期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示；（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ （2）若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ （3）若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【思路点拨】（1）利用使用丙型车的数量（物资的总质量每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出结论； （2）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，且需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据学生使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【规范解答】解：（1）根据题意得： （辆， 还需要8辆丙型车来运送． （2）设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：． 答：需要10辆甲型车，7辆丙型车； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为（元； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为（元． ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 答：共有2种运输方案，使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 重点考点讲练06：二元一次方程组的定义 【母题精讲】（2024春•香坊区校级期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：、其中一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； 、方程组中的第一个方程有三个未知数，故不是二元一次方程组，故不符合题意； 、是二元一次方程组，故符合题意； 、方程组中的第一个方程的最高次数为2次，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；以及二元一次方程组的定义是解题的关键． 【训练1】（2021春•林州市期中）已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义得到且、．由此可以求得的值． 【规范解答】解：依题意，得 且、， 解得． 故的值是5． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【训练2】（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）； （2）． 【思路点拨】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【规范解答】解：（1）是，理由如下： 中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组． （2）是，理由如下： 中的两个方程都是一次方程，并含有两个未知数，它是二元一次方程组． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”是关键． 重点考点讲练07：二元一次方程组的解 【母题精讲】（2023春•内乡县期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为　　 ①当时，、的值互为相反数； ②是方程组的解； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】①先求出方程组的解，把代入求出、即可； ②把代入，求出的值，再根据判断即可； ③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可； ④根据和求出，求出，再求出的范围即可． 【规范解答】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入， 得：， 解得：， ， 此时不符合，故②错误； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④， ， 即， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． 【训练1】（2024春•齐齐哈尔期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 　　． 【思路点拨】设，，根据题意可得出，解，的二元一次方程即可求解． 【规范解答】解：设，， 则方程组化为：， 方程组的解是， ， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，熟练掌握该知识点是关键． 【训练2】（2024春•平南县期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是 　代入　消元法．（填“代入”或“加减” ； 任务二：小强解方程组的过程，从第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【思路点拨】任务一：观察小强的解法，找出解方程组的方法即可； 任务二：观察小强解的过程，找出出错的步骤即可； 任务三：写出正确的解方程组过程即可． 【规范解答】解：任务一：小强解方程组用的方法是代入法； 故答案为：代入； 任务二：小强解方程组的过程，从第二步出现错误，错误的原因是整体代入未添加括号； 故答案为：二，整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：， 解：由①得③， 将③代入②得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 重点考点讲练08：解二元一次方程组 【母题精讲】（2024春•长沙期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错而其他运算全正确，解得，则　1　． 【思路点拨】把甲的解代入方程组，乙的解代入第一个方程，分别求出，，的值，代入原式计算即可求出值． 【规范解答】解：把代入方程组得． 即． 把代入得，． 联立得． 解得． 把代入②得． 则原式． 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法由：代入消元法和加减消元法． 【训练1】（2023春•济宁期中）解下列方程组 （1）， （2）． 【思路点拨】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】解：（1）， 由②得③， 把③代入①得，， 解得：， 把代入③得， 则原方程组的解是； （2）方程组整理得：， ①②得，即， 把代入①得， 则原方程组的解是． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【训练2】（2024春•太康县期中）解方程组：． 【思路点拨】根据加减法消去求出，再代入求出即可． 【规范解答】解：， ①②，得， 解得． 将代入②，得， 解得， 方程组的解是． 【考点评析】本题主要考查了加减法二元一次方程组，选择适合的消元法是解题的关键． 【训练3】（2024春•临海市期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【思路点拨】（1）根据，可得，且，进而得出、的值； （2）设灯射线转动时间为秒，根据可得的值，根据可得； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯射线转到之前，②在灯射线转到之后，分别求得的值即可． 【规范解答】解：（1）． 又，． ，； （2）设灯转动时间为秒， 又， ， ， ， ， ， ； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行． 依题意得 ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得（不合题意） 综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 重点考点讲练09：由实际问题抽象出二元一次方程组 【母题精讲】（2024春•遵义期中）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设甲原有文钱，乙原有文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于和的二元一次方程：，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于和的二元一次方程：，从而得到答案． 【规范解答】解：根据题意可列方程组为：． 故选：． 【考点评析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键． 【训练1】（2024春•石家庄期中）某份资料计划印制1000份，该任务由，两台印刷机先后接力完成，印刷机印制150份，印刷机印制200份．两台印刷机完成该任务共需．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是　　 甲 解：设印刷机印制了， 印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设印刷机印制了份， 印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【思路点拨】根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 两台印刷机完成该任务共需， ， 总共印制1000份， ， ， 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 总共印制1000份， ， 印刷机印制150份，印刷机印制200份， 印刷机印制小时，印刷机印制小时， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，建立正确的方程组． 【训练2】（2024春•临湘市期中）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数表示的意义： 甲：表示 　工程队工作的天数　； 乙：表示 　　． （2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 【思路点拨】（1）根据题意，结合题中所给方程组即可得到答案； （2）根据题意，补全甲、乙两位同学所列的方程组，利用二元一次方程组的解法求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由题意，结合题中所给方程组可知： 工程队工作的天数；工程队整治的河边道路总长度； 故答案为：工程队工作的天数；工程队整治的河边道路总长度； （2）①若补全甲的方程组：，解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； ②若补全乙的方程组：，解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米． 【考点评析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，读懂题意，理解所设未知数，找到等量关系列方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【训练3】（2024春•邢台期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． （1）设甲工程队绿化天，乙工程队绿化天，依题意可列方程组：　　． （2）设甲工程队绿化荒地亩，乙工程队绿化荒地亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【思路点拨】（1）设甲工程队绿化天，乙工程队绿化天，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地亩，乙工程队绿化荒地亩，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组，再解方程组即可； 【规范解答】解：（1）设甲工程队绿化天，乙工程队绿化天， 则， 故答案为：； （2）设甲工程队绿化荒地亩，乙工程队绿化荒地亩， 则， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 重点考点讲练10：同解方程组 【母题精讲】（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则，的值分别为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先求出第二个方程组的解，把代入方程组得出，再求出方程组的解即可． 【规范解答】解：解方程组得：， 方程组与方程组的解相同， 把代入方程组得：， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了同解方程组和解二元一次方程组，能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【训练1】（2024春•沿河县期中）已知方程组和方程组的解相同． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】（1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【规范解答】解：（1）方程组和方程组的解相同， 方程和方程有相同的解， 联立，解得， ； （2）由（1）可知方程组， 解得， ． 【考点评析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组，掌握方程解的意义是解题的关键． 【训练2】（2024春•沈丘县期末）已知方程组与方程组的解相等，试求、的值． 【思路点拨】两个方程组的解相同，也就是有一组、的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解． 【规范解答】解：由已知可得，解得， 把代入剩下的两个方程组成的方程组， 得， 解得． 故、的值为． 【考点评析】解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力． 重点考点讲练11：解三元一次方程组 【母题精讲】（2024春•牟平区期中）三元一次方程组消去未知数后，所得二元一次方程组是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先消去未知数可得，从而可得答案． 【规范解答】解：， ②③得：即， ③①得：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键． 【训练1】（2024春•文登区期中）解方程组： （1）； （2）； （3）解三元一次方程组：． 【思路点拨】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）先由②①，求出，把代入三元一次方程组得到关于和的二元一次方程组，利用消元法求得和的值，即可求得三元一次方程组的解． 【规范解答】解：（1）， 方程组整理得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）， 方程组整理得：， ①②得：，即， 把代入①得，，即， 则方程组的解为； （3）， ②①得，， 把代入方程组，整理得：， 为④式，为⑤式， ④⑤得：，即， 把代入④得，， 则方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解二（三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【训练2】（2023春•招远市期中）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，他想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）你还能用其他的方法来求得方程组的解吗？ （3）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 【思路点拨】（1）把①代入②，求出的值，再把的值代入①，求出的值； （2）由①可得③，把③代入②求出的值，再把的值代入①，求出的值，即可； （3）先把①代入③，求出的值，再把的值代入②，求出的值，最后把的值代入①，求出的值，即可． 【规范解答】解：（1）把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 原方程组的解为； （3）把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 原方程组的解为． 【考点评析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键． 【训练3】（2023春•江都区期中）若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值． 【思路点拨】利用，的关系代入方程组消元，从而求得的值． 【规范解答】解：将代入二元一次方程租可得关于，的二元一次方程组，解得． 【考点评析】考查了解二元一次方程的能力和对方程解的概念的理解． 重点考点讲练12：三元一次方程组的应用 【母题精讲】（2021春•吴川市校级期中）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【思路点拨】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果； （2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，由题意列出方程组，即可得出结果； （3）由定义新运算列出方程组，求出，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）， 由①②得：， ①②得：， ， 故答案为：，5； （2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 由题意得：， 由①②得：， ， 答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元； （3）由题意得：， 由①②可得：， ． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【训练1】（2013春•余姚市校级期中）请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【思路点拨】（1）设商品进货价元，商品进货价元，则商品零售价为元，商品零售价为元，利用、两种商品的进货单价之和为5元得到；利用零售价购买商品3件和商品2件，共19元得，然后组成二元一次方程组，再解方程组即可； （2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元，利用题意列方程组，然后利用加减法计算的值即可． 【规范解答】解：（1）设商品进货价元，商品进货价元， 根据题意得， 解得． 答：、两种商品的进货单价分别为2元，3元； （2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元， 根据题意得， ①②得，则③， ②③得． 答：小明那天带了5元钱． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组：在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 【训练2】（2017春•南安市期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入2400元； 营业员：月销售件数300件，月总收入2700元； 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？ （3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到、的值； （2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数； （3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案． 【规范解答】解：（1）由题意，得 ， 解得 即的值为1800，的值为3； （2）设某营业员当月卖服装件，由题意得， ， 解得，， 只能为正整数， 最小为434， 即某营业员当月至少要卖434件； （3）设一件甲为元，一件乙为元，一件丙为元，则 ， 将两等式相加得，， 则， 即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式 一、选择题 1．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义． 【规范解答】解：∵方程组的解为， ∴分别为方程和的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 故选：A． 2．（23-24七年级下·北京·期中）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙育，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，根据当第1天、第2天的记录无误时，建立方程组求解，再进一步进行检验即可． 【规范解答】解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元， 当第1天、第2天的记录无误时， 依题意得：， 解得：， ∴（元）， （元）， 又∵， ∴第4天的记录有误． 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【规范解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 二、填空题 4．（22-23八年级下·重庆南岸·开学考试）关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查已知二元一次方程组解的情况求参数，将所给两个方程相加可得，再将作为整体代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】解： 得， ， ， ， 解得． 故答案为：5． 5．（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【规范解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 6．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）把（其中a，b是常数）称为关于x，y的“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．“雅系二元一次方程”的“完美值”是 ；若“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同，则n的值是 ． 【答案】 5 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的定义及解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的概念正确求解．根据“雅系二元一次方程”的“完美值”的定义求解即可． 【规范解答】解∶ 根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”是； 根据题意，得，， 解得，， ∵“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同， ∴， 解得， 故答案为：；5． 三、解答题 7．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程和解二元一次方程组． （1）按照去分母，去括号，移项，合并的步骤求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得； （2）解：， 把得， 解得， 把代入到②得：， 解得， ∴方程组的解为． 8．（23-24七年级下·辽宁·期中）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解三元一方程组，求二元一次方程组的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程即可； （）由题意得，整理得，根据，为正整数，即可求解； （）由题意得：，然后得到关于的方程，然后求解即可． 【规范解答】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； （3）由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． 9．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)请直接写出方程的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由； (3)已知x，y为方程的“好解”，且，求所有m的值． 【答案】(1)，， (2)有“好解“，“好解”为 (3)63，73，83 【思路点拨】（1）根据“好解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解； （2）解方程组求得，根据“好解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解； （3）由解得，根据“好解”的定义得到，即，在范围内列举正整数代入求解． 【规范解答】（1）由，得y（x、y为正整数）， ∵， 即， ∴当时，； 当时，； 当时，； 即方程的“好解”有，，； （2）由解得（x、y、k为正整数）， ∵，即， ∴当时，，， ∴方程组有“好解“，“好解”为； （3）由解得（x、y、m为正整数）， ∵，即， ∴当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴所有m的值为63，73，83． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是要理解方程（组）的“好解”条件，根据条件求解． 10．（22-23八年级上·四川达州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ (2)若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 【答案】(1)、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 (2)共有四种购买方案，分别为购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；其中最大利润为万元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意建立一元二次方程组，求解即可；（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，利用总价单价数量，可得出二元一次方程，结合，为正整数，即可得出该公司的四种购买方案，比较方案利润即可求解． 【规范解答】（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，且，为正整数， 解得：或或或，共有四种购买方案： 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 由上可得，最大利润为万元． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选压轴题专练 共51题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 全章节知识梳理精讲 2 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 2 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 5 易错考点梳理点拨 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 7 易错知识点03：解的验证疏漏 7 易错知识点04：参数题型处理不当 7 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 8 易错知识点08：特殊题型应对策略 8 期中真题汇编考点讲练 8 重点考点讲练01：二元一次方程的定义 8 重点考点讲练02：二元一次方程的解 9 重点考点讲练03：解二元一次方程 10 重点考点讲练04：由实际问题抽象出二元一次方程 11 重点考点讲练05：二元一次方程的应用 12 重点考点讲练06：二元一次方程组的定义 13 重点考点讲练07：二元一次方程组的解 14 重点考点讲练08：解二元一次方程组 15 重点考点讲练09：由实际问题抽象出二元一次方程组 16 重点考点讲练10：同解方程组 17 重点考点讲练11：解三元一次方程组 18 重点考点讲练12：三元一次方程组的应用 20 优选压轴真题专练 22 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 重点考点讲练01：二元一次方程的定义 【母题精讲】（2024春•临淄区期中）若方程是二元一次方程，则、的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【训练1】（2024春•印江县期中）已知关于，的二元一次方程，则 　　． 【训练2】（2022春•柯桥区期中）已知是关于、的二元一次方程，则　　． 【训练3】（2021春•红谷滩区校级期中）已知方程是二元一次方程，求，的值． 重点考点讲练02：二元一次方程的解 【母题精讲】（2024春•滦南县期中）若是关于、的二元一次方程的解，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【训练1】（2024春•高青县期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 【训练2】（2024春•淮安期中）已知关于、的二元一次方程，均为常数，且． （1）当，时，用的代数式表示为：　　； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索与的关系，并说明理由； ②无论，取何值，这些方程都有一个公共的解，请求出这个解． 【训练3】（2023秋•蓬江区校级期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求的值． （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 重点考点讲练03：解二元一次方程 【母题精讲】（2024秋•淮北期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【训练1】（2024春•越城区期末）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【训练2】（2024春•贾汪区期末）已知实数、满足． （1）用含有的代数式表示； （2）若实数满足，求的取值范围； （3）若实数、满足，，且，求的取值范围． 重点考点讲练04：由实际问题抽象出二元一次方程 【母题精讲】（2023秋•高碑店市期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有名学生，本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①；②；③；④．其中符合题意的是　　 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 【训练1】．（2024春•长兴县期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是　　 A． B． C． D． 【训练2】（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？ 重点考点讲练05：二元一次方程的应用 【母题精讲】（2025•嘉峪关开学）淇淇的妈妈买了15支牙刷和12盒牙膏共花了336元，一段时间后淇淇以同样的价格（牙刷和牙膏的单价保持不变）又买了20支牙刷和16盒牙膏共花了418元，淇淇的妈妈看到淇淇的购物小票时，说：“记录单的总全额应该算错了”．下列判断正确的是　　 A．淇淇妈妈说的不对，总金额就是418元 B．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了30元 C．淇淇妈妈说的对，淇淇少付了30元 D．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了40元 【训练1】（2024•黑龙江四模）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有　　 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【训练2】（2024秋•肥西县期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示；（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ （2）若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ （3）若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 重点考点讲练06：二元一次方程组的定义 【母题精讲】（2024春•香坊区校级期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2021春•林州市期中）已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【训练2】（2023春•泸县校级期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1） ； （2）． 重点考点讲练07：二元一次方程组的解 【母题精讲】（2023春•内乡县期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为　　 ①当时，、的值互为相反数； ②是方程组的解； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2024春•齐齐哈尔期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 　　． 【训练2】（2024春•平南县期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是 　　消元法．（填“代入”或“加减” ； 任务二：小强解方程组的过程，从第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 重点考点讲练08：解二元一次方程组 【母题精讲】（2024春•长沙期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错而其他运算全正确，解得，则　　． 【训练1】（2023春•济宁期中）解下列方程组 （1） ， （2）． 【训练2】（2024春•太康县期中）解方程组：． 【训练3】（2024春•临海市期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 重点考点讲练09：由实际问题抽象出二元一次方程组 【母题精讲】（2024春•遵义期中）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•石家庄期中）某份资料计划印制1000份，该任务由，两台印刷机先后接力完成，印刷机印制150份，印刷机印制200份．两台印刷机完成该任务共需．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是　　 甲 解：设印刷机印制了， 印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设印刷机印制了份， 印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【训练2】（2024春•临湘市期中）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边道路整治任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数表示的意义： 甲：表示 　 　； 乙：表示 　　． （2） 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 重点考点讲练10：同解方程组 【母题精讲】（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则，的值分别为　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•沿河县期中）已知方程组和方程组的解相同． （1）求的值； （2）求的值． 【训练2】（2024春•沈丘县期末）已知方程组与方程组的解相等，试求、的值． 重点考点讲练11：解三元一次方程组 【母题精讲】（2024春•牟平区期中）三元一次方程组消去未知数后，所得二元一次方程组是　　 A． B． C． D． 【训练1】（2024春•文登区期中）解方程组： （1） ； （2）； （2） 解三元一次方程组：． 【训练2】（2023春•招远市期中）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，他想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）你还能用其他的方法来求得方程组的解吗？ （3）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 【训练3】（2023春•江都区期中）若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值． 重点考点讲练12：三元一次方程组的应用 【母题精讲】（2021春•吴川市校级期中）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则　　，　　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【训练1】（2013春•余姚市校级期中）请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【训练2】（2017春•南安市期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入2400元； 营业员：月销售件数300件，月总收入2700元； 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？ （3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 一、选择题 1．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级下·北京·期中）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙育，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23八年级下·重庆南岸·开学考试）关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 5．（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 6．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）把（其中a，b是常数）称为关于x，y的“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．“雅系二元一次方程”的“完美值”是 ；若“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同，则n的值是 ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算 (1) (2) 8．（23-24七年级下·辽宁·期中）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 9．（18-19七年级下·湖南长沙·期中）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)请直接写出方程的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由； (3)已知x，y为方程的“好解”，且，求所有m的值． 10．（22-23八年级上·四川达州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ (2)若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$