微专题系列第18章 平行四边形微专题三矩形菱形与60°角2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题三 矩形、菱形与60°角 类型归纳 类型1 矩形与60°角 在矩形中，若对角线相交所成的角中有一个角是60度，可以利用矩形的性质和特殊三角形的性质来解题。以下是详细的解题思路： 1、基本性质与三角形关系 （1）矩形对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分。 （2）等边三角形的判定  若对角线夹角为60度，则由对角线平分形成的三角形为等边三角形 2、具体解题步骤 （1）确定等边三角形 （2）计算对角线长度  （3）计算另一边长度  （4）计算矩形面积 3、特殊角30°-60°-90°三角形的性质 4、注意事项 需根据具体题目条件选择合适的方法，如已知对角线长度时利用30°-60°-90°三角形的性质。 画图辅助理解，标注角度和边长关系，有助于清晰解题。 通过以上步骤，可以系统地解决矩形中对角线夹角为60度的几何问题。 1. 利用60°角求线段长 【例1】．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠ABD=60°，且AB=1，则AC的长为　 　． 【变式1-2】．．如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t． （1）求的长； （2）点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ （3）点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 2. 利用60°角求角度 【例2】．如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，如果 ，那么 的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，则∠BOE的度数是 　 　． 【变式2-2】．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积． 【变式2-3】．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？ 小西进行了以下操作研究（如图1）： 第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平． 第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN． 小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）： 将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平． 请根据小西和小雅的探究，完成下列问题： ①直接写出BE和BN的数量关系： ▲ ； ②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数； ③求证：四边形BGHM是菱形． 【变式2-4】．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则梯形ABFE的面积是（　　） A．6 B．16 C． D． 【变式2-5】．如图、在矩形 中， ， 分别过点 作 于点 ， ， 连接 . （1）求证：四边形 为平行四边形； （2） 分别取 的中点 ， 连结 . 若 ， 求四边形 的面积. 3. 利用60°角求面积 【例3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D．16 【变式3-1】． 如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知线段在y轴上，点，原点O是线段的中点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接形成四边形，分别交x轴于E、F两点，则四边形的面积为（　　） A．4 B． C． D． 【变式3-3】．如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 类型2 菱形与60°角 关于菱形中包含60度角的解题思路，综合多个经典例题和几何性质，可归纳为以下核心方法： 1、特殊角度性质应用 （1）30°-60°-90°三角形 当菱形内角为60°时，可将其划分为两个等边三角形。例如，菱形ABCD中，若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC均为等边三角形，边长相等且对角线互相垂直平分。 （2）高线与边长关系 在含60°角的菱形中，高线将菱形分成两个30°-60°-90°直角三角形。利用“30°所对直角边是斜边的一半”性质，可快速计算边长。例如，高线长度为较短直角边的√3倍。 2、全等三角形与面积计算 （1）角平分线与对称性 菱形的对角线平分内角，结合60°角可构造全等三角形。例如，AC是菱形对角线，∠BAC=30°，BD平分∠ABC，则△AEC≌△AFC（SAS），从而推导出线段关系。 （2）面积公式 菱形面积可表示为对角线乘积的一半， 1. 利用60°求长度 【例4-1】．如图，菱形的对角线相交于点O，且，． （1）求的长； （2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点． ①当时，求四边形的面积； ②记的最小值为a，的最小值为b，求的值． 【变式4-1】．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是　 　． 【变式4-2】．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为　 　，菱形面积为　 　． 【变式4-3】．． 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，求对角线的长。 【变式4-4】．．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 2. 利用60°求面积 【例5-1】．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积． 【变式5-1】．如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不与端点重合)，且∠EAF'= 60°． （1）求证：△AEF是等边三角形． （2）点E，F在运动过程中，四边形AECF的面积是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． （3）当点E在什么位置时，△ECF的面积最大，并求出此时面积的最大值． 【变式5-2】．如图，在菱形中，，将一个直角三角板的角的顶点与点C重合，且角的两条边分别与边交于点E、F． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 3. 利用60°求角度、证明 【例6-1】．如图，在菱形中，若，则度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 【变式6-2】．如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点，点在对角线上，连接，作，且边与直线相交于点． （1）求菱形的面积； （2）求证： 【变式6-3】．菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接． （1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由． （2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式6-4】．已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°， （1）当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE. ①求证：AF=DE： ②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=AC=3，求MN的长： （2）当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE=，求MN的长， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题三 矩形、菱形与60°角（解析版） 类型归纳 类型1 矩形与60°角 在矩形中，若对角线相交所成的角中有一个角是60度，可以利用矩形的性质和特殊三角形的性质来解题。以下是详细的解题思路： 1、基本性质与三角形关系 （1）矩形对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分。 （2）等边三角形的判定  若对角线夹角为60度，则由对角线平分形成的三角形为等边三角形 2、具体解题步骤 （1）确定等边三角形 （2）计算对角线长度  （3）计算另一边长度  （4）计算矩形面积 3、特殊角30°-60°-90°三角形的性质 4、注意事项 需根据具体题目条件选择合适的方法，如已知对角线长度时利用30°-60°-90°三角形的性质。 画图辅助理解，标注角度和边长关系，有助于清晰解题。 通过以上步骤，可以系统地解决矩形中对角线夹角为60度的几何问题。 1. 利用60°角求线段长 【例1】．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：C 【分析】本题考查矩形的性质．先根据矩形的性质可推出，再根据可推出是等边三角形，据此可得，利用线段的运算可求出答案 【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠ABD=60°，且AB=1，则AC的长为　 　． 【答案】2 【知识点】矩形的性质 【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO=AC，BO=DO=BD， ∵∠ABD=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∵AB=1， ∴AO=AB=1， ∴AC=2AO=2×1=2， 故答案为：2. 【分析】利用矩形的性质及∠ABD=60°证出△ABO是等边三角形，再结合AB的长求出AC=2AO=2×1=2即可. 【变式1-2】．．如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t． （1）求的长； （2）点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ （3）点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】（1）解：如图，过C作于点E， ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t， ∴（秒）， ∴时，四边形是矩形； （3）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴此时， ∴（秒）， ∴时，四边形是平行四边形．​​​​​​​ 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；四边形-动点问题 【解析】【分析】（1）过C作于点E，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理和等量代换可得； （2）先利用线段的和差求出，再结合点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t，求出（秒）即可； （3）先证出当时，四边形是平行四边形，再利用线段的和差求出AP的长，最后利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可. （1）如图，过C作于点E， ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 2. 利用60°角求角度 【例2】．如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，如果 ，那么 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC， ∵∠ABD=60°， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∵CE=BD， ∴CE=AC， ∴∠CAE=∠E=15°， ∴∠BAE=90°-∠E=90°-15°=75° 故答案为：C. . 【分析】连接AC，交BD于点O，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出∠E=15°，即可求出∠BAE的度数. 【变式2-1】．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，则∠BOE的度数是 　 　． 【答案】75° 【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO ∵∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形 ∴AB=BO，∠OBC=30° ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE=45° ∴∠AEB=45° ∴AB=AE ∴∠BOE=∠BEO=（180°-30°）÷2=75° 故答案为：75°. 【分析】根据举行的性质，可得∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO；根据等边三角形的判定和性质，可得AB=BO，∠OBC=30°；根据角平分线的性质，可得∠BAE=∠DAE=45°，进而可得∠AEB=45°；根据等腰三角形的判定和性质，即可求解. 【变式2-2】．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积． 【答案】证明：（1）∵点O是AC中点， ∴OA＝OC， 又∵OE＝OD， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE的是矩形． （2）∵AD是等腰三角形BC边上的高，BC＝6， ∴BD＝DC＝3 ∵四边形ADCE的是矩形， ∴OD＝OC＝AC． ∵∠DOC＝60°， ∴△DOC是等边三角形， ∴OC＝DC＝3， ∴AC＝6． 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，DC＝3，AC＝6， 由勾股定理得 AD＝， ∴四边形ADCE的面积S＝AD×DC＝3×＝． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先证出四边形ADCE是平行四边形，再结合∠ADC＝90°，即可证出四边形ADCE的是矩形； （2）先证出△DOC是等边三角形，可得OC＝DC＝3，再利用勾股定理求出AD＝，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可. 【变式2-3】．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？ 小西进行了以下操作研究（如图1）： 第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平． 第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN． 小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）： 将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平． 请根据小西和小雅的探究，完成下列问题： ①直接写出BE和BN的数量关系： ▲ ； ②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数； ③求证：四边形BGHM是菱形． 【答案】解：①BE＝BN；②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°， ∵BE＝BN， ∴∠BNE＝30°， ∴∠ABN＝60°， 由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°； ③证明：由②得∠ABM＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°， ∴△BMG是等边三角形， ∴BM＝BG， 由折叠得BM＝MH，BG＝GH， ∴BM＝MH＝BG＝GH， ∴四边形BGHM是菱形． 【知识点】菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】①根据折叠性质可得BE＝AB，继而得到 BE＝BN ，即可求出答案。 ② 根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可得 ∠BNE＝30° ，根据折叠性质 即可求出答案。 ③由②得∠ABM＝30°，根据矩形性质，可得△BMG是等边三角形，则BM=BG，根据折叠性质即可求出答案。 【变式2-4】．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则梯形ABFE的面积是（　　） A．6 B．16 C． D． 【答案】C 【知识点】矩形的性质；梯形；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】连接BE， ∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BFE=∠EFB'=60°，AB=A'B'，∠A=∠A'=90°，AE=A'E=2， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=60°， ∵A'E∥B'F， ∴∠A'EF+∠EFB'=180°， ∴∠A'EF=120°， ∴∠A'EB'=60°且∠A'=90°， ∴∠A'B'E=30°，且A'E=2， ∴B'E=4，AB=A'B'=， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴ = =． 故答案为：C． 【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理和梯形的面积公式计算求解即可。 【变式2-5】．如图、在矩形 中， ， 分别过点 作 于点 ， ， 连接 . （1）求证：四边形 为平行四边形； （2） 分别取 的中点 ， 连结 . 若 ， 求四边形 的面积. 【答案】（1）证明： 矩形 ， 四边形 为平行四边形 （2）解： 矩形 ，∠DAC=∠ACB=60° ∴∠ADF＋∠DAC=90°， 由（1）知： 的中点为 同理： ∴ 四边形 的面积 为：. 【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线 【解析】【分析】 （1）先根据矩形的性质：证明，得出DF=BE，又因为，得出： 四边形 为平行四边形 （2）先根据矩形的性质得出：，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF，AF，由（1）知：，可得：，求出，根据中点的性质得出：即可 . 3. 利用60°角求面积 【例3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D．16 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ∴， ， 矩形的面积是， 故选：B． 【分析】根据矩形的性质及已知可推出是等边三角形，可得，利用三角形内角和求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据矩形的面积=AB×BC进行计算即可． 【变式3-1】． 如图，矩形的两对角线相交于点，，，则矩形的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC=OB，∠ABC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴是等边三角形， ∴AB=OA=OC， 设AB=OA=OC=x， ∴AC=2x， ∵BC=3， ∴在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴矩形ABCD的面积为， 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，从而证出是等边三角形，根据等边三角形的性质得AB=OA=OC，设AB=OA=OC=x，得AC=2x，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得AB的值，最后利用矩形面积公式进行求解. 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知线段在y轴上，点，原点O是线段的中点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接形成四边形，分别交x轴于E、F两点，则四边形的面积为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质 【解析】【解答】解：由旋转的性质知，，， ∴四边形是矩形，是等边三角形， ∵A（0，2）， ∴AB=OA=2， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°， ∴BC=AB=2， ∴， ∵经过点， ∴四边形的面积为， 故答案为：B． 【分析】先证明四边形是矩形，是等边三角形，可得AB=OA=2，在Rt△ABC中，求得∠OCB=30°，得BC=AB=2，从而求得矩形ABCD的面积，再根据四边形的面积为即可求解． 【变式3-3】．如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵对角线相交于点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴AB=OA=OB， ∴AB=OA=OC，即AC=2AB， 在中， 由勾股定理得：=AB， ∵， ∴， ∴矩形的面积为； 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质及题意可得是等边三角形，进而可得AC=2AB，再根据勾股定理即可得出AB的长度，进而可得矩形的面积. 类型2 菱形与60°角 关于菱形中包含60度角的解题思路，综合多个经典例题和几何性质，可归纳为以下核心方法： 1、特殊角度性质应用 （1）30°-60°-90°三角形 当菱形内角为60°时，可将其划分为两个等边三角形。例如，菱形ABCD中，若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC均为等边三角形，边长相等且对角线互相垂直平分。 （2）高线与边长关系 在含60°角的菱形中，高线将菱形分成两个30°-60°-90°直角三角形。利用“30°所对直角边是斜边的一半”性质，可快速计算边长。例如，高线长度为较短直角边的√3倍。 2、全等三角形与面积计算 （1）角平分线与对称性 菱形的对角线平分内角，结合60°角可构造全等三角形。例如，AC是菱形对角线，∠BAC=30°，BD平分∠ABC，则△AEC≌△AFC（SAS），从而推导出线段关系。 （2）面积公式 菱形面积可表示为对角线乘积的一半， 1. 利用60°求长度 【例4-1】．如图，菱形的对角线相交于点O，且，． （1）求的长； （2）点E在线段上，且，点F为线段上一动点． ①当时，求四边形的面积； ②记的最小值为a，的最小值为b，求的值． 【答案】（1）解：∵四边形是菱形，且，，∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴．​​​​​​ （2）①如图，连接，设，∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． ②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． ∴的值为81． 【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）①如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； ②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【变式4-1】．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是　 　． 【答案】 【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴，AC⊥BD ∵ 是等边三角形 在Rt中，是的中点 故答案为：． 【分析】先由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，求出AD的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出. 【变式4-2】．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为　 　，菱形面积为　 　． 【答案】1； 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴菱形面积为， 故答案为：1，． 【分析】先根据菱形的性质得出，，根据直角三角形斜边上中线的性质求出=1，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积，据此计算即可． 【变式4-3】．． 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，求对角线的长。 【答案】解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD，AB=AD， ∵∠BAD=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB2-BO2=AO2， 即3BO2=36， 解得：（负值舍去）， ∴. 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质 【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，邻边相等可得OB=OD，AC⊥BD，AB=AD，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出BO的值，即可求解. 【变式4-4】．．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解： 连接BE，BD，如图， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°， ∵E点为CD的中点， ∴∠CBE=∠CBD=30°，CE=DE=1，BE⊥CD； 在Rt△BCE中， BC=2CE=2， BE= . ∵AB∥CD， ∴BE⊥AB. ∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处， ∴EF=AF. 设EF=AF=x，则BF=2-x， 在Rt△BEF中，由勾股定理可得： ， 解得： . 故答案为：A. 【分析】连接BE，BD，如图，由菱形的性质和等边三角形的判定可得△BDC为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得BE⊥CD，在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的值，由平行线的性质可证得BE⊥AB， 根据折叠的性质可得EF=AF.，设EF=AF=x，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解. 2. 利用60°求面积 【例5-1】．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴EC∥AB，且EC＝DB． 在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线， ∴AD＝DB＝CD． ∴EC＝AD． 四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6， 是等边三角形 ∴AD＝DB＝CD＝6． ∴AB＝12，由勾股定理得． ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴DE＝BC＝6． ∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DBCE是平行四边形，则EC∥AB，且EC＝DB，再根据三角形中线性质可得EC＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则AD＝DB＝CD＝6，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形性质可得DE＝BC＝6，再根据菱形面积即可求出答案. 【变式5-1】．如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不与端点重合)，且∠EAF'= 60°． （1）求证：△AEF是等边三角形． （2）点E，F在运动过程中，四边形AECF的面积是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． （3）当点E在什么位置时，△ECF的面积最大，并求出此时面积的最大值． 【答案】（1）证明：如图，连结AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B= ∠D= 60° ，AB= BC=CD= AD， ∴△ABC， △ACD都是等边三角形， ∴AB= AC， ∠B =∠BAC=∠ACD=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAF， ∴△BAE≌△CAF， ∴AE=AF． ∴∠EAF=60° ， ∴△AEF是等边三角形． （2）解：四边形AECF的面积不发生变化． ∵△BAE≌△CAF， ∴S△BAE=S△CAF． ∵S△ABC =S△ADC ， ∴S△AEC=S△AFD， ∴ S四边形AECF = S△AEC+S△CAF=S△AEC +S△BAE =S△ABC， ∴四边形AECF的面积不发生变化． （3）解：四边形AECF的面积为， ∴△AEF的面积最小时，△ECF的面积最大． ∵△AEF是等边三角形， 根据垂线段最短可知，AE⊥BC时，AE的值最小，△AEF的面积最小， 此时△AEF的面积= ∴△ECF面积的最大值= 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题 【解析】【分析】(1)利用菱形的性质可得△ABC， △ACD都是等边三角形，进而通过ASA判定△BAE≌△CAF，即可证得△AEF是等边三角形． (2)由(1)得△BAE≌△CAF，故S△BAE=S△CAF，进而证得S四边形AECF =S△ABC，因此四边形AECF的面积不发生变化，再利用等边三角形的面积公式计算四边形AECF的面积即可. (3)由(2)得四边形AECF的面积不发生变化，故当△AEF的面积最小时，△ECF的面积最大，此时AE⊥BC，利用菱形的性质求得AE的长度，再计算出△ECF面积的最大值. 【变式5-2】．如图，在菱形中，，将一个直角三角板的角的顶点与点C重合，且角的两条边分别与边交于点E、F． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接 ． ∵四边形 是菱形， ∴ ， ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即 ． 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，过点A作 于点 ． ∵ 是等边三角形， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 由（1）得 ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 的面积为 ． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）连接 ，证明△ABC为等边三角形，再证明 ，可得BE=AF； （2）过点A作 于点 ．先求出△ABC的面积=，根据全等三角形的性质可得 ，根据即得结论. 3. 利用60°求角度、证明 【例6-1】．如图，在菱形中，若，则度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：四边形是菱形， ， 故选：C． 【分析】根据菱形的性质菱形的对角线平分对角可得． 【变式6-1】．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 【答案】（1）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 ​​​​​​ （2）解：如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质 【解析】【分析】（1）连接，交于点，先证出为等边三角形，可得，再利用勾股定理求出，可得，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可； （2）连接、，先利用菱形的性质可得，，再结合，，可得得到四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，先利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出，再结合，可得，再求出即可． （1）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 （2）如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【变式6-2】．如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点，点在对角线上，连接，作，且边与直线相交于点． （1）求菱形的面积； （2）求证： 【答案】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ， 菱形的面积； （2）证明：连接， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，根据等边三角形的判定与性质求得BD，AC，根据菱形的面积公式计算即可求得； （2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据等边对等角可得∠EAC=∠ECA，同理可得∠DAC=∠DCA推出∠DCE=∠DAE，根据等角的补角相等可得∠F=∠ECF，根据等角对等边即可求得EF=EC，即可证明EF=AE. 【变式6-3】．菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接． （1）如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由． （2）将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）解：如下图，延长，交于点， ∵为线段的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，证明如下：如下图，延长至，使得，连接、，连接交于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质.（1）延长，交于点，利用等边三角形的性质可得，利用菱形的性质可得：，根据，利用平行线的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，由全等三角形的性质可得，，易得，利用线段的运算可得，可知平分，，可求得，据此可证明结论； （2）延长至，使得，连接、，连接交于，根据题意条件可证明，利用全等三角形的性质可得，，利用平行线的性质可得，利用等边三角形的性质可得：，根据四边形为菱形，利用菱形的性质可得，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用角的运算可得：，利用等边三角形的判定定理可证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，据此可证明结论． （1）解：如下图，延长，交于点， ∵为线段的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，证明如下： 如下图，延长至，使得，连接、，连接交于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 【变式6-4】．已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°， （1）当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE. ①求证：AF=DE： ②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=AC=3，求MN的长： （2）当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE=，求MN的长， 【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC ∵∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=BC=CD=AD ∵△CEF是等边三角形， ∴∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC . ∴△FCA≌△ECD ∴AF=ED ②连结EB， ∵AE=AC=3，CE=CF， CA=CB=AD ∴AD=BF=BC=3， CE=6 ∵AD// BC ∴∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN ∴△AND≌△BNF ∴AN=BN ∵M是AE中点 ∴MN是△EAB的中位线 ， ∵△CEF是等边三角形，BF=BC ∴BE⊥FC， （2）解：过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN， ∵△ACD是等边三角形， ∵∠FCE=∠ACD=60° ∴∠FCA=∠ECD 又∵CA=CD，CF=CE， ∴△FCA≌△ECD ∴AF= DE ∵QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线 ∴QM=QN ∵∠F4C=∠EDC=180°-∠CAD=120° ∴∠FDE= 120°-∠ADC=60° ∵QN// DE ∴∠FNQ=∠FDE=60° ∵QM// AF ∴∠MQN=∠FNQ=60° ∴△QMN是等边三角形， 【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）①由菱形的性质可得AB=BC，则△ABC是等边三角形，AC=BC=CD=AD，∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC ，利用SAS证明△FCA≌△ECD，据此可得结论； ②连结EB，易得AD=BF=BC=3， CE=6，由平行线的性质可得∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN，利用ASA证明△AND≌△BNF，得到AN=BN，由题意可得MN是△EAB的中位线，则MN=EB，由等边三角形的性质可得BE⊥FC，利用勾股定理可得EB，据此解答； （2）过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，由三角函数的概念可得CG、AG，由勾股定理可得FG，利用SAS证明△FCA≌△ECD，得到AF= DE，根据中位线的性质可推出QM=QN，由平行线的性质可得∠FNQ=∠FDE=60°，∠MQN=∠FNQ=60°，推出△QMN是等边三角形，据此求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$